Test final 11

Subiectul I

Exercițiul 1

Suma divizorilor naturali ai lui 12 este:

Exercițiul 2

Dacă  a3=2b,b≠0\frac{a }{3} = \frac{2}{b}, b \ne 03a​=b2​,b=0  atunci numărul real a•b este egal cu:

Exercițiul 3

Patru elevi propun câte un exercițiu de calcul. În tabelul de mai jos sunt scrise numele elevilor și exercițiile propuse de aceștia. Rezultatul care reprezintă cel mai mare număr corespunde exercițiului propus de:

Andrei: −1+5-1+5−1+5
Vlad:    −1−(+5)-1-(+5)−1−(+5)
Diana:  −(−1)+5-(-1)+5−(−1)+5
Corina: −5+1-5+1−5+1

Exercițiul 4

Dintre următoarele seturi de numere, cel care reprezintă numai fracţii ordinare subunitare este:

Exercițiul 5

Se consideră numărul real  a=−(7−43)(7+43)a  = -\left(7 - 4\sqrt{3}\right)\left(7 + 4\sqrt{3}\right)a=−(7−43​)(7+43​).  Valoarea lui  a10a^{10}a10  este:

Exercițiul 6

În tabelul următor sunt prezentate notele și numărul elevilor corespunzător la un test de matematică. Numărul elevilor care au luat nota 7 reprezintă p% din numărul total al elevilor. Valoarea lui p este egală cu:

NotaElevi435564768793102
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Nota} & \textbf{Elevi} \\
\hline
4 & 3 \\
\hline
5 & 5 \\
\hline
6 & 4 \\
\hline
7 & 6 \\
\hline
8 & 7 \\
\hline
9 & 3 \\
\hline
10 & 2 \\
\hline
\end{array}
Nota45678910​Elevi3546732​​

Subiectul II →

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 12 întrebări fără răspuns

Vezi I: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Vezi II: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Test final 11

Subiectul I

Exercițiul 1

Suma divizorilor naturali ai lui 12 este:

a) 12

b) 28

c) 15

d) 26

Exercițiul 2

Dacă  a3=2b,b≠0\frac{a }{3} = \frac{2}{b}, b \ne 03a​=b2​,b=0  atunci numărul real a•b este egal cu:

a) 2

b) 3

c) 5

d) 6

Exercițiul 3

Patru elevi propun câte un exercițiu de calcul. În tabelul de mai jos sunt scrise numele elevilor și exercițiile propuse de aceștia. Rezultatul care reprezintă cel mai mare număr corespunde exercițiului propus de:

Andrei: −1+5-1+5−1+5
Vlad:    −1−(+5)-1-(+5)−1−(+5)
Diana:  −(−1)+5-(-1)+5−(−1)+5
Corina: −5+1-5+1−5+1

a) Andrei

b) Vlad

c) Diana

d) Corina

Exercițiul 4

Dintre următoarele seturi de numere, cel care reprezintă numai fracţii ordinare subunitare este:

a) $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{6}{7}, \frac{8}{9}$

b) $\frac{2}{1}, \frac{4}{3}, \frac{8}{5}, \frac{7}{5}, \frac{9}{8}$

c) $\frac{2}{1}, \frac{3}{4}, \frac{8}{5}, \frac{6}{6}, \frac{8}{9}$

d) $\frac{1}{2}, \frac{3}{3}, \frac{5}{8}, \frac{6}{7}, \frac{9}{9}$

Exercițiul 5

Se consideră numărul real  a=−(7−43)(7+43)a  = -\left(7 - 4\sqrt{3}\right)\left(7 + 4\sqrt{3}\right)a=−(7−43​)(7+43​).  Valoarea lui  a10a^{10}a10  este:

a) -10

b) 10

c) -1

d) 1

Exercițiul 6

În tabelul următor sunt prezentate notele și numărul elevilor corespunzător la un test de matematică. Numărul elevilor care au luat nota 7 reprezintă p% din numărul total al elevilor. Valoarea lui p este egală cu:

NotaElevi435564768793102
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Nota} & \textbf{Elevi} \\
\hline
4 & 3 \\
\hline
5 & 5 \\
\hline
6 & 4 \\
\hline
7 & 6 \\
\hline
8 & 7 \\
\hline
9 & 3 \\
\hline
10 & 2 \\
\hline
\end{array}
Nota45678910​Elevi3546732​​

a) 10%

b) 20%

c) 30%

d) 60%

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos sunt reprezentate punctele distincte A, B, C, D și E . Punctul C aparține dreptei AB și punctele D și E nu aparțin dreptei AB . Numărul dreptelor determinate de oricare două dintre punctele A, B, C, D și E este egal cu:

a) 2

b) 5

c) 8

d) 9

Exercițiul 2

În figura de mai jos dreptele AB și CD sunt paralele. Măsura unghiului BAD este egală cu 45˚, iar măsura unghiului BCD este egală cu 40˚. Intersecția dintre AD și BC este punctul O. Măsura unghiului AOB este egală cu:

