Test final 6

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=5⋅(5−15)a = 5 \cdot \left( 5 - \frac{1}{5} \right)a=5⋅(5−51​)  este egală cu:

Exercițiul 2

După o reducere cu 20%, prețul unui obiect devine 60 de lei. Înainte de reducere prețul obiectului era de:

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=(x+4)2−(x+1)2E(x)=(x+4)^2-(x+1)^2E(x)=(x+4)2−(x+1)2 ,  unde x este număr real. Expresia E(x) este divizilbilă cu:

Exercițiul 4

Se consideră  x=(12218−18272)÷(38) x = \left( \frac{12}{2\sqrt{18}} - \frac{18}{2\sqrt{72}} \right) \div (3\sqrt{8})x=(218​12​−272​18​)÷(38​). Valoarea lui x este:

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→Rf:R \rightarrow Rf:R→R, f(x)=3⋅x+6f(x)=3 \cdot x+6f(x)=3⋅x+6.  Abscisa punctului de pe graficul funcției f, a cărui ordonata egală cu 3, este egală cu:

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=xx2−3⋅x:(1x−3−1x+3)E(x) = {\frac{x}{x^2 - 3\cdot x}}:\left( \frac{1}{x - 3} -  \frac{1}{x + 3} \right)E(x)=x2−3⋅xx​:(x−31​−x+31​),  unde x este număr real, x≠-3, x≠3, x≠0. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Subiectul II →

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 12 întrebări fără răspuns

Vezi I: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Vezi II: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Test final 6

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=5⋅(5−15)a = 5 \cdot \left( 5 - \frac{1}{5} \right)a=5⋅(5−51​)  este egală cu:

a) 1

b) 5

c) 20

d) 24

Exercițiul 2

După o reducere cu 20%, prețul unui obiect devine 60 de lei. Înainte de reducere prețul obiectului era de:

a) 100 lei

b) 75 lei

c) 60 lei

d) 50 lei

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=(x+4)2−(x+1)2E(x)=(x+4)^2-(x+1)^2E(x)=(x+4)2−(x+1)2 ,  unde x este număr real. Expresia E(x) este divizilbilă cu:

a) 3

b) 2

c) 5

d) 10

Exercițiul 4

Se consideră  x=(12218−18272)÷(38) x = \left( \frac{12}{2\sqrt{18}} - \frac{18}{2\sqrt{72}} \right) \div (3\sqrt{8})x=(218​12​−272​18​)÷(38​). Valoarea lui x este:

a) $2\sqrt{2}$

b) $24$

c) $\frac{1}{24}$

d) $3\sqrt{2}$

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→Rf:R \rightarrow Rf:R→R, f(x)=3⋅x+6f(x)=3 \cdot x+6f(x)=3⋅x+6.  Abscisa punctului de pe graficul funcției f, a cărui ordonata egală cu 3, este egală cu:

a) -1

b) 1

c) -2

d) 2

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=xx2−3⋅x:(1x−3−1x+3)E(x) = {\frac{x}{x^2 - 3\cdot x}}:\left( \frac{1}{x - 3} -  \frac{1}{x + 3} \right)E(x)=x2−3⋅xx​:(x−31​−x+31​),  unde x este număr real, x≠-3, x≠3, x≠0. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

a) $\frac{x - 3}{6}$

b) $x+3$

c) $\frac{x + 3}{6}$

d) $x^2-3$

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD, cu diagonalele perpendiculare. Dacă AB=18 cm și DC=8 cm. Lungimea lui AD este egală cu:

a) 13 cm

b) 10 cm

c) 26 cm

d) 12 cm

Exercițiul 2

Se consideră dreptunghiul ABCD cu  AB=22AB = 2\sqrt{2}AB=22​  cm  și  BC=4BC= 4BC=4  cm.  Punctul E este mijlocul laturii BC și punctul F este situat pe segmentul AE, astfel încât BF⊥AE. Lungimea lui EF este egală cu:

a) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm

b) $2$ cm

c) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm

d) $4$ cm

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat pătratul ABCD și triunghiul echilateral BCE. Măsura unghiului CAE este egală cu:

a) 15˚

b) 30˚

c) 45˚

d) 60˚

Exercițiul 4

În figura paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', se cunosc  AB=10AB=10AB=10  cm,  BC=5BC=5BC=5  cm și  AA′=102AA'= 10\sqrt{2}AA′=102​  cm. Punctul E este mijlocul muchiei CD. Aria triunghiului ABE este egală cu:

a) $100\sqrt{2}$ $\text{cm}^2$

b) $100$ $\text{cm}^2$

c) $25$ $\text{cm}^2$

d) $50\sqrt{2}$ $\text{cm}^2$

Exercițiul 5

În figura de mai jos este reprezentată piramidă triunghiulară regulată VABC, de înălțime  VO=63VO= 6\sqrt{3}VO=63​  cm. Unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei are măsura egală cu 60˚. Punctul M este mijlocul muchiei AB. Lungimea apotemei piramidei este egală cu:

a) $12\sqrt{3}$ cm

b) $6$ cm

c) $12$ cm

d) $6\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat o prismă dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghi echilateral, cu AB = AA’ = 4 cm. Aria totala a prismei este egală cu:

a) $8\sqrt3$ $\text{cm}^2$

b) $4\sqrt3$ $\text{cm}^2$

c) $4(10+\sqrt3)$ $\text{cm}^2$

d) $4(12+\sqrt3)$ $\text{cm}^2$

Răspunsuri și explicații

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=5⋅(5−15)a = 5 \cdot \left( 5 - \frac{1}{5} \right)a=5⋅(5−51​)  este egală cu:

Răspuns corect: 24

Explicație:a=5⋅(5−15)a = 5 \cdot \left( 5 - \frac{1}{5} \right)a=5⋅(5−51​) 

a=5⋅(255−15)a = 5 \cdot ( \frac{25}{5} - \frac{1}{5})a=5⋅(525​−51​)

a=51⋅245=24a = \frac{5}{1} \cdot \frac{24}{5} = 24a=15​⋅524​=24

Exercițiul 2

După o reducere cu 20%, prețul unui obiect devine 60 de lei. Înainte de reducere prețul obiectului era de:

Răspuns corect: 75 lei

Explicație:x−20100⋅x=80100⋅xx-\frac{20}{100}\cdot x=\frac{80}{100}\cdot xx−10020​⋅x=10080​⋅x

80100⋅x=60\frac{80}{100}\cdot x = 6010080​⋅x=60

x=601:80100x = \frac{60}{1} : \frac{80}{100}x=160​:10080​

x=601⋅10080x = \frac{60}{1} \cdot \frac{100}{80}x=160​⋅80100​

x=600080=75x = \frac{6000}{80} = 75x=806000​=75

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=(x+4)2−(x+1)2E(x)=(x+4)^2-(x+1)^2E(x)=(x+4)2−(x+1)2 ,  unde x este număr real. Expresia E(x) este divizilbilă cu:

Răspuns corect: 3

Explicație:(x+4)2=x2+8⋅x+16(x+4)^2=x^2 + 8\cdot x + 16(x+4)2=x2+8⋅x+16
(x+1)2=x2+2⋅x+1(x+1)^2=x^2 + 2\cdot x + 1(x+1)2=x2+2⋅x+1

Expresia devine:
E(x)=x2+8⋅x+16–(x2+2⋅x+1)E(x)=x^2 + 8\cdot x + 16 – (x^2 + 2\cdot x + 1)E(x)=x2+8⋅x+16–(x2+2⋅x+1)
E(x)=x2+8⋅x+16–x2−2⋅x−1E(x)=x^2 + 8\cdot x + 16 – x^2 - 2\cdot x - 1E(x)=x2+8⋅x+16–x2−2⋅x−1
E(x)=6⋅x+15E(x)=6\cdot x+15E(x)=6⋅x+15
E(x)=3(2⋅x+5)E(x)=3(2\cdot x+5)E(x)=3(2⋅x+5)

Exercițiul 4

Se consideră  x=(12218−18272)÷(38) x = \left( \frac{12}{2\sqrt{18}} - \frac{18}{2\sqrt{72}} \right) \div (3\sqrt{8})x=(218​12​−272​18​)÷(38​). Valoarea lui x este:

Răspuns corect: $\frac{1}{24}$

Explicație:x=(122⋅32−182⋅62)÷(3⋅22) x = \left( \frac{12}{2 \cdot 3\sqrt{2}} - \frac{18}{2 \cdot6\sqrt{2}} \right) \div (3 \cdot 2\sqrt{2})x=(2⋅32​12​−2⋅62​18​)÷(3⋅22​)

x=(22−32⋅2)÷(62) x = \left( \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{3}{2 \cdot\sqrt{2}} \right) \div (6\sqrt{2})x=(2​2​−2⋅2​3​)÷(62​)

x=(4−322)÷(62)=122⋅162 x = \left( \frac{4 - 3}{2\sqrt{2}} \right) \div (6\sqrt{2}) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{6\sqrt{2}}x=(22​4−3​)÷(62​)=22​1​⋅62​1​

x=112⋅2=124⇒x=124 x = \frac{1}{12 \cdot 2} = \frac{1}{24} \Rightarrow x = \frac{1}{24}x=12⋅21​=241​⇒x=241​

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→Rf:R \rightarrow Rf:R→R, f(x)=3⋅x+6f(x)=3 \cdot x+6f(x)=3⋅x+6.  Abscisa punctului de pe graficul funcției f, a cărui ordonata egală cu 3, este egală cu:

Răspuns corect: -1

Explicație:x – abscisă 
y – ordonată 

y=3 , f(x)=3

3x+6=3
3x=3-6
3x=-3
x=-1

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=xx2−3⋅x:(1x−3−1x+3)E(x) = {\frac{x}{x^2 - 3\cdot x}}:\left( \frac{1}{x - 3} -  \frac{1}{x + 3} \right)E(x)=x2−3⋅xx​:(x−31​−x+31​),  unde x este număr real, x≠-3, x≠3, x≠0. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Răspuns corect: $\frac{x + 3}{6}$

Explicație:E(x)=xx(x−3):(x+3)−(x−3)(x−3)(x+3) E(x) = \frac{x}{x(x - 3)} : \frac{(x + 3) - (x - 3)}{(x - 3)(x + 3)}E(x)=x(x−3)x​:(x−3)(x+3)(x+3)−(x−3)​

E(x)=xx(x−3):x+3−x+3(x−3)(x+3) E(x) = \frac{x}{x(x - 3)} : \frac{x + 3 - x + 3}{(x - 3)(x + 3)}E(x)=x(x−3)x​:(x−3)(x+3)x+3−x+3​

E(x)=xx(x−3):6(x−3)(x+3) E(x) = \frac{x}{x(x - 3)} : \frac{6}{(x - 3)(x + 3)}E(x)=x(x−3)x​:(x−3)(x+3)6​

E(x)=xx(x−3)⋅(x−3)(x+3)6 E(x) = \frac{x}{x(x - 3)} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{6}E(x)=x(x−3)x​⋅6(x−3)(x+3)​

E(x)=x(x−3)(x+3)x(x−3)⋅6 E(x) = \frac{x(x - 3)(x + 3)}{x(x - 3) \cdot 6}E(x)=x(x−3)⋅6x(x−3)(x+3)​

E(x)=x+36 E(x) = \frac{x + 3}{6}E(x)=6x+3​

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD, cu diagonalele perpendiculare. Dacă AB=18 cm și DC=8 cm. Lungimea lui AD este egală cu:

Răspuns corect: 12 cm

Explicație:În trapez dreptunghic cu diagonale perpendiculare:
h2=B⋅bh^2=B·bh2=B⋅b
AD2=AB⋅CDAD^2=AB·CDAD2=AB⋅CD
AD2=18⋅8=144AD^2=18·8=144AD2=18⋅8=144
AD=12AD=12AD=12  cm

Exercițiul 2

Se consideră dreptunghiul ABCD cu  AB=22AB = 2\sqrt{2}AB=22​  cm  și  BC=4BC= 4BC=4  cm.  Punctul E este mijlocul laturii BC și punctul F este situat pe segmentul AE, astfel încât BF⊥AE. Lungimea lui EF este egală cu:

Răspuns corect: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm

Explicație:Se aplică teorema lui Pitagora în △ABE:
AB2+CE2=AE2AB^2 + CE^2 = AE^2AB2+CE2=AE2
(22)2+22=AE2(2\sqrt{2})^2 + 2^2 = AE^2(22​)2+22=AE2
AE2=8+4=12AE^2 = 8 + 4 = 12AE2=8+4=12
AE=12=23AE = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}AE=12​=23​  cm

