Test final 15

Subiectul I

Exercițiul 1

Rezultatul calculului  4−2⋅24-2 \cdot24−2⋅2  este numărul:

Exercițiul 2

Știind că  x4=y5\frac{x}{4}=\frac{y}{5}4x​=5y​  atunci rezultatul calculului  10⋅x−8⋅y10\cdot x-8\cdot y10⋅x−8⋅y  este:

Exercițiul 3

După o scumpire cu 10%, prețul unui produs a crescut cu 15 lei. Prețul inițial al produsului este:

Exercițiul 4

Dintre numerele  12,23,34,45\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}21​,32​,43​,54​  cel mai mic este:

Exercițiul 5

Suma numerelor  a=2+25a=2 + 2\sqrt{5}a=2+25​  și  b=5−25b=5- 2\sqrt{5}b=5−25​  este:

Exercițiul 6

Numărul  232\sqrt{3}23​  aparține intervalului:

Subiectul II →

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 12 întrebări fără răspuns

Vezi I: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Vezi II: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Test final 15

Subiectul I

Exercițiul 1

Rezultatul calculului  4−2⋅24-2 \cdot24−2⋅2  este numărul:

a) 4

b) 0

c) 2

d) 8

Exercițiul 2

Știind că  x4=y5\frac{x}{4}=\frac{y}{5}4x​=5y​  atunci rezultatul calculului  10⋅x−8⋅y10\cdot x-8\cdot y10⋅x−8⋅y  este:

a) 20

b) 1

c) 0

d) 10

Exercițiul 3

După o scumpire cu 10%, prețul unui produs a crescut cu 15 lei. Prețul inițial al produsului este:

a) 50 lei

b) 15 lei

c) 100 lei

d) 150 lei

Exercițiul 4

Dintre numerele  12,23,34,45\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}21​,32​,43​,54​  cel mai mic este:

a) $\frac{1}{2}$

b) $\frac{2}{3}$

c) $\frac{3}{4}$

d) $\frac{4}{5}$

Exercițiul 5

Suma numerelor  a=2+25a=2 + 2\sqrt{5}a=2+25​  și  b=5−25b=5- 2\sqrt{5}b=5−25​  este:

a) $-7$

b) $4\sqrt{5}$

c) $7$

d) $-4\sqrt{5}$

Exercițiul 6

Numărul  232\sqrt{3}23​  aparține intervalului:

a) [2,3)

b) (3,4]

c) (4,5)

d) [6,7]

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C, D și M, distincte, în această ordine, astfel încât punctul M este mijlocul segmentelor AD și BC. Care dintre afirmațiile următoare este cea adevărată:

a) AC-2BM<CD

b) AC-2BM>CD

c) AC-2BM=CD

d) AC-2BM=2CD

Exercițiul 2

În figura de mai jos, triunghiul ABC este echilateral. Punctul G este egal departat de vârfurile triunghiului ABC. Măsura unghiului ABG este egală cu:

a) 60°

b) 120°

c) 30°

d) 90°

Exercițiul 3

În figura de mai jos avem dreptunghiul ABCD în care BC = 10 cm și AC= 2BC. Distanța de la B la AC este egală cu:

a) $5\,\text{cm}$

b) $10\,\text{cm}$

c) $10\sqrt{3}\,\text{cm}$

d) $5\sqrt{3}\,\text{cm}$

Exercițiul 4

Se consideră pătratul  ABCD cu AB=10 cm. In interiorul pătratul  se consideră punctul E astfel încât triunghiul ABE este echilateral. Distanța de la E la DC este egală cu:

a) $5\,\text{cm}$

b) $10 -5\sqrt{3}\,\text{cm}$

c) $10\,\text{cm}$

d) $10 +5\sqrt{3}\,\text{cm}$

Exercițiul 5

În figura de mai jos ABCD este un dreptunghi, punctul M este mijlocul segmentului CD și punctul I este intersecția dreptelor BD și AM . Raportul dintre aria △ DIM și aria △ AIB este egal cu:

a) $\frac{1}{4}$

b) $\frac{1}{2}$

c) $\frac{1}{3}$

d) $\frac{1}{8}$

Exercițiul 6

Un robinet deschis poate umple un bazin în formă de paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile de 4 m , 2 m și 1 m în 2 de ore. În câte ore poate umple același robinet un bazin în formă de cub cu latura de 4 m?

a) 20 ore

b) 32 ore

c) 10 ore

d) 16 ore

Răspunsuri și explicații

Subiectul I

Exercițiul 1

Rezultatul calculului  4−2⋅24-2 \cdot24−2⋅2  este numărul:

Răspuns corect: 0

Explicație:Trebuie respectată ordinea efectuării operațiilor. Prima dată se fac înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile. 

Exercițiul 2

Știind că  x4=y5\frac{x}{4}=\frac{y}{5}4x​=5y​  atunci rezultatul calculului  10⋅x−8⋅y10\cdot x-8\cdot y10⋅x−8⋅y  este:

Răspuns corect: 0

Explicație:Înmulțind pe diagonală avem: 

5⋅x=4⋅y5\cdot x=4\cdot y5⋅x=4⋅y

sau 

10⋅x=8⋅y10\cdot x=8\cdot y10⋅x=8⋅y

Deci 

10⋅x−8⋅y=010\cdot x-8\cdot y=010⋅x−8⋅y=0

Exercițiul 3

După o scumpire cu 10%, prețul unui produs a crescut cu 15 lei. Prețul inițial al produsului este:

Răspuns corect: 150 lei

Explicație:10100x=15\frac{10}{100}x = 15 10010​x=15

x10=15\frac{x}{10} = 15 10x​=15

x=150x = 150x=150  

Exercițiul 4

Dintre numerele  12,23,34,45\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}21​,32​,43​,54​  cel mai mic este:

Răspuns corect: $\frac{1}{2}$

Explicație:Aducem al același numitor. Numitorul comun este 60. 

