Test final 16

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=3⋅(13−3)+10a = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} - 3 \right) + 10a=3⋅(31​−3)+10  este egală cu:

Exercițiul 2

După o scumpire cu 20%, prețul unui obiect devine 60 de lei. Înainte de scumpire prețul obiectului era de:

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=6⋅x+5,E(x)=6\cdot x+5,E(x)=6⋅x+5,  unde x este număr real. Numărul rațional  mmm  pentru care  E(m+1)−15=2m,E(m+1)-15=2m,E(m+1)−15=2m,  este egal cu:

Exercițiul 4

Se consideră  x=(82−82)⋅8. x = \left( \frac{\sqrt{8}}{2} - \frac{8}{\sqrt{2}} \right) \cdot \sqrt{8}.x=(28​​−2​8​)⋅8​.  Valoarea lui  xxx  este:

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→R,f(x)=3⋅x+6.f:R \rightarrow R, f(x)=3\cdot x+6.f:R→R,f(x)=3⋅x+6.  Ordonata punctului de pe graficul funcției  f,f,f,  a cărui abscisă egală cu  −1,-1,−1,  are egală cu:

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=x−3x2−6x+9:(1x−3−1x+3):6−1,E(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 6x + 9} : \left( \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 3} \right) : 6^{-1},E(x)=x2−6x+9x−3​:(x−31​−x+31​):6−1,  unde x este număr real,  x≠−3, x≠3, x≠0.x≠-3,\,x≠3,\,x≠0.x=−3,x=3,x=0.  Valoarea simplificată a lui  E(x)E(x)E(x)  este:

Subiectul II →

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 12 întrebări fără răspuns

Vezi I: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Vezi II: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Test final 16

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=3⋅(13−3)+10a = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} - 3 \right) + 10a=3⋅(31​−3)+10  este egală cu:

a) 1

b) 5

c) 10

d) 2

Exercițiul 2

După o scumpire cu 20%, prețul unui obiect devine 60 de lei. Înainte de scumpire prețul obiectului era de:

a) 40 lei

b) 50 lei

c) 60 lei

d) 80 lei

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=6⋅x+5,E(x)=6\cdot x+5,E(x)=6⋅x+5,  unde x este număr real. Numărul rațional  mmm  pentru care  E(m+1)−15=2m,E(m+1)-15=2m,E(m+1)−15=2m,  este egal cu:

a) $1$

b) $\frac{5}{6}$

c) $\frac{15}{2}$

d) $3$

Exercițiul 4

Se consideră  x=(82−82)⋅8. x = \left( \frac{\sqrt{8}}{2} - \frac{8}{\sqrt{2}} \right) \cdot \sqrt{8}.x=(28​​−2​8​)⋅8​.  Valoarea lui  xxx  este:

a) $-\sqrt{8}$

b) $12$

c) $-12$

d) $\sqrt{8}$

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→R,f(x)=3⋅x+6.f:R \rightarrow R, f(x)=3\cdot x+6.f:R→R,f(x)=3⋅x+6.  Ordonata punctului de pe graficul funcției  f,f,f,  a cărui abscisă egală cu  −1,-1,−1,  are egală cu:

a) 3

b) -3

c) -6

d) 6

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=x−3x2−6x+9:(1x−3−1x+3):6−1,E(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 6x + 9} : \left( \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 3} \right) : 6^{-1},E(x)=x2−6x+9x−3​:(x−31​−x+31​):6−1,  unde x este număr real,  x≠−3, x≠3, x≠0.x≠-3,\,x≠3,\,x≠0.x=−3,x=3,x=0.  Valoarea simplificată a lui  E(x)E(x)E(x)  este:

a) $x-3$

b) $x+2$

c) $x+3$

d) $x-2$

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un trapez isoscel ABCD, cu diagonalele perpendiculare. Dacă  AB=18 cmAB=18\,\text{cm}AB=18cm  și  DC=8 cm.DC=8\,\text{cm.}DC=8cm.  Lungimea înălțimii trapezului este egală cu:

a) 12 cm

b) 10 cm

c) 26 cm

d) 13 cm

Exercițiul 2

Se consideră dreptunghiul ABCD cu  AB=22AB = 2\sqrt{2}AB=22​  cm și  BC=4BC= 4BC=4  cm. Punctul E este mijlocul laturii BC și punctul F este situat pe segmentul AE, astfel încât  BF⊥AE.BF ⊥ AE.BF⊥AE.  Lungimea lui AF este egală cu:

a) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm

b) $2$ cm

c) $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm

d) $4$ cm

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat pătratul ABCD cu  AB=10 cmAB = 10\,\text{cm}AB=10cm  și triunghiul echilateral BCE. Distanța de la C la AE este egală cu:

a) $10\,\text{cm}$

b) $5\sqrt{2}\,\text{cm}$

c) $10\sqrt{2}\,\text{cm}$

d) $5\,\text{cm}$

Exercițiul 4

În figura paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', se cunosc  AB=10 cm, BC=5 cm și AA′=52 cm.AB=10\,\text{cm},\,BC=5\,\text{cm și }  AA'= 5\sqrt{2}\,\text{cm}.AB=10cm,BC=5cm și AA′=52​cm.  Punctul E este mijlocul muchiei CD. Distanța de la  B’  la  AE  este egală cu:

a) $10\sqrt{2}\,\text{cm}$

b) $5\,\text{cm}$

c) $10\,\text{cm}$

d) $5\sqrt{2}\,\text{cm}$

Exercițiul 5

În figura de mai jos este reprezentată piramidă triunghiulară regulată VABC, de înălțime  VO=63 cm.VO= 6\sqrt3\,\text{cm}.VO=63​cm. Unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei are măsura egală cu 60˚. Punctul  MMM  este mijlocul muchiei  AB.AB.AB.  Lungimea muchiei bazei piramidei este egală cu:

a) $12\,\text{cm}$

b) $6\,\text{cm}$

c) $12\sqrt{3}\,\text{cm}$

d) $6\sqrt{3}\,\text{cm}$

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat o prismă dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghi echilateral, cu  AB=AA’=4 cm.AB=AA’=4\,\text{cm}.AB=AA’=4cm.  Volumul prismei este egal cu:

a) $16$ $\text{cm}^3$

b) $64\sqrt3$ $\text{cm}^3$

c) $48$ $\text{cm}^3$

d) $16\sqrt3$ $\text{cm}^3$

Răspunsuri și explicații

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=3⋅(13−3)+10a = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} - 3 \right) + 10a=3⋅(31​−3)+10  este egală cu:

Răspuns corect: 2

Explicație:a=3⋅(13−3)+10 a = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} - 3 \right) + 10a=3⋅(31​−3)+10

a=3⋅(13−93)+10 a = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} - \frac{9}{3} \right) + 10a=3⋅(31​−39​)+10

a=3⋅(−83)+10 a = 3 \cdot \left( \frac{-8}{3} \right) + 10a=3⋅(3−8​)+10

a=3⋅(−8)3+10=−8+10=2 a = \frac{3 \cdot (-8)}{3} + 10 = -8 + 10 = 2a=33⋅(−8)​+10=−8+10=2

Exercițiul 2

După o scumpire cu 20%, prețul unui obiect devine 60 de lei. Înainte de scumpire prețul obiectului era de:

Răspuns corect: 50 lei

Explicație:x+20100x=100100x+20100x=120100xx+ \frac{20}{100}x = \frac{100}{100}x+ \frac{20}{100}x =\frac{120}{100}xx+10020​x=100100​x+10020​x=100120​x

120100⋅x=60\frac{120}{100} \cdot x = 60100120​⋅x=60

x=60÷120100x = 60 \div \frac{120}{100}x=60÷100120​

x=601⋅100120x = \frac{60}{1} \cdot \frac{100}{120}x=160​⋅120100​ 

x=60001200=50x = \frac{6000}{1200} = 50x=12006000​=50

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=6⋅x+5,E(x)=6\cdot x+5,E(x)=6⋅x+5,  unde x este număr real. Numărul rațional  mmm  pentru care  E(m+1)−15=2m,E(m+1)-15=2m,E(m+1)−15=2m,  este egal cu:

Răspuns corect: $1$

Explicație:E(m+1)=6(m+1)+5=6m+6+5E(m+1)=6(m+1)+5=6m+6+5E(m+1)=6(m+1)+5=6m+6+5

E(m+1)=6m+11E(m+1)=6m+11E(m+1)=6m+11

6m+11−15=2m6m+11-15=2m6m+11−15=2m

6m−2m=15−116m-2m=15-116m−2m=15−11

4m=44m=44m=4

m=1m=1m=1

Exercițiul 4

Se consideră  x=(82−82)⋅8. x = \left( \frac{\sqrt{8}}{2} - \frac{8}{\sqrt{2}} \right) \cdot \sqrt{8}.x=(28​​−2​8​)⋅8​.  Valoarea lui  xxx  este:

Răspuns corect: $-12$

Explicație:x=(82−82)⋅8 x = \left( \frac{\sqrt{8}}{2} - \frac{8}{\sqrt{2}} \right) \cdot \sqrt{8}x=(28​​−2​8​)⋅8​

x=(222−822)⋅22 x = \left( \frac{2\sqrt{2}}{2} - \frac{8\sqrt{2}}{2} \right) \cdot 2\sqrt{2}x=(222​​−282​​)⋅22​

x=(2−42)⋅22 x = (\sqrt{2} - 4\sqrt{2}) \cdot 2\sqrt{2}x=(2​−42​)⋅22​

x=−32⋅22 x = -3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}x=−32​⋅22​

x=−64=−6⋅2=−12 x = -6\sqrt{4} = -6 \cdot 2 = -12x=−64​=−6⋅2=−12

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→R,f(x)=3⋅x+6.f:R \rightarrow R, f(x)=3\cdot x+6.f:R→R,f(x)=3⋅x+6.  Ordonata punctului de pe graficul funcției  f,f,f,  a cărui abscisă egală cu  −1,-1,−1,  are egală cu:

Răspuns corect: 3

Explicație:x = abscisa

y = ordonata

x=−1x=-1x=−1

f(x)=yf(x)=yf(x)=y

f(−1)=3(−1)+6f(-1)=3(-1)+6f(−1)=3(−1)+6

f(−1)=−3+6f(-1)=-3+6f(−1)=−3+6

f(−1)=3f(-1)=3f(−1)=3

y=3y=3y=3

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=x−3x2−6x+9:(1x−3−1x+3):6−1,E(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 6x + 9} : \left( \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 3} \right) : 6^{-1},E(x)=x2−6x+9x−3​:(x−31​−x+31​):6−1,  unde x este număr real,  x≠−3, x≠3, x≠0.x≠-3,\,x≠3,\,x≠0.x=−3,x=3,x=0.  Valoarea simplificată a lui  E(x)E(x)E(x)  este:

Răspuns corect: $x+3$

Explicație:E(x)=x−3x2−6x+9:(1x−3−1x+3):6−1E(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 6x + 9} : \left( \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 3} \right) : 6^{-1}E(x)=x2−6x+9x−3​:(x−31​−x+31​):6−1

E(x)=x−3(x−3)2:(x+3)−(x−3)(x−3)(x+3):16 E(x) = \frac{x - 3}{(x - 3)^2} : \frac{(x + 3) - (x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} : \frac{1}{6}E(x)=(x−3)2x−3​:(x−3)(x+3)(x+3)−(x−3)​:61​

E(x)=x−3(x−3)2:x+3−x+3(x−3)(x+3):16 E(x) = \frac{x - 3}{(x - 3)^2} : \frac{x + 3 - x + 3}{(x - 3)(x + 3)} : \frac{1}{6}E(x)=(x−3)2x−3​:(x−3)(x+3)x+3−x+3​:61​

E(x)=x−3(x−3)2:6(x−3)(x+3):16 E(x) = \frac{x - 3}{(x - 3)^2} : \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} : \frac{1}{6}E(x)=(x−3)2x−3​:(x−3)(x+3)6​:61​

E(x)=x−3(x−3)2⋅(x−3)(x+3)6⋅61 E(x) = \frac{x - 3}{(x - 3)^2} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{6} \cdot \frac{6}{1}E(x)=(x−3)2x−3​⋅6(x−3)(x+3)​⋅16​

