Test final 8

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoarea numărului  a=(13−15):115a = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) : \frac{1}{15}a=(31​−51​):151​  este egală cu:

Exercițiul 2

Andreea a citit în prima zi  13\frac{1}{3}31​  din cartea pe care a primit-o de ziua ei. A doua zi citește 10 pagini și constată că a citit jumătate din paginile cărții. Numărul paginilor cărții este de:

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=(2⋅x+1)2E(x) = (2\cdot x + 1)^2 E(x)=(2⋅x+1)2 −(x+1)(4⋅x−1)- (x + 1)(4\cdot x - 1)−(x+1)(4⋅x−1),  unde x este număr real. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Exercițiul 4

Se consideră  x=2(3−2)2+12x = 2\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{12}x=2(3​−2)2​+12​.  Valoarea lui x este:

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→f:R\rightarrowf:R→R, f(x)=x−2f(x)=x-2f(x)=x−2.  Aria triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este egală cu:

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=x2−5x+6x2−4x+4E(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4x + 4}E(x)=x2−4x+4x2−5x+6​,  unde x este număr real, x≠2. Valoarea lui x pentru care E(x)=2 este:

Subiectul II →

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 12 întrebări fără răspuns

Vezi I: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Vezi II: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Test final 8

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoarea numărului  a=(13−15):115a = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) : \frac{1}{15}a=(31​−51​):151​  este egală cu:

a) $2$

b) $15$

c) $\frac{2}{15}$

d) $\frac{15}{2}$

Exercițiul 2

Andreea a citit în prima zi  13\frac{1}{3}31​  din cartea pe care a primit-o de ziua ei. A doua zi citește 10 pagini și constată că a citit jumătate din paginile cărții. Numărul paginilor cărții este de:

a) 100 pagini

b) 75 pagini

c) 60 pagini

d) 50 pagini

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=(2⋅x+1)2E(x) = (2\cdot x + 1)^2 E(x)=(2⋅x+1)2 −(x+1)(4⋅x−1)- (x + 1)(4\cdot x - 1)−(x+1)(4⋅x−1),  unde x este număr real. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

a) x+3

b) x+2

c) 2x+1

d) 2x-1

Exercițiul 4

Se consideră  x=2(3−2)2+12x = 2\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{12}x=2(3​−2)2​+12​.  Valoarea lui x este:

a) $2\sqrt{3}$

b) $2$

c) $4\sqrt{3}$

d) $4$

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→f:R\rightarrowf:R→R, f(x)=x−2f(x)=x-2f(x)=x−2.  Aria triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este egală cu:

a) 2

b) -2

c) -4

d) 4

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=x2−5x+6x2−4x+4E(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4x + 4}E(x)=x2−4x+4x2−5x+6​,  unde x este număr real, x≠2. Valoarea lui x pentru care E(x)=2 este:

a) 6

b) 1

c) 4

d) 0

Subiectul II

Exercițiul 1

În trapezul ABCD, se cunosc lungimile bazelor AB=20 cm și DC=10 cm. Lungimea segmentului determinat de diagonale și linia mijlocie este egală cu:

a) 20 cm

b) 15 cm

c) 10 cm

d) 5 cm

Exercițiul 2

În figura de mai este reprezentat triunghiul dreptunghic ABC. Se cunoaște  cos⁡C=12cos⁡C=\frac12cos⁡C=21​.  Valoarea  cos⁡Bcos⁡Bcos⁡B  este egală cu:

a) $\frac{1}{2}$

b) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

d) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat pătratul ABCD, punctul M este mijlocul lui AB, iar punctul O este intersecția diagonalelor pătratului. Punctele E și F sunt punctele de intersecție a dreptelor AC și DM, respectiv BD și CM. Dacă AB= 12 cm, atunci lungimea segmentului EF este egală cu:

a) 4 cm

b) 6 cm

c) 2 cm

d) 3 cm

Exercițiul 4

În piramida patrulateră regulată VABCD, se cunosc AB=VA=12 cm. Volumul piramidei egală cu:

