Test final 14

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=(14−16):36−1a = \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) : 36^{-1}a=(41​−61​):36−1  este egală cu:

Exercițiul 2

Într-un bloc sunt 25 de apartamente cu câte două respectiv trei camere. În aceste apartamente sunt în total 60 de camere. În bloc numărul apartamentelor cu trei camere este egal cu:

Exercițiul 3

Se consideră expresia:  E(x)=4⋅x+5,E(x)=4 \cdot x+5,E(x)=4⋅x+5,  unde x este număr real. Numărul rațional  mmm  pentru care  E(m−3)−15=0,E(m-3)-15=0,E(m−3)−15=0,  este egal cu:

Exercițiul 4

Se consideră  x=(5−22)2.x = \left( \sqrt{5} - \frac{2}{\sqrt{2}} \right)^2.x=(5​−2​2​)2.  Valoarea lui x este:

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→R,f(x)=3⋅x−2.f:R \rightarrow R, f(x)=3 \cdot x-2.f:R→R,f(x)=3⋅x−2.  Coordonatele punctului  AAA  care are abscisa egală cu ordonata este:

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=(1x−2−1x+2−1x2−4):1x2−4,E(x) = \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x^2 - 4} \right) : \frac{1}{x^2 - 4},E(x)=(x−21​−x+21​−x2−41​):x2−41​,  unde x este număr real, x≠-2, x≠2. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Subiectul II →

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 12 întrebări fără răspuns

Vezi I: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Vezi II: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Test final 14

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=(14−16):36−1a = \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) : 36^{-1}a=(41​−61​):36−1  este egală cu:

a) $3$

b) $\frac{1}{12}$

c) $12$

d) $\frac{1}{36}$

Exercițiul 2

Într-un bloc sunt 25 de apartamente cu câte două respectiv trei camere. În aceste apartamente sunt în total 60 de camere. În bloc numărul apartamentelor cu trei camere este egal cu:

a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

Exercițiul 3

Se consideră expresia:  E(x)=4⋅x+5,E(x)=4 \cdot x+5,E(x)=4⋅x+5,  unde x este număr real. Numărul rațional  mmm  pentru care  E(m−3)−15=0,E(m-3)-15=0,E(m−3)−15=0,  este egal cu:

a) $\frac{5}{4}$

b) $\frac{15}{4}$

c) $\frac{1}{3}$

d) $\frac{11}{2}$

Exercițiul 4

Se consideră  x=(5−22)2.x = \left( \sqrt{5} - \frac{2}{\sqrt{2}} \right)^2.x=(5​−2​2​)2.  Valoarea lui x este:

a) $\sqrt5-\sqrt{2}$

b) $2$

c) $7-2\sqrt{10}$

d) $1$

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→R,f(x)=3⋅x−2.f:R \rightarrow R, f(x)=3 \cdot x-2.f:R→R,f(x)=3⋅x−2.  Coordonatele punctului  AAA  care are abscisa egală cu ordonata este:

a) A(1,1)

b) A(2,2)

c) A(-1,-1)

d) A(-2,-2)

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=(1x−2−1x+2−1x2−4):1x2−4,E(x) = \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x^2 - 4} \right) : \frac{1}{x^2 - 4},E(x)=(x−21​−x+21​−x2−41​):x2−41​,  unde x este număr real, x≠-2, x≠2. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

a) 0

b) x+2

c) 3

d) x-2

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un pătrat ABCD și un triunghi dreptunghic isoscel CED dreptunghic în E. Măsura unghiului EDB este egală cu:

a) 30˚

b) 45˚

c) 60˚

d) 90˚

Exercițiul 2

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A cu unghiului ACB este de 30˚. Perpendiculara din A pe BC intersectează dreapta BC în punctul D,  AD=3AD=\sqrt{3}AD=3​  cm.  Lungimea lui AE este egală cu

a) $2\sqrt{3}\,\text{cm}$

b) $4\sqrt{3}\,\text{cm}$

c) $6\,\text{cm}$

d) $3\,\text{cm}$

Exercițiul 3

Se consideră rombul ABCD, cu măsura unghiului B este egală cu 120˚. Se cunoaște diagonala BD=10 cm. Aria rombului egală cu:

a) $40\sqrt{3} \;\text{cm}^2$

b) $50\sqrt{3} \;\text{cm}^2$

c) $20 \;\text{cm}^2$

d) $40 \;\text{cm}^2$

Exercițiul 4

În figura de mai jos este reprezentat un cub ABCDA'B'C'D' cu AB=2 cm. Distanța de la B’ la planul (ACC’) este egală cu:

a) $\sqrt{2}$

b) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\sqrt{3}$

d) $\frac{1}{3}$

Exercițiul 5

În figura de mai jos este reprezentată piramidă patrulateră regulată VABCD, iar M este mijlocul lui VO. Se cunosc înălțimea VO= 6 cm și muchia bazei AB= 12 cm. Măsura unghiului determinat de planele (ABC) și (MBC) este egal cu:

a) 15˚

b) 30˚

c) 45˚

d) 60˚

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat un cubul ABCDA'B'C'D'. Punctul O este intersecția dreptelor AC și BD, iar punctul P este intersecția dreptelor A'D și AD'. Unghiul dintre OP și planul (B’CD’) este:

a) 90˚

b) 0˚

c) 180˚

d) 150˚

Răspunsuri și explicații

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=(14−16):36−1a = \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) : 36^{-1}a=(41​−61​):36−1  este egală cu:

Răspuns corect: $3$

Explicație:a=(14−16):136 a = \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) : \frac{1}{36}a=(41​−61​):361​

a=(312−212)⋅361 a = \left( \frac{3}{12} - \frac{2}{12} \right) \cdot \frac{36}{1}a=(123​−122​)⋅136​

a=112⋅36=3 a = \frac{1}{12} \cdot 36 = 3a=121​⋅36=3

Exercițiul 2

Într-un bloc sunt 25 de apartamente cu câte două respectiv trei camere. În aceste apartamente sunt în total 60 de camere. În bloc numărul apartamentelor cu trei camere este egal cu:

Răspuns corect: 10

Explicație:Notăm cu: 
a = numărul apartamentelor cu două camere
b = numărul apartamentelor cu trei camere

{a+b=252a+3b=60\left\{ \begin{array}{l} a + b = 25 \\ 2a + 3b = 60 \end{array} \right.{a+b=252a+3b=60​ ⇒\Rightarrow⇒

{2a+2b=502a+3b=60\left\{ \begin{array}{l} 2a + 2b = 50 \\ 2a + 3b = 60 \end{array} \right.{2a+2b=502a+3b=60​ ⇒\Rightarrow⇒

(2a+3b)−(2a+2b)=60–50(2a + 3b) - (2a + 2b) = 60 – 50(2a+3b)−(2a+2b)=60–50

b=10b = 10b=10  apartamente cu trei camere

Exercițiul 3

Se consideră expresia:  E(x)=4⋅x+5,E(x)=4 \cdot x+5,E(x)=4⋅x+5,  unde x este număr real. Numărul rațional  mmm  pentru care  E(m−3)−15=0,E(m-3)-15=0,E(m−3)−15=0,  este egal cu:

Răspuns corect: $\frac{11}{2}$

Explicație:E(m−3)=4(m−3)+5=4m−12+5=4m−7E(m-3)=4(m-3)+5=4m-12+5=4m-7E(m−3)=4(m−3)+5=4m−12+5=4m−7

E(m−3)−15=0E(m-3)-15=0E(m−3)−15=0

4m−7−15=04m-7-15=04m−7−15=0

4m−22=04m-22=04m−22=0

4m=224m=224m=22

m=112m=\frac{11}{2}m=211​

Exercițiul 4

Se consideră  x=(5−22)2.x = \left( \sqrt{5} - \frac{2}{\sqrt{2}} \right)^2.x=(5​−2​2​)2.  Valoarea lui x este:

Răspuns corect: $7-2\sqrt{10}$

Explicație:x=(5−222)2 x = \left( \sqrt{5} - \frac{2\sqrt{2}}{2} \right)^2x=(5​−222​​)2

x=(5−2)2x = \left( \sqrt{5} - \sqrt{2} \right)^2x=(5​−2​)2

x=(5)2−25⋅2+(2)2x = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 x=(5​)2−25​⋅2​+(2​)2

x=5−210+2x = 5 - 2\sqrt{10} + 2x=5−210​+2

x=7−210x=7 - 2\sqrt{10}x=7−210​

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→R,f(x)=3⋅x−2.f:R \rightarrow R, f(x)=3 \cdot x-2.f:R→R,f(x)=3⋅x−2.  Coordonatele punctului  AAA  care are abscisa egală cu ordonata este:

Răspuns corect: A(1,1)

Explicație:x = abscisa

y = ordonata

x=yx=yx=y

x=f(x)x=f(x)x=f(x)

x=3⋅x−2x=3 \cdot x-2x=3⋅x−2

2=3⋅x−⋅x2=3 \cdot x-\cdot x2=3⋅x−⋅x

2⋅x=22 \cdot x=22⋅x=2

x=1x=1x=1

f(1)=3−2=1f(1)=3-2=1f(1)=3−2=1

⇒A(1,1)\Rightarrow A(1,1)⇒A(1,1)

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=(1x−2−1x+2−1x2−4):1x2−4,E(x) = \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x^2 - 4} \right) : \frac{1}{x^2 - 4},E(x)=(x−21​−x+21​−x2−41​):x2−41​,  unde x este număr real, x≠-2, x≠2. Valoarea simplificată a lui E(x) este:

Răspuns corect: 3

Explicație:E(x)=(1x−2−1x+2−1x2−4):1x2−4E(x) = \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x^2 - 4} \right) : \frac{1}{x^2 - 4}E(x)=(x−21​−x+21​−x2−41​):x2−41​

E(x)=(x+2x2−4−x−2x2−4−1x2−4) E(x) = \left( \frac{x + 2}{x^2 - 4} - \frac{x - 2}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 - 4} \right)E(x)=(x2−4x+2​−x2−4x−2​−x2−41​) :1x2−4: \frac{1}{x^2 - 4}:x2−41​

E(x)=(x+2−x+2−1x2−4)⋅x2−41 E(x) = \left( \frac{x + 2 - x + 2 - 1}{x^2 - 4} \right) \cdot \frac{x^2 - 4}{1}E(x)=(x2−4x+2−x+2−1​)⋅1x2−4​

E(x)=3x2−4⋅x2−41 E(x) = \frac{3}{x^2 - 4} \cdot \frac{x^2 - 4}{1}E(x)=x2−43​⋅1x2−4​

E(x)=3E(x) = 3E(x)=3

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un pătrat ABCD și un triunghi dreptunghic isoscel CED dreptunghic în E. Măsura unghiului EDB este egală cu:

Răspuns corect: 90˚

Explicație:△CED\triangle CED△CED  este dreptunghic isoscel
⇒∠EDC=45∘\Rightarrow \angle EDC = 45^\circ⇒∠EDC=45∘

ABCDABCDABCD  este un pătrat, iar BD este diagonală
⇒∠CDB=45∘\Rightarrow \angle CDB = 45^\circ⇒∠CDB=45∘

∠EDC=45∘+45∘=90∘\angle EDC = 45^\circ+45^\circ=90^\circ∠EDC=45∘+45∘=90∘

Exercițiul 2

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A cu unghiului ACB este de 30˚. Perpendiculara din A pe BC intersectează dreapta BC în punctul D,  AD=3AD=\sqrt{3}AD=3​  cm.  Lungimea lui AE este egală cu

Răspuns corect: $6\,\text{cm}$

Explicație:∠ACB=30∘\angle ACB = 30^\circ∠ACB=30∘ ⇒\Rightarrow⇒ în  △ACD\triangle ACD△ACD,  AC=2AD=23AC = 2AD=2\sqrt{3}AC=2AD=23​  cm

În  △ABC,  ∠ABD=60∘,  ∠BAD=30∘\triangle ABC, \; \angle ABD = 60^\circ, \; \angle BAD = 30^\circ△ABC,∠ABD=60∘,∠BAD=30∘
AD∥EC⇒∠BAD=∠BECAD \parallel EC \Rightarrow \angle BAD = \angle BECAD∥EC⇒∠BAD=∠BEC  (unghiuri corespondente)