E(x)=x+3 E(x) = x + 3E(x)=x+3

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un trapez isoscel ABCD, cu diagonalele perpendiculare. Dacă  AB=18 cmAB=18\,\text{cm}AB=18cm  și  DC=8 cm.DC=8\,\text{cm.}DC=8cm.  Lungimea înălțimii trapezului este egală cu:

Răspuns corect: 13 cm

Explicație:În trapez isoscel cu diagonale perpendiculare:

h=B+b2h=\frac{B+b}2h=2B+b​

AD=AB+CD2AD=\frac{AB+CD}2AD=2AB+CD​

AD=13 cmAD=13\,\text{cm}AD=13cm

Exercițiul 2

Se consideră dreptunghiul ABCD cu  AB=22AB = 2\sqrt{2}AB=22​  cm și  BC=4BC= 4BC=4  cm. Punctul E este mijlocul laturii BC și punctul F este situat pe segmentul AE, astfel încât  BF⊥AE.BF ⊥ AE.BF⊥AE.  Lungimea lui AF este egală cu:

Răspuns corect: $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm

Explicație:Se aplică teorema lui Pitagora în △ABE:

AB2+CE2=AE2AB^2 + CE^2 = AE^2AB2+CE2=AE2

(22)2+22=AE2(2\sqrt{2})^2 + 2^2 = AE^2(22​)2+22=AE2

AE2=8+4=12AE^2 = 8 + 4 = 12AE2=8+4=12

AE=12=23AE = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}AE=12​=23​  cm

Se aplică teorema lui catetei în △ABE:

AB2=AF⋅AEAB^2 = AF \cdot AEAB2=AF⋅AE

(22)2=AF⋅23(2\sqrt{2})^2 = AF \cdot 2\sqrt{3}(22​)2=AF⋅23​

AF=823=43AF = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}AF=23​8​=3​4​

AF=433AF= \frac{4\sqrt{3}}{3}AF=343​​  cm

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat pătratul ABCD cu  AB=10 cmAB = 10\,\text{cm}AB=10cm  și triunghiul echilateral BCE. Distanța de la C la AE este egală cu:

Răspuns corect: $5\sqrt{2}\,\text{cm}$

Explicație:∠ABE=90∘+60∘=150∘\angle ABE = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ∠ABE=90∘+60∘=150∘

△ABE isoscel:

∠AEB=180∘−150∘2=15∘\angle AEB = \frac{180^\circ - 150^\circ}{2} = 15^\circ∠AEB=2180∘−150∘​=15∘

∠CEA=60∘−15∘=45∘\angle CEA = 60^\circ - 15^\circ = 45^\circ∠CEA=60∘−15∘=45∘

În △CEF:

sin 45°=CFEC = \frac{CF}{EC}=ECCF​

CFEC=22\frac{CF}{EC} = \frac{\sqrt{2}}{2}ECCF​=22​​

CF10=22\frac{CF}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}10CF​=22​​

CF=52 cmCF = 5\sqrt{2}\,\text{cm}CF=52​cm

Exercițiul 4

În figura paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D', se cunosc  AB=10 cm, BC=5 cm și AA′=52 cm.AB=10\,\text{cm},\,BC=5\,\text{cm și }  AA'= 5\sqrt{2}\,\text{cm}.AB=10cm,BC=5cm și AA′=52​cm.  Punctul E este mijlocul muchiei CD. Distanța de la  B’  la  AE  este egală cu:

Răspuns corect: $10\,\text{cm}$

Explicație:△BCE și △ADE sunt dreptunghice isoscel 
⇒∠\Rightarrow \angle ⇒∠AEB = 180˚- 45˚- 45˚= 90˚

BB′⊥(ABCD)BE⊥AEBE, AE⊂(ABCD)}⇒
\left.
\begin{array}{l}
BB' \perp (ABCD) \\[4pt]
BE \perp AE \\[4pt]
BE,\, AE \subset (ABCD)
\end{array}
\right\}
\RightarrowBB′⊥(ABCD)BE⊥AEBE,AE⊂(ABCD)​⎭⎬⎫​⇒  B'E ⊥\perp⊥ AE  (teorema celor 3 perpendiculare)