a) $100\sqrt{2}$ $\text{cm}^3$

b) $100$ $\text{cm}^3$

c) $288\sqrt{2}$ $\text{cm}^3$

d) $288$ $\text{cm}^3$

Exercițiul 5

În figura de mai jos este reprezentat un tetraedru regulat ABCD, cu latura de 9 cm. Punctele M și N aparțin segmentelor AB, AD astfel încât AM=DN= 3 cm. Unghiul dintre MN și BD are măsura de:

a) 15˚

b) 30˚

c) 45˚

d) 60˚

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat o prismă regulată dreaptă ABCA'B'C' cu AB=AA’= 8 cm. Punctul M este mijlocul lui AB’. Distanța de la M la AC este egală cu:

a) $2$ cm

b) $4\sqrt{3}$ cm

c) $4$ cm

d) $2\sqrt{7}$ cm

Răspunsuri și explicații

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoarea numărului  a=(13−15):115a = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) : \frac{1}{15}a=(31​−51​):151​  este egală cu:

Răspuns corect: $2$

Explicație:a=(515−315)⋅151 a = \left( \frac{5}{15} - \frac{3}{15} \right) \cdot \frac{15}{1}a=(155​−153​)⋅115​

a=215⋅151 a = \frac{2}{15} \cdot \frac{15}{1}a=152​⋅115​

a=2 a = 2a=2

Exercițiul 2

Andreea a citit în prima zi  13\frac{1}{3}31​  din cartea pe care a primit-o de ziua ei. A doua zi citește 10 pagini și constată că a citit jumătate din paginile cărții. Numărul paginilor cărții este de:

Răspuns corect: 60 pagini

Explicație:x−13x=33x−13x=23xx-\frac{1}{3}x = \frac{3}{3}x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}xx−31​x=33​x−31​x=32​x  (mai are de citit după prima zi)

23x−10=12x\frac{2}{3}x - 10 = \frac{1}{2}x32​x−10=21​x 

46x−606=36x\frac{4}{6}x - \frac{60}{6} = \frac{3}{6}x64​x−660​=63​x

4⋅x−60=3⋅x4\cdot x-60=3\cdot x4⋅x−60=3⋅x

x=60x=60x=60  pagini

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=(2⋅x+1)2E(x) = (2\cdot x + 1)^2 E(x)=(2⋅x+1)2 −(x+1)(4⋅x−1)- (x + 1)(4\cdot x - 1)−(x+1)(4⋅x−1),  unde x este număr real. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Răspuns corect: x+2

Explicație:E(x)=(2⋅x+1)2−(x+1)(4⋅x−1)E(x) = (2\cdot x + 1)^2 - (x + 1)(4\cdot x - 1)E(x)=(2⋅x+1)2−(x+1)(4⋅x−1)
E(x)=4⋅x2+4⋅x+1 E(x) = 4\cdot x^2 + 4\cdot x + 1 E(x)=4⋅x2+4⋅x+1 −(4⋅x2−x+4⋅x−1)- (4\cdot x^2 - x + 4\cdot x - 1)−(4⋅x2−x+4⋅x−1)
E(x)=4⋅x2+4⋅x+1 E(x) = 4\cdot x^2 + 4\cdot x + 1 E(x)=4⋅x2+4⋅x+1 −4⋅x2+x−4⋅x+1- 4\cdot x^2 + x - 4\cdot x + 1−4⋅x2+x−4⋅x+1
E(x)=x+2 E(x) = x + 2E(x)=x+2

Exercițiul 4

Se consideră  x=2(3−2)2+12x = 2\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{12}x=2(3​−2)2​+12​.  Valoarea lui x este:

Răspuns corect: $4$

Explicație:x=2(3−2)2+12 x = 2\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{12}x=2(3​−2)2​+12​

Se simplifică puterea 2 cu radicalul și devine:
x=2∣3−2∣+23 x = 2\left| \sqrt{3} - 2 \right| + 2\sqrt{3}x=2​3​−2​+23​

