Test final 2

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=(12+13):5a = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) : 5a=(21​+31​):5  este egală cu:

Exercițiul 2

În urmă cu 5 ani tatăl era de șapte ori mai în vârstă decât fiul său. În prezent, tatăl are 40 ani. Vârsta fiului este mai mică decât vârsta tatălui de:

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=(x+2)2−(x2−x)+1 E(x) = (x + 2)^2 - (x^2 - x) + 1E(x)=(x+2)2−(x2−x)+1 , unde x este număr real. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Exercițiul 4

Se consideră  x=(327+575)⋅(13)−2 x = \left( \frac{3}{\sqrt{27}} + \frac{5}{\sqrt{75}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{3}}  \right)^{-2}x=(27​3​+75​5​)⋅(3​1​)−2.
Valoarea simplificată a lui x este:

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→Rf:R\rightarrow Rf:R→R,  f(x)=2⋅x−6.f(x)=2\cdot x-6.f(x)=2⋅x−6.  Intersecția graficului funcției cu axa Ox este punctul:

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=(2x+1−1x−1):1x2−1 E(x) = \left( \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-1} \right) : \frac{1}{x^2 - 1}E(x)=(x+12​−x−11​):x2−11​, unde x este număr real, x≠-1, x≠1. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Subiectul II →

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 12 întrebări fără răspuns

Vezi I: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Vezi II: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Test final 2

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=(12+13):5a = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) : 5a=(21​+31​):5  este egală cu:

a) $\frac{1}{2}$

b) $\frac{1}{3}$

c) $\frac{1}{5}$

d) $\frac{1}{6}$

Exercițiul 2

În urmă cu 5 ani tatăl era de șapte ori mai în vârstă decât fiul său. În prezent, tatăl are 40 ani. Vârsta fiului este mai mică decât vârsta tatălui de:

a) 2 ori

b) 3 ori

c) 4 ori

d) 5 ori

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=(x+2)2−(x2−x)+1 E(x) = (x + 2)^2 - (x^2 - x) + 1E(x)=(x+2)2−(x2−x)+1 , unde x este număr real. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

a) 5x+5

b) 10x-5

c) 2x-1

d) x+2

Exercițiul 4

Se consideră  x=(327+575)⋅(13)−2 x = \left( \frac{3}{\sqrt{27}} + \frac{5}{\sqrt{75}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{3}}  \right)^{-2}x=(27​3​+75​5​)⋅(3​1​)−2.
Valoarea simplificată a lui x este:

a) $2\sqrt{3}$

b) $10$

c) $6\sqrt{3}$

d) $2$

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→Rf:R\rightarrow Rf:R→R,  f(x)=2⋅x−6.f(x)=2\cdot x-6.f(x)=2⋅x−6.  Intersecția graficului funcției cu axa Ox este punctul:

a) (0,3)

b) (3,0)

c) (3,2)

d) (2,3)

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=(2x+1−1x−1):1x2−1 E(x) = \left( \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-1} \right) : \frac{1}{x^2 - 1}E(x)=(x+12​−x−11​):x2−11​, unde x este număr real, x≠-1, x≠1. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

a) x

b) 2x+1

c) x-3

d) -2

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD. Semidreapta (BD este bisectoarea unghiului ABC Măsura unghiului ABC este egală cu 60˚. Dacă AB=30 cm. Lungimea diagonalei BD este egală cu:

a) $15$ cm

b) $30$ cm

c) $30\sqrt{3}$ cm

d) $20\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 2

În figura de mai jos este reprezentat un triunghi ABC, în care punctul G este centrul de greutate al triunghiului. Prin G se duce MN || BC, M ∈ AB și N ∈ AC. Valoarea raportului  AMBM\frac{AΜ}{BΜ}BMAM​  este egală cu:  

a) $\frac{1}{2}$

b) $2$

c) $\frac{1}{3}$

d) $3$

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, iar punctul D este proiecția punctului A pe BC. Lungimile proiecțiilor BD și respectiv CD sunt egale cu 5 cm, respectiv 20 cm. Lungimea înălțimii AD este egală cu:

a) 25 cm

b) 20 cm

c) 15 cm

d) 10 cm

Exercițiul 4

În figura de mai jos este reprezentată o prismă dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD. Se cunosc  AB=10AB=10AB=10 cm și  AA′=102AA'= 10\sqrt{2}AA′=102​  cm . Aria laterală a prismei este egală cu:

a) $400\sqrt{2}$ $\text{cm}^2$

b) $200$ $\text{cm}^2$

c) $100$ $\text{cm}^2$

d) $100\sqrt{2}$ $\text{cm}^2$

Exercițiul 5

În piramidă patrulateră regulată VABCD, înălțimea  VO=63VO=6\sqrt{3}VO=63​  cm. Unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei are măsura egală cu 60˚. Punctul M este mijlocul muchiei BC. Lungimea muchiei bazei piramidei este egală cu:

a) $12\sqrt{3}$ cm

b) $6$ cm

c) $12$ cm

d) $6\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat un pătratul ABCD, iar MD⊥(ABC). Unghiul dintre AD și MC este egal cu:

a) 30˚

b) 45˚

c) 60˚

d) 90˚

Răspunsuri și explicații

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=(12+13):5a = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) : 5a=(21​+31​):5  este egală cu:

Răspuns corect: $\frac{1}{6}$

Explicație:a=(12+13):5a=\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right):5a=(21​+31​):5

a=(36+26):51a=\left( \frac{3}{6}+\frac{2}{6} \right):\frac{5}{1}a=(63​+62​):15​ 

a=56⋅15=16a=\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{6}a=65​⋅51​=61​

Exercițiul 2

În urmă cu 5 ani tatăl era de șapte ori mai în vârstă decât fiul său. În prezent, tatăl are 40 ani. Vârsta fiului este mai mică decât vârsta tatălui de:

Răspuns corect: 4 ori

Explicație:În urmă cu 5 ani tatăl avea 35 ani, iar fiul 5 ani.
Acum tatăl are 40 ani, iar fiul 10 ani.

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=(x+2)2−(x2−x)+1 E(x) = (x + 2)^2 - (x^2 - x) + 1E(x)=(x+2)2−(x2−x)+1 , unde x este număr real. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Răspuns corect: 5x+5

Explicație:Se folosește formula:
(a+b)2=a2+2⋅a⋅b+b2(a+b)^2=a^2+2 \cdot a \cdot b + b^2(a+b)2=a2+2⋅a⋅b+b2

Deci:
(x+2)2=x2+4⋅x+4(x + 2)^2 =x^2+4\cdot x+4(x+2)2=x2+4⋅x+4

Expresia devine:
E(x)=x2+4⋅x+4−x2+x+1 E(x)=x^2+4\cdot x+4-x^2+x+1E(x)=x2+4⋅x+4−x2+x+1
E(x)=5⋅x+5 E(x)=5\cdot x+5E(x)=5⋅x+5

Exercițiul 4

Se consideră  x=(327+575)⋅(13)−2 x = \left( \frac{3}{\sqrt{27}} + \frac{5}{\sqrt{75}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{3}}  \right)^{-2}x=(27​3​+75​5​)⋅(3​1​)−2.
Valoarea simplificată a lui x este:

Răspuns corect: $2\sqrt{3}$

Explicație:x=(333+553)⋅(3)2x= \left( \frac{3}{3\sqrt{3}} + \frac{5}{5\sqrt{3}} \right) \cdot \left( \sqrt{3} \right)^2x=(33​3​+53​5​)⋅(3​)2

x=(13+13)⋅3x= \left( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \cdot 3x=(3​1​+3​1​)⋅3

x=23⋅3x= \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 3x=3​2​⋅3

x=63=633=23x= \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}x=3​6​=363​​=23​

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→Rf:R\rightarrow Rf:R→R,  f(x)=2⋅x−6.f(x)=2\cdot x-6.f(x)=2⋅x−6.  Intersecția graficului funcției cu axa Ox este punctul:

Răspuns corect: (3,0)

Explicație:Pentru a determina intersecția cu axa Ox, se pune condiția ca valoarea coordonatei y să fie 0.

Gf ∩Ox=A(x,0)

f(x)=0

2x-6=0

2x=6

x=3

A(3,0)

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=(2x+1−1x−1):1x2−1 E(x) = \left( \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-1} \right) : \frac{1}{x^2 - 1}E(x)=(x+12​−x−11​):x2−11​, unde x este număr real, x≠-1, x≠1. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Răspuns corect: x-3

Explicație:E(x)=(2x+1−1x−1):1x2−1E(x) = \left( \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-1} \right) : \frac{1}{x^2 - 1}E(x)=(x+12​−x−11​):x2−11​ 

E(x)=(2x−2x2−1−x+1x2−1)⋅x2−11E(x) = \left( \frac{2x - 2}{x^2 - 1} - \frac{x + 1}{x^2 - 1} \right) \cdot \frac{x^2 - 1}{1}E(x)=(x2−12x−2​−x2−1x+1​)⋅1x2−1​ 