Amplificăm prima fracție cu 30, a doua cu 20, a treia cu 15 și ultima cu 12. 

Fracțiile devin:  3060, 4060, 4560, 4860\frac{30}{60},\ \frac{40}{60},\ \frac{45}{60},\ \frac{48}{60}6030​, 6040​, 6045​, 6048​.

Exercițiul 5

Suma numerelor  a=2+25a=2 + 2\sqrt{5}a=2+25​  și  b=5−25b=5- 2\sqrt{5}b=5−25​  este:

Răspuns corect: $7$

Explicație:2+25+5−25=2+5=72 + 2\sqrt{5}+5 - 2\sqrt{5}=2+5=72+25​+5−25​=2+5=7

Exercițiul 6

Numărul  232\sqrt{3}23​  aparține intervalului:

Răspuns corect: (3,4]

Explicație:Folosim ridicarea la pătrat:
(23)2=4⋅3=12(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12(23​)2=4⋅3=12

Așadar:
32<12<423^2 < 12 < 4^232<12<42

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos sunt reprezentate punctele coliniare A, B, C, D și M, distincte, în această ordine, astfel încât punctul M este mijlocul segmentelor AD și BC. Care dintre afirmațiile următoare este cea adevărată:

Răspuns corect: AC-2BM=CD

Explicație:2 BM = BC

AC - 2 BM = AC - BC = AD

Dar: AD=CD

Deci: AC-2BM = CD

Exercițiul 2

În figura de mai jos, triunghiul ABC este echilateral. Punctul G este egal departat de vârfurile triunghiului ABC. Măsura unghiului ABG este egală cu:

Răspuns corect: 30°

Explicație:AG=BG=CG  ⇒\Rightarrow⇒  G centrul cercului circumscris △ABC (AG,BG,CG mediane triunghiului)

△ABC echilateral  ⇒\Rightarrow⇒  AG,  BG,  CG  bisectoare  ⇒\Rightarrow⇒ ABG^=30∘\widehat{ABG} = 30^\circABG=30∘

Exercițiul 3

În figura de mai jos avem dreptunghiul ABCD în care BC = 10 cm și AC= 2BC. Distanța de la B la AC este egală cu:

Răspuns corect: $5\sqrt{3}\,\text{cm}$

Explicație:AC=20 cmAC=20\text{\,cm}AC=20cm

Se aplică teorema lui Pitagora:
AB2+BC2=AC2AB^2 + BC^2 = AC^2AB2+BC2=AC2
AB2+102=202AB^2 + 10^2 = 20^2AB2+102=202
AB2+100=400AB^2 + 100 = 400AB2+100=400
AB2=300AB^2 = 300AB2=300
AB=103AB = 10\sqrt{3}AB=103​


Apoi teorema înălțimii (altitude theorem) în triunghi dreptunghic:

BE=AB⋅BCACBE = \frac{AB \cdot BC}{AC}BE=ACAB⋅BC​ 

BE=103⋅1020=53BE = \frac{10\sqrt{3} \cdot 10}{20} = 5\sqrt{3}BE=20103​⋅10​=53​

Exercițiul 4

Se consideră pătratul  ABCD cu AB=10 cm. In interiorul pătratul  se consideră punctul E astfel încât triunghiul ABE este echilateral. Distanța de la E la DC este egală cu:

Răspuns corect: $10 -5\sqrt{3}\,\text{cm}$

Explicație:Fie EF înălțime în △ABE

Apoi teorema înălțimii (altitude theorem) în triunghi echilateral:

EF=AB⋅32=53EF = \frac{AB \cdot \sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}EF=2AB⋅3​​=53​

EG=FG−EF=10−53 cmEG = FG - EF = 10 - 5\sqrt{3}\,\text{cm}EG=FG−EF=10−53​cm

Exercițiul 5

În figura de mai jos ABCD este un dreptunghi, punctul M este mijlocul segmentului CD și punctul I este intersecția dreptelor BD și AM . Raportul dintre aria △ DIM și aria △ AIB este egal cu:

Răspuns corect: $\frac{1}{4}$

Explicație:△DIM este asemenea cu △AIB, raportul de asemănareȘ

k=DMAB=12k = \frac{DM}{AB} = \frac{1}{2}k=ABDM​=21​

ADIMAAIB=k2=14\frac{A_{DIM}}{A_{AIB}} = k^2 = \frac{1}{4}AAIB​ADIM​​=k2=41​

Exercițiul 6

Un robinet deschis poate umple un bazin în formă de paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile de 4 m , 2 m și 1 m în 2 de ore. În câte ore poate umple același robinet un bazin în formă de cub cu latura de 4 m?

Răspuns corect: 16 ore

Explicație:Vparalelipiped=L⋅ℓ⋅h=8m3V_{paralelipiped}=L \cdot \ell \cdot h=8 m^3Vparalelipiped​=L⋅ℓ⋅h=8m3

Robinetul umple  8 m38\text{\,m}^38m3  în 2 ore

Vcub=ℓ3=43=64 m3V_{cub}=\ell^3=4^3=64 \text{\,m}^3Vcub​=ℓ3=43=64m3

Cubul are un volum de 8 ori mai mare decât paralelipipedul

8•2 ore = 16 ore