Test final 12

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoarea numărului  a=(12−13):16a = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) : \frac{1}{6}a=(21​−31​):61​  este egală cu:

Exercițiul 2

În urmă cu 5 ani tatăl era de șapte ori mai în vârstă decât fiul său. În prezent, tatăl are 40 ani. Peste câți ani vârsta tatălui va fi egală cu dublul vârstei fiului?

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=5⋅x−5 E(x) = 5 \cdot x-5E(x)=5⋅x−5 ,  unde x este număr real. Numărul întreg  mmm  pentru care  E(m+2)−25=0E(m+2)-25=0E(m+2)−25=0,  este egal cu:

Exercițiul 4

Se consideră  x=210⋅(24)12:83x= 2^{10} \cdot \left(2^4\right)^{\frac{1}{2}} : 8^3x=210⋅(24)21​:83.  Valoarea lui x este cubul lui:

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→Rf:R\rightarrow Rf:R→R,  f(x)=2⋅x−6f(x)=2\cdot x-6f(x)=2⋅x−6.  Intersecția graficului funcției cu axa Oy este punctul:

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=(1x+1−1x−1):1x2−1 E(x) = \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} \right) : \frac{1}{x^2 - 1}E(x)=(x+11​−x−11​):x2−11​,  unde x este număr real, x≠-1, x≠1. Valoarea simplificată a lui  E(x)E(x)E(x)  este:

Subiectul II →

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 12 întrebări fără răspuns

Vezi I: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Vezi II: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Test final 12

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoarea numărului  a=(12−13):16a = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) : \frac{1}{6}a=(21​−31​):61​  este egală cu:

a) $\frac{1}{2}$

b) $6$

c) $\frac{1}{5}$

d) $1$

Exercițiul 2

În urmă cu 5 ani tatăl era de șapte ori mai în vârstă decât fiul său. În prezent, tatăl are 40 ani. Peste câți ani vârsta tatălui va fi egală cu dublul vârstei fiului?

a) 10 ani

b) 20 ani

c) 30 ani

d) 40 ani

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=5⋅x−5 E(x) = 5 \cdot x-5E(x)=5⋅x−5 ,  unde x este număr real. Numărul întreg  mmm  pentru care  E(m+2)−25=0E(m+2)-25=0E(m+2)−25=0,  este egal cu:

a) 5

b) 10

c) 20

d) 4

Exercițiul 4

Se consideră  x=210⋅(24)12:83x= 2^{10} \cdot \left(2^4\right)^{\frac{1}{2}} : 8^3x=210⋅(24)21​:83.  Valoarea lui x este cubul lui:

a) 16

b) 8

c) 12

d) 2

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→Rf:R\rightarrow Rf:R→R,  f(x)=2⋅x−6f(x)=2\cdot x-6f(x)=2⋅x−6.  Intersecția graficului funcției cu axa Oy este punctul:

a) (0,-6)

b) (-6,0)

c) (3,2)

d) (2,3)

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=(1x+1−1x−1):1x2−1 E(x) = \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} \right) : \frac{1}{x^2 - 1}E(x)=(x+11​−x−11​):x2−11​,  unde x este număr real, x≠-1, x≠1. Valoarea simplificată a lui  E(x)E(x)E(x)  este:

a) x

b) 2x+1

c) -2

d) x-3

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD. Semidreapta (BD este bisectoarea unghiului ABC Măsura unghiului ABC este egală cu 60˚. Dacă CD=20 cm, lungimea laturii BC este de:

a) $10$ cm

b) $16$ cm

c) $20$ cm

d) $26$ cm

Exercițiul 2

În figura de mai jos este reprezentat un triunghi ABC, în care punctul G este centrul de greutate al triunghiului. Prin G se duce MN || BC, M ∈ AB și N ∈ AC. Dacă AC=6 cm, atunci valoarea lui AN este: 

a) 2 cm

b) 3 cm

c) 4 cm

d) 6 cm

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, iar punctul D este proiecția punctului A pe BC. Lungimile proiecțiilor BD și respectiv CD sunt egale cu 5 cm, respectiv 20 cm. Perimetrul triunghiului ABC este egal cu:

a) $5(3\sqrt{5} + 5)$ cm

b) $25$ cm

c) $5(\sqrt{5} + 1)$ cm

d) $50$ cm

Exercițiul 4

În figura de mai jos este reprezentată o prismă dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD,  AB=10AB=10AB=10  cm și  AA′=102AA'= 10\sqrt2AA′=102​  cm. Tangenta unghiului format de AB și DC’ este egal cu:

a) $\sqrt{2}$

b) $1$

c) - $1$

d) - $\sqrt{2}$

Exercițiul 5

În figura de mai jos este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD, cu latura bazei AB= 12 cm. Unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei are măsura egală cu 60˚. Punctul M este mijlocul muchiei BC. Aria totală a piramidei este egală cu:

a) 144 $\text{cm}^2$

b) 432 $\text{cm}^2$

c) 108 $\text{cm}^2$

d) 250 $\text{cm}^2$

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat pătratul ABCD cu AB=30 cm, MC=50 cm, iar MD⊥(ABC). Punctul O este punctul de intersecție al diagonalelor dreptunghiului. Distanța de la M la AC este:

a) MB

b) MC

c) MD

d) MO

Răspunsuri și explicații

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoarea numărului  a=(12−13):16a = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) : \frac{1}{6}a=(21​−31​):61​  este egală cu:

Răspuns corect: $1$

Explicație:a=(36−26)⋅61a= \left( \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \right) \cdot \frac{6}{1}a=(63​−62​)⋅16​ 

a=16⋅61=1a = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{1} = 1a=61​⋅16​=1

Exercițiul 2

În urmă cu 5 ani tatăl era de șapte ori mai în vârstă decât fiul său. În prezent, tatăl are 40 ani. Peste câți ani vârsta tatălui va fi egală cu dublul vârstei fiului?

Răspuns corect: 20 ani

Explicație:În urmă cu 5 ani tatăl avea:  40-5 = 35 ani

Fiul era de șapte ori mai mic:  35:7 = 5 ani

Acum fiul are: 5+5 = 10 ani

Deci:

40+x=2(10+x)40+x=2(10+x)40+x=2(10+x)

40+x=20+2⋅x40+x=20+2 \cdot x40+x=20+2⋅x

x=20x=20x=20 ani

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=5⋅x−5 E(x) = 5 \cdot x-5E(x)=5⋅x−5 ,  unde x este număr real. Numărul întreg  mmm  pentru care  E(m+2)−25=0E(m+2)-25=0E(m+2)−25=0,  este egal cu:

Răspuns corect: 4

Explicație:E(m+2)=5(m+2)−5−25E(m+2)=5(m+2)-5-25E(m+2)=5(m+2)−5−25

5m+10−5−25=05m+10-5-25=05m+10−5−25=0

5m−20=05m-20=05m−20=0

m=4m=4m=4

Exercițiul 4

Se consideră  x=210⋅(24)12:83x= 2^{10} \cdot \left(2^4\right)^{\frac{1}{2}} : 8^3x=210⋅(24)21​:83.  Valoarea lui x este cubul lui:

Răspuns corect: 2

Explicație:x=210⋅(24)12:83x= 2^{10} \cdot \left(2^4\right)^{\frac{1}{2}} : 8^3x=210⋅(24)21​:83

x=210⋅22:(23)3x= 2^{10} \cdot 2^2 : \left(2^3\right)^3x=210⋅22:(23)3

x=212:29x= 2^{12} : 2^{9}x=212:29

x=23 x = 2^3x=23

Exercițiul 5

Se consideră funcţia  f:R→Rf:R\rightarrow Rf:R→R,  f(x)=2⋅x−6f(x)=2\cdot x-6f(x)=2⋅x−6.  Intersecția graficului funcției cu axa Oy este punctul:

Răspuns corect: (0,-6)

Explicație:Pentru a determina intersecția cu axa Oy, se pune condiția ca valoarea coordonatei  xxx  să fie 0 (valoarea abscisei să fie 0)

Gf ∩Oy=A(0,y)

f(0)=y

2·0-6=y

y=-6

A(0,-6)

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=(1x+1−1x−1):1x2−1 E(x) = \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} \right) : \frac{1}{x^2 - 1}E(x)=(x+11​−x−11​):x2−11​,  unde x este număr real, x≠-1, x≠1. Valoarea simplificată a lui  E(x)E(x)E(x)  este:

Răspuns corect: -2

Explicație:E(x)=(1x+1−1x−1):1x2−1E(x)= \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} \right) : \frac{1}{x^2 - 1}E(x)=(x+11​−x−11​):x2−11​ 

E(x)=(x−1x2−1−x+1x2−1)⋅x2−11E(x)= \left( \frac{x-1}{x^2 - 1} - \frac{x+1}{x^2 - 1} \right) \cdot \frac{x^2 - 1}{1}E(x)=(x2−1x−1​−x2−1x+1​)⋅1x2−1​ 

E(x)=(x−1−x−1x2−1)⋅x2−11E(x)= \left( \frac{x - 1 - x - 1}{x^2 - 1} \right) \cdot \frac{x^2 - 1}{1}E(x)=(x2−1x−1−x−1​)⋅1x2−1​

E(x)=−2x2−1⋅x2−11=−2E(x)= \frac{-2}{x^2 - 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{1} = -2E(x)=x2−1−2​⋅1x2−1​=−2

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD. Semidreapta (BD este bisectoarea unghiului ABC Măsura unghiului ABC este egală cu 60˚. Dacă CD=20 cm, lungimea laturii BC este de:

Răspuns corect: $20$ cm

Explicație:B2^=D1^\widehat{B_2} = \widehat{D_1}B2​​=D1​​  (unghiuri alterne interne)

B2^=B1^\widehat{B_2} = \widehat{B_1}B2​​=B1​​  (BD este bisectoare)

