Test final 4

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=5−1⋅(12+13)a=5^{-1} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right)a=5−1⋅(21​+31​)  este egală cu:

Exercițiul 2

Într-un bloc sunt 25 de apartamente cu câte două și trei camere, în total fiind 60 de camere. Numărul apartamentelor cu două camere este egal cu:

Exercițiul 3

Se consideră expresia:  E(x)=E(x)=E(x)= (x+2)2(x+2)^2(x+2)2 −2(x2−x)-2(x^2 - x)−2(x2−x) +(x−1)2+ (x-1)^2+(x−1)2 ,  unde x este număr real. 

Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Exercițiul 4

Se consideră  x=(48−2727)2x = \left( \sqrt{48} - \frac{27}{\sqrt{27}} \right)^2x=(48​−27​27​)2.  Valoarea lui x este:

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→Rf:R \rightarrow Rf:R→R, f(x)=3⋅x+1f(x)=3 \cdot x+1f(x)=3⋅x+1.  Valoarea lui m pentru care punctul  A(m,2m)A(m,2m)A(m,2m) aparține graficului funcției f este:

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=1x2−1:1x−1+xx+1 E(x) = \frac{1}{x^2 - 1} : \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x + 1}E(x)=x2−11​:x−11​+x+1x​, unde x este număr real, x≠-1, x≠1. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Subiectul II →

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 12 întrebări fără răspuns

Vezi I: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Vezi II: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Test final 4

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=5−1⋅(12+13)a=5^{-1} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right)a=5−1⋅(21​+31​)  este egală cu:

a) $\frac{1}{6}$

b) $1$

c) $6$

d) $\frac{1}{5}$

Exercițiul 2

Într-un bloc sunt 25 de apartamente cu câte două și trei camere, în total fiind 60 de camere. Numărul apartamentelor cu două camere este egal cu:

a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

Exercițiul 3

Se consideră expresia:  E(x)=E(x)=E(x)= (x+2)2(x+2)^2(x+2)2 −2(x2−x)-2(x^2 - x)−2(x2−x) +(x−1)2+ (x-1)^2+(x−1)2 ,  unde x este număr real. 

Valoarea simplificată a lui E(x) este:

a) x+5

b) 2x-5

c) x+10

d) 4x+5

Exercițiul 4

Se consideră  x=(48−2727)2x = \left( \sqrt{48} - \frac{27}{\sqrt{27}} \right)^2x=(48​−27​27​)2.  Valoarea lui x este:

a) $4$

b) $4\sqrt{3}$

c) $3$

d) $3\sqrt{3}$

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→Rf:R \rightarrow Rf:R→R, f(x)=3⋅x+1f(x)=3 \cdot x+1f(x)=3⋅x+1.  Valoarea lui m pentru care punctul  A(m,2m)A(m,2m)A(m,2m) aparține graficului funcției f este:

a) -1

b) 1

c) -2

d) 2

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=1x2−1:1x−1+xx+1 E(x) = \frac{1}{x^2 - 1} : \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x + 1}E(x)=x2−11​:x−11​+x+1x​, unde x este număr real, x≠-1, x≠1. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

a) -1

b) x+1

c) x-1

d) 1

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un pătrat ABCD și un triunghi dreptunghic isoscel CED dreptunghic în E. Se cunoaște  DE=32DE=3\sqrt{2}DE=32​  cm. Lungimea lui AE este egală cu:

a) $6$ cm

b) $10$ cm

c) $10\sqrt{3}$ cm

d) $3\sqrt{10}$ cm

Exercițiul 2

În triunghiul ABC dreptunghic în A cu unghiului ACB este de 30˚, perpendiculara din A pe BC intersectează dreapta BC în punctul D, iar  AD=3AD=\sqrt{3}AD=3​  cm. Lungimea lui CE este egală cu

a) $2\sqrt{3}$ cm

b) $2$ cm

c) $4\sqrt{3}$ cm

d) $4$ cm

Exercițiul 3

Se consideră rombul ABCD, cu măsura unghiului A este jumătate din măsura unghiului B. Se cunoaște diagonala BD=10 cm. Perimetrul rombului egal cu:

a) 25 cm

b) 40 cm

c) 20 cm

d) 10 cm

Exercițiul 4

În figura de mai jos este reprezentat un cub ABCDA'B'C'D'. Cosinusul unghiului dintre AC’ și planul (ABC) este egal cu:

a) $\frac{\sqrt{6}}{3}$

b) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

d) $\frac{1}{2}$

Exercițiul 5

În figura de mai jos este reprezentată piramidă patrulateră regulată VABCD. Se cunosc înălțimea  VO=63VO= 6\sqrt{3}VO=63​  cm și muchia laterală  VA=65VA= 6\sqrt{5}VA=65​  cm. Lungimea muchiei bazei piramidei este egală cu:

a) $12\sqrt{3}$ cm

b) $6$ cm

c) $12$ cm

d) $6\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat un cubul ABCDA'B'C'D'. Distanța de la punctul B’ la AD este egală cu:

a) B'B

b) B'A

c) B'D

d) B'C

Răspunsuri și explicații

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=5−1⋅(12+13)a=5^{-1} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right)a=5−1⋅(21​+31​)  este egală cu:

Răspuns corect: $\frac{1}{6}$

Explicație:a=15⋅(36+26)a = \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \right)a=51​⋅(63​+62​)

a=15⋅56=16a = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6}a=51​⋅65​=61​

Exercițiul 2

Într-un bloc sunt 25 de apartamente cu câte două și trei camere, în total fiind 60 de camere. Numărul apartamentelor cu două camere este egal cu:

Răspuns corect: 15

Explicație:Notăm cu: 
a=numărul apartamentelor cu două camere
b=numărul apartamentelor cu trei camere

{a+b=252⋅a+3⋅b=60\left\{ \begin{array}{l} a + b = 25 \\ 2\cdot a + 3\cdot b = 60 \end{array} \right.{a+b=252⋅a+3⋅b=60​ ⇒\Rightarrow⇒ 

{3⋅a+3⋅b=752⋅a+3⋅b=60\left\{ \begin{array}{l} 3\cdot a + 3\cdot b = 75 \\ 2\cdot a + 3\cdot b = 60 \end{array} \right.{3⋅a+3⋅b=752⋅a+3⋅b=60​ ⇒\Rightarrow⇒

(3⋅a+3⋅b)−(2⋅a+3⋅b)=75–60(3\cdot a + 3\cdot b) - (2\cdot a + 3\cdot b) = 75 – 60(3⋅a+3⋅b)−(2⋅a+3⋅b)=75–60
a=15a = 15a=15  apartamente cu două camere

Exercițiul 3

Se consideră expresia:  E(x)=E(x)=E(x)= (x+2)2(x+2)^2(x+2)2 −2(x2−x)-2(x^2 - x)−2(x2−x) +(x−1)2+ (x-1)^2+(x−1)2 ,  unde x este număr real. 

Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Răspuns corect: 4x+5

Explicație:Se folosesc formulele:
(a+b)2=a2+2⋅a⋅b+b2(a+b)^2=a^2+2 \cdot a \cdot b + b^2(a+b)2=a2+2⋅a⋅b+b2
(a−b)2=a2−2⋅a⋅b+b2(a-b)^2=a^2-2 \cdot a \cdot b + b^2(a−b)2=a2−2⋅a⋅b+b2

Deci: 
(x+2)2=x2+4⋅x+4(x+2)^2=x^2 + 4\cdot x + 4(x+2)2=x2+4⋅x+4
(x−1)2=x2−2⋅x+1(x-1)^2=x^2 - 2\cdot x + 1(x−1)2=x2−2⋅x+1

Expresia devine:
E(x)=x2+4⋅x+4E(x)=x^2 + 4\cdot x + 4E(x)=x2+4⋅x+4 −2⋅x2+2⋅x- 2\cdot x^2 + 2\cdot x−2⋅x2+2⋅x +x2−2⋅x+1+ x^2 - 2\cdot x + 1+x2−2⋅x+1
E(x)=4⋅x+5E(x)=4\cdot x+5E(x)=4⋅x+5