3<2\sqrt{3}<23​<2, deoarece ridicând la pătrat 3<4

Așadar:
∣3−2∣=−3+2|\sqrt{3} - 2| = -\sqrt{3} + 2∣3​−2∣=−3​+2, se schimbă ambele semne
x=2(−3+2)+23x = 2(-\sqrt{3} + 2) + 2\sqrt{3}x=2(−3​+2)+23​
x=−23+4+23x = -2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}x=−23​+4+23​
x=4x = 4x=4

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→f:R\rightarrowf:R→R, f(x)=x−2f(x)=x-2f(x)=x−2.  Aria triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este egală cu:

Răspuns corect: 2

Explicație:Gf ∩Ox=A(x,0)
f(x)=0
x-2=0
x=2, A(2,0)

Gf ∩Oy=B(0,y)
f(0)=y
2·0-2=y
y=-2, B(0,-2)

AOAB=(OA⋅OB)2=2⋅22=2A_{OAB}=\frac{(OA·OB)}2=\frac{2·2}2=2AOAB​=2(OA⋅OB)​=22⋅2​=2

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=x2−5x+6x2−4x+4E(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4x + 4}E(x)=x2−4x+4x2−5x+6​,  unde x este număr real, x≠2. Valoarea lui x pentru care E(x)=2 este:

Răspuns corect: 1

Explicație:x2−5⋅x+6=x2−2⋅x−3⋅x+6x^2 - 5\cdot x + 6 = x^2 - 2\cdot x - 3\cdot x + 6x2−5⋅x+6=x2−2⋅x−3⋅x+6 =x(x−2)−3(x−2)= x(x - 2) - 3(x - 2)=x(x−2)−3(x−2) =(x−2)(x−3) = (x - 2)(x - 3)=(x−2)(x−3)

x2−4⋅x+4=(x−2)2x^2 - 4\cdot x + 4 = (x - 2)^2x2−4⋅x+4=(x−2)2

E(x)=(x−2)(x−3)(x−2)2=x−3x−2E(x) = \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)^2} = \frac{x - 3}{x - 2}E(x)=(x−2)2(x−2)(x−3)​=x−2x−3​

E(x)=2E(x) = 2E(x)=2

x−3x−2=2\frac{x - 3}{x - 2} = 2x−2x−3​=2

x−3x−2=21\frac{x - 3}{x - 2} = \frac{2}{1}x−2x−3​=12​

2(x−2)=1(x−3)2(x-2)=1(x-3)2(x−2)=1(x−3)
2⋅x−4=x−32\cdot x-4=x-32⋅x−4=x−3
2⋅x−x=4−32\cdot x-x=4-32⋅x−x=4−3
x=1x=1x=1

Subiectul II

Exercițiul 1

În trapezul ABCD, se cunosc lungimile bazelor AB=20 cm și DC=10 cm. Lungimea segmentului determinat de diagonale și linia mijlocie este egală cu:

Răspuns corect: 5 cm

Explicație:EF=AB−CD2=5 EF = \frac{AB - CD}{2} = 5EF=2AB−CD​=5 cm

Exercițiul 2

În figura de mai este reprezentat triunghiul dreptunghic ABC. Se cunoaște  cos⁡C=12cos⁡C=\frac12cos⁡C=21​.  Valoarea  cos⁡Bcos⁡Bcos⁡B  este egală cu:

Răspuns corect: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Explicație:cos C = 12⇒\frac{1}{2} \Rightarrow21​⇒ C = 60°
B= 30° ⇒\Rightarrow⇒ cos B = 32\frac{\sqrt{3}}{2}23​​

Reamintire:
sin 30° = 12\frac{1}{2}21​ = cos 60°
sin 45° = 22\frac{\sqrt{2}}{2}22​​ = cos 45°
sin 60° = 32\frac{\sqrt{3}}{2}23​​ = cos 30°

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat pătratul ABCD, punctul M este mijlocul lui AB, iar punctul O este intersecția diagonalelor pătratului. Punctele E și F sunt punctele de intersecție a dreptelor AC și DM, respectiv BD și CM. Dacă AB= 12 cm, atunci lungimea segmentului EF este egală cu:

Răspuns corect: 4 cm

Explicație:În △ABD punctul E este centru de greutate deoarece:
O mijlocul lui BD →\rightarrow→ AO mediană
M mijlocul lui AB  →\rightarrow→ DM mediană
(intersecția medianelor este centru de greutate)

Analog F este centru de greutate în △ABC.