a) 95˚

b) 60˚

c) 45˚

d) 90˚

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul ABC este dreptunghic în A, unghiul ACB are măsura de 60˚, CD este bisectoarea acestuia, D ∈ AB , iar AD = 5 cm. Fie E simetricul punctului D față de dreapta BC. Perimetrul △DCE este egal cu:

a) 15 cm

b) 30 cm

c) 45 cm

d) 60 cm

Exercițiul 4

În figura de mai jos este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD cu AB =240 cm și CD =150 cm. Linia mijlocie a trapezului are lungimea egală cu:

a) 150 cm

b) 180 cm

c) 195 cm

d) 240 cm

Exercițiul 5

În figura de mai jos punctele distincte A, B, C și D aparțin cercului de centru O. Se cunoaște că măsura unghiul ABD are măsura de 60˚. Măsura unghiului ACD este de:

a) 90˚

b) 30˚

c) 45˚

d) 60˚

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentată o prismă triunghiulară regulată dreaptă ABCA’Β’C’. Se cunoaște că muchia bazei este egală cu înălțimea prismei și că aria laterală a prismei reprezentate este egală cu  48 cm248\,\text{cm}^248cm2.  Volumul prismei este egal cu:

a) $16\sqrt{3}\,\text{cm}^3$

b) $24\sqrt{3}\,\text{cm}^3$

c) $48\sqrt{3}\,\text{cm}^3$

d) $30\sqrt{3}\,\text{cm}^3$

Răspunsuri și explicații

Subiectul I

Exercițiul 1

Suma divizorilor naturali ai lui 12 este:

Răspuns corect: 28

Explicație:Divizorii naturali ai lui 12 sunt: 1, 2, 3, 4, 6, 12

1+2+3+4+6+12=28

Exercițiul 2

Dacă  a3=2b,b≠0\frac{a }{3} = \frac{2}{b}, b \ne 03a​=b2​,b=0  atunci numărul real a•b este egal cu:

Răspuns corect: 6

Explicație:Înmulțim pe diagonală și avem:
a • b = 2 • 3 = 6

Exercițiul 3

Patru elevi propun câte un exercițiu de calcul. În tabelul de mai jos sunt scrise numele elevilor și exercițiile propuse de aceștia. Rezultatul care reprezintă cel mai mare număr corespunde exercițiului propus de:

Andrei: −1+5-1+5−1+5
Vlad:    −1−(+5)-1-(+5)−1−(+5)
Diana:  −(−1)+5-(-1)+5−(−1)+5
Corina: −5+1-5+1−5+1

Răspuns corect: Diana

Explicație:Andrei: −1+5=+4=4-1+5=+4=4−1+5=+4=4
Vlad:   −1−(+5)=−1−5=−6-1-(+5)=-1-5=-6−1−(+5)=−1−5=−6
Diana:  −(−1)+5=+1+5=6-(-1)+5=+1+5=6−(−1)+5=+1+5=6
Corina: −5+1=−4-5+1=-4−5+1=−4

Corect: Diana

Exercițiul 4

Dintre următoarele seturi de numere, cel care reprezintă numai fracţii ordinare subunitare este:

Răspuns corect: $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{6}{7}, \frac{8}{9}$

Explicație:Fracțiile subunitare sunt acele fracţii în care numărătorul (cel de sus) este mai mic decât numitorul (cel de jos).

Exercițiul 5

Se consideră numărul real  a=−(7−43)(7+43)a  = -\left(7 - 4\sqrt{3}\right)\left(7 + 4\sqrt{3}\right)a=−(7−43​)(7+43​).  Valoarea lui  a10a^{10}a10  este:

Răspuns corect: 1

Explicație:Folosim formula:
(a−b)(a+b)=a2−b2(a  - b)(a  + b) = a^2 - b^2(a−b)(a+b)=a2−b2

(7−43)(7+43)=(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) =(7−43​)(7+43​)= 

=72−(43)2=49−48=1= 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 48 = 1=72−(43​)2=49−48=1

a=−1a =-1a=−1

a10=(−1)10=+1a ^{10} = (-1)^{10} = +1a10=(−1)10=+1
(orice număr negativ ridicat la o putere pară devine pozitiv)

Exercițiul 6

În tabelul următor sunt prezentate notele și numărul elevilor corespunzător la un test de matematică. Numărul elevilor care au luat nota 7 reprezintă p% din numărul total al elevilor. Valoarea lui p este egală cu:

NotaElevi435564768793102
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Nota} & \textbf{Elevi} \\
\hline
4 & 3 \\
\hline
5 & 5 \\
\hline
6 & 4 \\
\hline
7 & 6 \\
\hline
8 & 7 \\
\hline
9 & 3 \\
\hline
10 & 2 \\
\hline
\end{array}
Nota45678910​Elevi3546732​​