E(x)=2x−2−x−1x2−1⋅(x2−1)E(x)=\frac{2x - 2 - x - 1}{x^2 - 1} \cdot (x^2 - 1)E(x)=x2−12x−2−x−1​⋅(x2−1)

E(x)=x−3x2−1⋅(x2−1)E(x) =\frac{x - 3}{x^2 - 1} \cdot (x^2 - 1)E(x)=x2−1x−3​⋅(x2−1)

E(x)=x–3E(x) = x – 3E(x)=x–3

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD. Semidreapta (BD este bisectoarea unghiului ABC Măsura unghiului ABC este egală cu 60˚. Dacă AB=30 cm. Lungimea diagonalei BD este egală cu:

Răspuns corect: $20\sqrt{3}$ cm

Explicație:În triunghiul ABD:

cosinus (ABD^)=ABBD(\widehat{ABD}) = \frac{AB}{BD}(ABD)=BDAB​

cosinus (30∘)=32(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}(30∘)=23​​

32=30BD\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{30}{BD}23​​=BD30​

BD=30⋅23=603BD= \frac{30 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}}BD=3​30⋅2​=3​60​

BD=6033=203BD = \frac{60\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}BD=3603​​=203​ cm

Exercițiul 2

În figura de mai jos este reprezentat un triunghi ABC, în care punctul G este centrul de greutate al triunghiului. Prin G se duce MN || BC, M ∈ AB și N ∈ AC. Valoarea raportului  AMBM\frac{AΜ}{BΜ}BMAM​  este egală cu:  

Răspuns corect: $2$

Explicație:Centrul de greutate se află la o treime de bază si două treimi de vârf. Deci mediana se împarte în 3 segmente congruente:

AGGD=AMMB=21\frac{AG}{GD}=\frac{AΜ}{ΜB}=\frac{2}{1}GDAG​=MBAM​=12​

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, iar punctul D este proiecția punctului A pe BC. Lungimile proiecțiilor BD și respectiv CD sunt egale cu 5 cm, respectiv 20 cm. Lungimea înălțimii AD este egală cu:

Răspuns corect: 10 cm

Explicație:Teorema înălțimii:
AD=BD⋅CDAD= \sqrt{BD \cdot CD}AD=BD⋅CD​       
AD=100=10AD = \sqrt{100} = 10AD=100​=10  cm

Exercițiul 4

În figura de mai jos este reprezentată o prismă dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD. Se cunosc  AB=10AB=10AB=10 cm și  AA′=102AA'= 10\sqrt{2}AA′=102​  cm . Aria laterală a prismei este egală cu:

Răspuns corect: $400\sqrt{2}$ $\text{cm}^2$

Explicație:Aℓ=Pb⋅hA_\ell = P_b \cdot hAℓ​=Pb​⋅h

Aℓ=40⋅102A_\ell = 40 \cdot 10\sqrt{2}Aℓ​=40⋅102​

Aℓ=4002 cm2A_\ell = 400\sqrt{2} \ \text{cm}^2Aℓ​=4002​ cm2

Exercițiul 5

În piramidă patrulateră regulată VABCD, înălțimea  VO=63VO=6\sqrt{3}VO=63​  cm. Unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei are măsura egală cu 60˚. Punctul M este mijlocul muchiei BC. Lungimea muchiei bazei piramidei este egală cu:

Răspuns corect: $12$ cm

Explicație:Unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei este unghiul VMO.

În triunghiul dreptunghic VMO, notam OM=x, rezultă VM=2x.

Aplicăm teorema lui Pitagora:

VO2+OM2=VM2VO^2+OM^2=VM^2VO2+OM2=VM2
108+x2=4⋅x2108+x^2=4\cdot x^2108+x2=4⋅x2
3⋅x2=1083\cdot x^2=1083⋅x2=108
x2=36x^2=36x2=36
x=6x=6x=6

MO=6MO=6MO=6  cm 
VM=12VM=12VM=12  cm

OM linie mijlocie în triunghiul ABC, AB=2·OM=12 cm.

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat un pătratul ABCD, iar MD⊥(ABC). Unghiul dintre AD și MC este egal cu:

Răspuns corect: 90˚

Explicație:AD,MC^=BC,MC^=BCM^\widehat{AD, MC} = \widehat{BC, MC} = \widehat{BCM}AD,MC​=BC,MC​=BCM

MD⊥(ABC)  ⇒\Rightarrow⇒  MD⊥BC 

Deci BC⊥MD și BC⊥DC  ⇒\Rightarrow⇒  BC⊥(MDC)

Rezultă că BC⊥MC,  BCM^=90∘\widehat{BCM} = 90^\circBCM=90∘