Se aplică teorema lui catetei în △ABE:
BE2=EF⋅AEBE^2 = EF \cdot AEBE2=EF⋅AE
22=EF⋅232^2 = EF \cdot 2\sqrt{3}22=EF⋅23​
EF=423=23EF = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}EF=23​4​=3​2​
EF=233EF= \frac{2\sqrt{3}}{3}EF=323​​  cm

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat pătratul ABCD și triunghiul echilateral BCE. Măsura unghiului CAE este egală cu:

Răspuns corect: 30˚

Explicație:∠ABE=90∘+60∘=150∘\angle ABE = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ∠ABE=90∘+60∘=150∘

△ABE isoscel:
∠BAE=180∘−150∘2=15∘\angle BAE = \frac{180^\circ - 150^\circ}{2} = 15^\circ∠BAE=2180∘−150∘​=15∘
∠CAE=90∘−45∘−15∘=30∘\angle CAE = 90^\circ - 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ∠CAE=90∘−45∘−15∘=30∘

Exercițiul 4

În figura paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', se cunosc  AB=10AB=10AB=10  cm,  BC=5BC=5BC=5  cm și  AA′=102AA'= 10\sqrt{2}AA′=102​  cm. Punctul E este mijlocul muchiei CD. Aria triunghiului ABE este egală cu:

Răspuns corect: $25$ $\text{cm}^2$

Explicație:Atriunghi=b⋅h2A_{triunghi} = \frac{b \cdot h}{2}Atriunghi​=2b⋅h​

AABE=AB⋅EF2A_{ABE} = \frac{AB \cdot EF}{2}AABE​=2AB⋅EF​
AABE=25 cm2A_{ABE} =25 \text{ cm}^2AABE​=25 cm2

Exercițiul 5

În figura de mai jos este reprezentată piramidă triunghiulară regulată VABC, de înălțime  VO=63VO= 6\sqrt{3}VO=63​  cm. Unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei are măsura egală cu 60˚. Punctul M este mijlocul muchiei AB. Lungimea apotemei piramidei este egală cu:

Răspuns corect: $12$ cm

Explicație:(ABC)∩(VAB)=AB(ABC)∩(VAB)=AB(ABC)∩(VAB)=AB 
OM⊥AB,OM⊂(ABC)OM \perp AB, \quad OM \subset (ABC)OM⊥AB,OM⊂(ABC)
VM⊥AB,VM⊂(VAB)VM \perp AB, \quad VM \subset (VAB)VM⊥AB,VM⊂(VAB)

ABC,VAB^=OM,VM^=VMO^\widehat{ABC, VAB} = \widehat {OM, VM} = \widehat {VMO}ABC,VAB​=OM,VM​=VMO

În △VMO, notăm OM=x deci VM=2x     
Se aplică teoremai lui Pitagora:
MO2+VO2=VM2MO^2 + VO^2 = VM^2MO2+VO2=VM2
x2+VO2=(2⋅x)2x^2 + VO^2 = (2\cdot x)^2x2+VO2=(2⋅x)2
x2+(63)2=(4⋅x)2x^2 + (6\sqrt{3})^2 = (4\cdot x)^2x2+(63​)2=(4⋅x)2
3⋅x2=1083\cdot x^2 = 1083⋅x2=108
x=6x = 6x=6  cm

OM=6 cm (apotema bazei)
VM=12 cm (apotema piramidei)

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat o prismă dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghi echilateral, cu AB = AA’ = 4 cm. Aria totala a prismei este egală cu:

Răspuns corect: $4(12+\sqrt3)$ $\text{cm}^2$

Explicație:At=Aℓ+2AbA_t = A_\ell + 2A_bAt​=Aℓ​+2Ab​
Aℓ=Pb⋅hA_\ell = P_b \cdot hAℓ​=Pb​⋅h
Aℓ=12⋅4=48A_\ell = 12 \cdot 4 = 48Aℓ​=12⋅4=48 cm2\text{cm}^2cm2

Ab=ℓ234A_b = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}Ab​=4ℓ23​​
Ab=1634=43A_b = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}Ab​=4163​​=43​ cm2\text{cm}^2cm2

At=48+43A_t = 48 + 4\sqrt{3}At​=48+43​
At=4(12+3)A_t = 4(12 + \sqrt{3})At​=4(12+3​)  cm2\text{cm}^2cm2