Așadar △MEF este asemenea cu△MDC:

MEMD=MFMC=EFDC=13\frac{ME}{MD} = \frac{MF}{MC} = \frac{EF}{DC} = \frac{1}{3}MDME​=MCMF​=DCEF​=31​

EF12=13\frac{EF}{12} = \frac{1}{3}12EF​=31​

EF=4EF=4EF=4 cm

Exercițiul 4

În piramida patrulateră regulată VABCD, se cunosc AB=VA=12 cm. Volumul piramidei egală cu:

Răspuns corect: $288\sqrt{2}$ $\text{cm}^3$

Explicație:ABCD este un patrat⇒ \text{ABCD este un patrat} \RightarrowABCD este un patrat⇒ 
AC=AB2=122 AC = AB\sqrt{2} = 12\sqrt{2}AC=AB2​=122​  cm
AO=62 AO = 6\sqrt{2}AO=62​  cm

Se aplică teorema lui Pitagora în △VOA:
VO2+OA2=VA2VO^2 + OA^2 = VA^2VO2+OA2=VA2
VO2+72=144VO^2 + 72 = 144VO2+72=144
VO2=72⇒VO=62VO^2 = 72 \Rightarrow VO = 6\sqrt{2}VO2=72⇒VO=62​  cm

V=Ab⋅h3V = \frac{A_b \cdot h}{3}V=3Ab​⋅h​
V=144⋅623=2882V = \frac{144 \cdot 6\sqrt{2}}{3} = 288\sqrt{2}V=3144⋅62​​=2882​ cm3 \text{cm}^3cm3

Exercițiul 5

În figura de mai jos este reprezentat un tetraedru regulat ABCD, cu latura de 9 cm. Punctele M și N aparțin segmentelor AB, AD astfel încât AM=DN= 3 cm. Unghiul dintre MN și BD are măsura de:

Răspuns corect: 30˚

Explicație:Fie P mijlocul lui BM
 
APAB=ANAD=23⇒NP∥BD \frac{AP}{AB} = \frac{AN}{AD} = \frac{2}{3} \Rightarrow NP \parallel BDABAP​=ADAN​=32​⇒NP∥BD

∠(MN,BD)=∠(MN,PN)=∠MNP \angle(MN, BD) = \angle(MN, PN) = \angle MNP∠(MN,BD)=∠(MN,PN)=∠MNP

△ANP este echilateral \triangle ANP \text{ este echilateral}△ANP este echilateral
NM  mediană ⇒ \Rightarrow⇒ NM bisectoare 

∠MNP=30∘ \angle MNP = 30^\circ∠MNP=30∘

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat o prismă regulată dreaptă ABCA'B'C' cu AB=AA’= 8 cm. Punctul M este mijlocul lui AB’. Distanța de la M la AC este egală cu:

Răspuns corect: $2\sqrt{7}$ cm

Explicație:Fie: 
NM⊥(ABC)NM \perp (ABC)NM⊥(ABC)
ND⊥ACND \perp ACND⊥AC
ND,AC⊂(ABC)ND,AC \subset (ABC)ND,AC⊂(ABC)
→\rightarrow→ MD⊥ACMD \perp ACMD⊥AC  (teorema celor 3 perpendiculare)  

NM=BB′2=4NM = \frac{BB'}{2} = 4NM=2BB′​=4
ND=BE2=12⋅AB⋅32ND = \frac{BE}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AB \cdot \sqrt{3}}{2}ND=2BE​=21​⋅2AB⋅3​​
ND=834=23ND = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}ND=483​​=23​ cm

Se aplică teorema lui Pitagora în △MND:
MN2+ND2=MD2MN^2 + ND^2 = MD^2MN2+ND2=MD2
16+12=MD216 + 12 = MD^216+12=MD2
MD2=28MD^2 = 28MD2=28
MD=28=4⋅7=27MD = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}MD=28​=4⋅7​=27​ cm