Exercițiul 4

Se consideră  x=(48−2727)2x = \left( \sqrt{48} - \frac{27}{\sqrt{27}} \right)^2x=(48​−27​27​)2.  Valoarea lui x este:

Răspuns corect: $3$

Explicație:x=(43−2733)2x = \left( 4\sqrt{3} - \frac{27}{3\sqrt{3}} \right)^2x=(43​−33​27​)2

x=(43−2733⋅3)2x = \left( 4\sqrt{3} - \frac{27\sqrt{3}}{3 \cdot 3} \right)^2x=(43​−3⋅3273​​)2

x=(43−33)2x = \left( 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \right)^2x=(43​−33​)2

x=(3)2=3x = (\sqrt{3})^2 = 3x=(3​)2=3

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→Rf:R \rightarrow Rf:R→R, f(x)=3⋅x+1f(x)=3 \cdot x+1f(x)=3⋅x+1.  Valoarea lui m pentru care punctul  A(m,2m)A(m,2m)A(m,2m) aparține graficului funcției f este:

Răspuns corect: -1

Explicație:f(m)=2m

3m+1=2m

3m-2m=-1

m=-1

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=1x2−1:1x−1+xx+1 E(x) = \frac{1}{x^2 - 1} : \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x + 1}E(x)=x2−11​:x−11​+x+1x​, unde x este număr real, x≠-1, x≠1. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Răspuns corect: 1

Explicație:E(x)=1(x−1)(x+1)⋅x−11+xx+1 E(x) = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{1} + \frac{x}{x + 1}E(x)=(x−1)(x+1)1​⋅1x−1​+x+1x​

E(x)=1x+1+xx+1= E(x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{x }{x+1} =E(x)=x+11​+x+1x​= 

E(x)=x+1x+1=1 E(x) = \frac{x + 1}{x + 1} = 1E(x)=x+1x+1​=1

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un pătrat ABCD și un triunghi dreptunghic isoscel CED dreptunghic în E. Se cunoaște  DE=32DE=3\sqrt{2}DE=32​  cm. Lungimea lui AE este egală cu:

Răspuns corect: $3\sqrt{10}$ cm

Explicație:DC=DE⋅2=6DC = DE \cdot \sqrt{2} = 6DC=DE⋅2​=6  cm
EM=DC2=3EM = \frac{DC}{2} = 3EM=2DC​=3  cm
EF=EM+MFEF = EM + MFEF=EM+MF
EF=3+6=9EF = 3 + 6 = 9EF=3+6=9  cm

Se aplică teorema lui Pitagora în △AEF:
AE2=AF2+EF2AE^2 = AF^2 + EF^2AE2=AF2+EF2
AE2=92+32AE^2 = 9^2 + 3^2AE2=92+32
AE2=81+9=90AE^2 = 81 + 9 = 90AE2=81+9=90
AE=90=310AE = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}AE=90​=310​  cm

Exercițiul 2

În triunghiul ABC dreptunghic în A cu unghiului ACB este de 30˚, perpendiculara din A pe BC intersectează dreapta BC în punctul D, iar  AD=3AD=\sqrt{3}AD=3​  cm. Lungimea lui CE este egală cu

Răspuns corect: $4\sqrt{3}$ cm

Explicație:∠ACB=30∘⇒\angle ACB = 30^\circ \Rightarrow∠ACB=30∘⇒  în  △\triangle△ ACD, AC = 2AD

În  △\triangle△ ABC,  ∠ABD=60∘\angle ABD = 60^\circ∠ABD=60∘,  ∠BAD=30∘\angle BAD = 30^\circ∠BAD=30∘
AD∥EC⇒∠BAD=∠BECAD \parallel EC \Rightarrow \angle BAD = \angle BECAD∥EC⇒∠BAD=∠BEC  unghiuri corespondente