⇒d(B′,AE)=EB′\Rightarrow d(B',AE) = EB'⇒d(B′,AE)=EB′

Teorema lui Pitagora în △BCE, dreptunghic în C:
BC=5 cm,EC=5 cm⇒BE=52 cmBC=5\,\text{cm}, EC=5\,\text{cm} \Rightarrow BE = 5\sqrt{2}\,\text{cm}BC=5cm,EC=5cm⇒BE=52​cm


Teorema lui Pitagora în △BB'E, dreptunghic în B:
BB′=52, BE=52⇒EB′=10 cmBB' = 5\sqrt{2}, \,BE = 5\sqrt{2} \Rightarrow EB'=10\,\text{cm}BB′=52​,BE=52​⇒EB′=10cm

Exercițiul 5

În figura de mai jos este reprezentată piramidă triunghiulară regulată VABC, de înălțime  VO=63 cm.VO= 6\sqrt3\,\text{cm}.VO=63​cm. Unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei are măsura egală cu 60˚. Punctul  MMM  este mijlocul muchiei  AB.AB.AB.  Lungimea muchiei bazei piramidei este egală cu:

Răspuns corect: $12\sqrt{3}\,\text{cm}$

Explicație:(ABC)∩(VAB)=ABMO⊥AB,  MO⊂(ABC)VM⊥AB,  VM⊂(VAB)}⇒∠(ABC,VAB)=∠(OM,VM)=∠VMO
\left.
\begin{array}{l}
(ABC)\cap(VAB)=AB \\[4pt]
MO \perp AB,\ \ MO \subset (ABC) \\[4pt]
VM \perp AB,\ \ VM \subset (VAB)
\end{array}
\right\}
\Rightarrow
\angle(ABC,VAB)=\angle(OM,VM)=\angle VMO
(ABC)∩(VAB)=ABMO⊥AB,  MO⊂(ABC)VM⊥AB,  VM⊂(VAB)​⎭⎬⎫​⇒∠(ABC,VAB)=∠(OM,VM)=∠VMO

În △VMO, notăm  MO=xMO=xMO=x  deci  VM=2⋅xVM=2\cdot xVM=2⋅x
     
Se aplică teorema lui Pitagora:
MO2+VO2=VM2MO^2 + VO^2 = VM^2MO2+VO2=VM2
x2+VO2=(2⋅x)2x^2 + VO^2 = (2\cdot x)^2x2+VO2=(2⋅x)2
x2+(63)2=4⋅x2x^2 + (6\sqrt{3})^2 = 4\cdot x^2x2+(63​)2=4⋅x2
3⋅x2=1083\cdot x^2 = 1083⋅x2=108
x=6 cmx = 6\,\text{cm}x=6cm
CM=3MO=18 cmCM=3MO=18\,\text{cm}CM=3MO=18cm


CM=AB⋅32(h=ℓ⋅32)CM = \frac{AB \cdot \sqrt{3}}{2}\quad(h = \frac{\ell \cdot \sqrt{3}}{2})CM=2AB⋅3​​(h=2ℓ⋅3​​)

18=AB⋅32 18 = \frac{AB \cdot \sqrt{3}}{2}18=2AB⋅3​​

AB=363=3633 AB = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3}AB=3​36​=3363​​ 

AB=123 cm AB = 12\sqrt{3}\,\text{cm}AB=123​cm

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat o prismă dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghi echilateral, cu  AB=AA’=4 cm.AB=AA’=4\,\text{cm}.AB=AA’=4cm.  Volumul prismei este egal cu:

Răspuns corect: $16\sqrt3$ $\text{cm}^3$

Explicație:V=Ab⋅hcm3 V = A_b \cdot h \quad \text{cm}^3V=Ab​⋅hcm3

Ab=ℓ234cm2 A_b = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4} \quad \text{cm}^2Ab​=4ℓ23​​cm2

Ab=1634=43cm2 A_b = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \quad \text{cm}^2Ab​=4163​​=43​cm2

V=43⋅4=163cm3 V = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3} \quad \text{cm}^3V=43​⋅4=163​cm3