Răspuns corect: 20%

Explicație:Număr total elevi:  303030
Numărul elevilor care au luat nota 7 este:  666

p100⋅30=6\frac{p}{100} \cdot 30 = 6100p​⋅30=6

30⋅p100=6\frac{30 \cdot p}{100} = 610030⋅p​=6

30⋅p=60030 \cdot p=60030⋅p=600

p=20p=20p=20%

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos sunt reprezentate punctele distincte A, B, C, D și E . Punctul C aparține dreptei AB și punctele D și E nu aparțin dreptei AB . Numărul dreptelor determinate de oricare două dintre punctele A, B, C, D și E este egal cu:

Răspuns corect: 8

Explicație:Conform desen 8 drepte

Exercițiul 2

În figura de mai jos dreptele AB și CD sunt paralele. Măsura unghiului BAD este egală cu 45˚, iar măsura unghiului BCD este egală cu 40˚. Intersecția dintre AD și BC este punctul O. Măsura unghiului AOB este egală cu:

Răspuns corect: 95˚

Explicație:m(BCD^)≡m(ABC^)=40∘m(\widehat{BCD})\equiv m(\widehat{ABC}) = 40^\circm(BCD)≡m(ABC)=40∘  (alterne interne)

În △AOB avem:

m(AOB^)=180∘−(40∘+45∘)=95∘ m\left( \widehat{AOB} \right) = 180^\circ - (40^\circ + 45^\circ) = 95^\circm(AOB)=180∘−(40∘+45∘)=95∘

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat triunghiul ABC este dreptunghic în A, unghiul ACB are măsura de 60˚, CD este bisectoarea acestuia, D ∈ AB , iar AD = 5 cm. Fie E simetricul punctului D față de dreapta BC. Perimetrul △DCE este egal cu:

Răspuns corect: 30 cm

Explicație:CD bisectoare ⇒\Rightarrow⇒ m(ACD^)≡m(BCD^)=30∘m(\widehat{ACD}) \equiv m(\widehat{BCD}) = 30^\circm(ACD)≡m(BCD)=30∘

E simetricul lui D față de BC  ⇒\Rightarrow⇒  DM⊥BC și DM=ME  ⇒\Rightarrow⇒  CM mediană și înălțime în △CDE  ⇒\Rightarrow⇒  △CDE isoscel

△CDE isoscel  ⇒\Rightarrow⇒  CM este și bisectoare  ⇒\Rightarrow⇒  m(DCE^)≡60∘m(\widehat{DCE}) \equiv 60^\circm(DCE)≡60∘  ⇒\Rightarrow⇒   △CDE echilateral (are toate laturile egale)

AD = 5 cm ⇒\Rightarrow⇒ CD=10 cm (în △ACD cateta opusă unghiului de 30˚ este jumătate din ipotenuză)

△PDCE=30 \triangle P_{\text{DCE}}=30△PDCE​=30  cm

Exercițiul 4

În figura de mai jos este reprezentat un trapez dreptunghic ABCD cu AB =240 cm și CD =150 cm. Linia mijlocie a trapezului are lungimea egală cu:

Răspuns corect: 195 cm

Explicație:ℓm=B+b2=240+1502=195 cm \ell m = \frac{B + b}{2} = \frac{240 + 150}{2} = 195\,\text{cm}ℓm=2B+b​=2240+150​=195cm

Exercițiul 5

În figura de mai jos punctele distincte A, B, C și D aparțin cercului de centru O. Se cunoaște că măsura unghiul ABD are măsura de 60˚. Măsura unghiului ACD este de:

Răspuns corect: 60˚

Explicație:∠ABD este unghi pe cerc și are măsura egală cu jumătate din arcul pe care îl deschide (arcul AD).

∠ACD este tot unghi pe cerc și are măsura egală tot cu jumătate din arcul pe care îl deschide (tot arcul AD).

∠ABD și ∠ACD au aceeași măsură

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentată o prismă triunghiulară regulată dreaptă ABCA’Β’C’. Se cunoaște că muchia bazei este egală cu înălțimea prismei și că aria laterală a prismei reprezentate este egală cu  48 cm248\,\text{cm}^248cm2.  Volumul prismei este egal cu:

Răspuns corect: $16\sqrt{3}\,\text{cm}^3$

Explicație:Aℓ=Pb⋅hA_\ell=Pb \cdot hAℓ​=Pb⋅h 

Muchia bazei este egală cu înălțimea prismei, deci  ℓ=h\ell=hℓ=h

Aℓ=3⋅ℓ⋅ℓ=3ℓ2A_\ell=3 \cdot \ell \cdot \ell=3\ell^2Aℓ​=3⋅ℓ⋅ℓ=3ℓ2
3ℓ2=48⇒ℓ=4 cm=h3\ell^2=48 \Rightarrow \ell=4 \text{ cm}=h3ℓ2=48⇒ℓ=4 cm=h

V=Ab⋅hV=A_b \cdot hV=Ab​⋅h

Ab=ℓ234⋅h=1634⋅4=163  cm3 A_b = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{16\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = 16\sqrt{3}\,\text{ cm}^3Ab​=4ℓ23​​⋅h=4163​​⋅4=163​ cm3