⇒D1^=B1^\Rightarrow\widehat{D_1} = \widehat{B_1}⇒D1​​=B1​​

⇒\Rightarrow ⇒  △CBD\triangle CBD△CBD  este isoscel

⇒BC=CD=20 \Rightarrow BC = CD = 20⇒BC=CD=20  cm

Exercițiul 2

În figura de mai jos este reprezentat un triunghi ABC, în care punctul G este centrul de greutate al triunghiului. Prin G se duce MN || BC, M ∈ AB și N ∈ AC. Dacă AC=6 cm, atunci valoarea lui AN este: 

Răspuns corect: 4 cm

Explicație:ANAC=AGAD=23\frac{AN}{AC} = \frac{AG}{AD} = \frac{2}{3}ACAN​=ADAG​=32​    

AN6=23\frac{AN}{6} = \frac{2}{3}6AN​=32​

AN=123=4AN=\frac{12}{3}=4AN=312​=4  cm

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, iar punctul D este proiecția punctului A pe BC. Lungimile proiecțiilor BD și respectiv CD sunt egale cu 5 cm, respectiv 20 cm. Perimetrul triunghiului ABC este egal cu:

Răspuns corect: $5(3\sqrt{5} + 5)$ cm

Explicație:Teorema catetei:
AB=BD⋅BCAB= \sqrt{BD \cdot BC}AB=BD⋅BC​ 
AB=5⋅25=55AB=\sqrt{5 \cdot 25} = 5\sqrt{5}AB=5⋅25​=55​  cm
AC=CD⋅BCAC= \sqrt{CD \cdot BC}AC=CD⋅BC​ 
AC=20⋅25=500=100⋅5AC= \sqrt{20 \cdot 25} = \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5}AC=20⋅25​=500​=100⋅5​ 
AC=105AC= 10\sqrt{5}AC=105​  cm

PABC=AB+AC+BCP_{ABC}= AB + AC + BCPABC​=AB+AC+BC 
PABC=55+105+25P_{ABC}=5\sqrt{5} + 10\sqrt{5} + 25PABC​=55​+105​+25
PABC=155+25P_{ABC}=15\sqrt{5} + 25PABC​=155​+25 
PABC=5(35+5)P_{ABC}= 5(3\sqrt{5} + 5)PABC​=5(35​+5)  cm

Exercițiul 4

În figura de mai jos este reprezentată o prismă dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD,  AB=10AB=10AB=10  cm și  AA′=102AA'= 10\sqrt2AA′=102​  cm. Tangenta unghiului format de AB și DC’ este egal cu:

Răspuns corect: $\sqrt{2}$

Explicație:(AB,DC′)^=(DC,DC′)^\widehat{(AB,DC')} = \widehat{(DC,DC')} (AB,DC′)​=(DC,DC′)​ =(CDC′)^= \widehat{(CDC')}=(CDC′)​

În triunghiul dreptunghic CDC’:

tan⁡(CDC′)^=CC′DC\tan \widehat{(CDC')} = \frac{CC'}{DC}tan(CDC′)​=DCCC′​ 

tan⁡(CDC′)^=10210\tan \widehat{(CDC')} = \frac{10\sqrt{2}}{10}tan(CDC′)​=10102​​

tan⁡(CDC′)^=2\tan \widehat{(CDC')} = \sqrt{2}tan(CDC′)​=2​

Exercițiul 5

În figura de mai jos este reprezentată piramida patrulateră regulată VABCD, cu latura bazei AB= 12 cm. Unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei are măsura egală cu 60˚. Punctul M este mijlocul muchiei BC. Aria totală a piramidei este egală cu:

Răspuns corect: 432 $\text{cm}^2$

Explicație:MO=AB2=6MO = \frac{AB}{2} = 6MO=2AB​=6 cm 

În triunghiul dreptunghic VOM: cateta opusă unghiului de 30˚ este jumătate din ipotenuză. Deci VM=2·OM=12 cm.

At=Aℓ+AbA_t= A_\ell + A_bAt​=Aℓ​+Ab​

Aℓ=Pb⋅ap2A_\ell= \frac{P_b \cdot a_p}{2}Aℓ​=2Pb​⋅ap​​

Aℓ=48⋅122=288A_\ell= \frac{48 \cdot 12}{2} = 288Aℓ​=248⋅12​=288 cm2\text{cm}^2cm2

Ab=122=144A_b= 12^2 = 144Ab​=122=144 cm2\text{cm}^2cm2

At=288+144=432A_t= 288 + 144 = 432At​=288+144=432 cm2\text{cm}^2cm2

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat pătratul ABCD cu AB=30 cm, MC=50 cm, iar MD⊥(ABC). Punctul O este punctul de intersecție al diagonalelor dreptunghiului. Distanța de la M la AC este:

Răspuns corect: MO

Explicație:MD⊥(ABC)⇒ MD⊥ACMD \perp (ABC) \Rightarrow\ MD \perp ACMD⊥(ABC)⇒ MD⊥AC

dar  DO⊥ACDO \perp ACDO⊥AC

⇒  AC⊥(MDO)⇒AC⊥MO\Rightarrow\; AC \perp (MDO)\Rightarrow AC \perp MO⇒AC⊥(MDO)⇒AC⊥MO

d(M,AC)=MOd(M, AC) = MOd(M,AC)=MO