EC=2AC=4ADEC=2AC=4ADEC=2AC=4AD
AD=3AD = \sqrt{3}AD=3​,  EC=43EC = 4\sqrt{3}EC=43​  cm

Exercițiul 3

Se consideră rombul ABCD, cu măsura unghiului A este jumătate din măsura unghiului B. Se cunoaște diagonala BD=10 cm. Perimetrul rombului egal cu:

Răspuns corect: 40 cm

Explicație:∠A=12∠B⇒∠B=2∠A\angle A = \frac{1}{2} \angle B \Rightarrow \angle B = 2\angle A∠A=21​∠B⇒∠B=2∠A
∠A+∠B=180∘\angle A + \angle B = 180^\circ∠A+∠B=180∘
∠A+2∠A=180∘⇒3∠A=180∘\angle A + 2\angle A = 180^\circ \Rightarrow 3\angle A = 180^\circ∠A+2∠A=180∘⇒3∠A=180∘
∠A=60∘\angle A = 60^\circ∠A=60∘

△ABD este echilateral⇒ \triangle ABD \text{ este echilateral} \Rightarrow△ABD este echilateral⇒ AB=BD=AD=10AB = BD = AD = 10AB=BD=AD=10  cm
PABCD=40P_{ABCD} = 40PABCD​=40  cm

Exercițiul 4

În figura de mai jos este reprezentat un cub ABCDA'B'C'D'. Cosinusul unghiului dintre AC’ și planul (ABC) este egal cu:

Răspuns corect: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Explicație:∠(AC′,(ABD))=∠(AC′,AC)\angle (AC', (ABD)) = \angle (AC', AC)∠(AC′,(ABD))=∠(AC′,AC) =∠(CAC′)= \angle (CAC')=∠(CAC′)

AC este diagonală în pătrat:  AC=AB2AC=AB{\sqrt{2}}AC=AB2​

AC’ este diagonală în pătrat:  AC′=AB3AC'=AB{\sqrt{3}}AC′=AB3​

cosinus (∠CAC′)=ACAC′=AB2AB3(\angle CAC') = \frac{AC}{AC'} = \frac{AB\sqrt{2}}{AB\sqrt{3}}(∠CAC′)=AC′AC​=AB3​AB2​​

cosinus (∠CAC′)=23=63(\angle CAC') = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}(∠CAC′)=3​2​​=36​​

Exercițiul 5

În figura de mai jos este reprezentată piramidă patrulateră regulată VABCD. Se cunosc înălțimea  VO=63VO= 6\sqrt{3}VO=63​  cm și muchia laterală  VA=65VA= 6\sqrt{5}VA=65​  cm. Lungimea muchiei bazei piramidei este egală cu:

Răspuns corect: $12$ cm

Explicație:Se aplicăm teorema lui Pitagora în △VOA:
VO2+OA2=VA2VO^2 + OA^2 = VA^2VO2+OA2=VA2
(63)2+OA2=(65)2(6\sqrt{3})^2 + OA^2 = (6\sqrt{5})^2(63​)2+OA2=(65​)2
108+OA2=180⇒OA2=72108 + OA^2 = 180 \Rightarrow OA^2 = 72108+OA2=180⇒OA2=72
OA=72=62OA = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}OA=72​=62​  cm

AC=2⋅OA=122AC = 2 \cdot OA = 12\sqrt{2}AC=2⋅OA=122​  cm

AC=AB2AC = AB\sqrt{2}AC=AB2​ (formula diagonalei în pătrat)
⇒AB=12\Rightarrow AB =12⇒AB=12  cm

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat un cubul ABCDA'B'C'D'. Distanța de la punctul B’ la AD este egală cu:

Răspuns corect: B'A

Explicație:Teorema celor 3 perpendiculare:
B’B⊥(ABCD)
BA⊥AD
BA, AD ⊂ (ABCD)
⇒\Rightarrow⇒ B’A⊥AD ⇒\Rightarrow⇒  d(B’,AD)=B’A 