EC=2ACEC=2ACEC=2AC
Dacă  AD=3 cm⇒EC=43 cmAD = \sqrt{3}\,\text{cm} \Rightarrow EC = 4\sqrt{3}\,\text{cm}AD=3​cm⇒EC=43​cm

cos 30∘=AEEC30^\circ = \frac{AE}{EC}30∘=ECAE​

32=AE43\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AE}{4\sqrt{3}}23​​=43​AE​

AE=32⋅43AE = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3}AE=23​​⋅43​

AE=4⋅32=6 cmAE = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\,\text{cm}AE=24⋅3​=6cm

Exercițiul 3

Se consideră rombul ABCD, cu măsura unghiului B este egală cu 120˚. Se cunoaște diagonala BD=10 cm. Aria rombului egală cu:

Răspuns corect: $50\sqrt{3} \;\text{cm}^2$

Explicație:∠A+∠B=180∘\angle A + \angle B = 180^\circ∠A+∠B=180∘
∠B=120∘⇒∠A=60∘\angle B = 120^\circ \Rightarrow \angle A = 60^\circ∠B=120∘⇒∠A=60∘
⇒△ABD este echilateral⇒AB=10 cm\Rightarrow\triangle ABD \text{ este echilateral} \Rightarrow AB = 10\text{\,cm}⇒△ABD este echilateral⇒AB=10cm


AABD=AB2⋅34=102⋅34A_{ABD} = \frac{AB^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{10^2 \cdot \sqrt{3}}{4}AABD​=4AB2⋅3​​=4102⋅3​​ 

AABD=10034=253A_{ABD} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}AABD​=41003​​=253​ 

AABCD=2⋅AABD=503 cm2A_{ABCD} = 2 \cdot A_{ABD} = 50\sqrt{3}\,\text{cm}^2AABCD​=2⋅AABD​=503​cm2

Exercițiul 4

În figura de mai jos este reprezentat un cub ABCDA'B'C'D' cu AB=2 cm. Distanța de la B’ la planul (ACC’) este egală cu:

Răspuns corect: $\sqrt{2}$

Explicație:d(B’, (ACC’))= d(B’, (ACC’A’))

B'O' ⊥ A'C'
B'O' ⊥ AA' pentru că AA’⊥(A’B’C’D’)
⇒\Rightarrow⇒ B’O’⊥(ACC’A’)
⇒\Rightarrow⇒ d(B’, (ACC’A’))= B’O’

B’D’ este diagonală în pătrat:  d=ℓ2d=\ell \sqrt2d=ℓ2​
B'O' = B′D′2=2 cm\frac{B'D'}{2} = \sqrt{2}\,\text{cm}2B′D′​=2​cm

Exercițiul 5

În figura de mai jos este reprezentată piramidă patrulateră regulată VABCD, iar M este mijlocul lui VO. Se cunosc înălțimea VO= 6 cm și muchia bazei AB= 12 cm. Măsura unghiului determinat de planele (ABC) și (MBC) este egal cu:

Răspuns corect: 45˚

Explicație:(ABC) ∩ (MBC) = BC
OE ⊥ BC, OE ⊂ (ABC)
ME ⊥ BC, ME ⊂ (MBC)
⇒\Rightarrow⇒ (ABC),(MBC)^\widehat{(ABC) , (MBC)}(ABC),(MBC)​ = (OE,ME)^\widehat{(OE,ME)}(OE,ME)​= MEO^\widehat{MEO}MEO

OE= 6 cm (linie mijlocie în △ABC)
MO= 6 cm (M este mijlocul lui VO)
△MOE dreptunghic isoscel
⇒\Rightarrow⇒ MEO^\widehat{MEO}MEO = 45˚

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat un cubul ABCDA'B'C'D'. Punctul O este intersecția dreptelor AC și BD, iar punctul P este intersecția dreptelor A'D și AD'. Unghiul dintre OP și planul (B’CD’) este:

Răspuns corect: 0˚

Explicație:P este mijlocul lui AD’
O este mijlocul lui A
⇒\Rightarrow⇒ OP este linie mijlocie în △ACD’
⇒\Rightarrow⇒ OP || CD’

CD’⊂ (B’CD’)
Atunci OP || (B’CD’)