Test final 10

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=(2−1−3−1)−1a=(2^{-1}-3^{-1} )^{-1}a=(2−1−3−1)−1  este egală cu:

Exercițiul 2

Împărțind, pe rând, numărul natural n la 18 și la 30, se obțin de fiecare dată resturile 10. Dacă n este între 400 și 500, valoare lui n este egală cu:

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=(x+1)2−(2−x)(x+2)E(x)=(x+1)^2-(2-x)(x+2)E(x)=(x+1)2−(2−x)(x+2) +3+3+3,  unde x este număr real. Expresia  E(x)E(x)E(x)  este întotdeauna divizibilă cu:

Exercițiul 4

Se consideră  x=(5+2)2−45−2x = (\sqrt{5} + 2)^2 - \frac {4}{\sqrt{5} - 2}x=(5​+2)2−5​−24​.  Valoarea lui x este:

Exercițiul 5

Se consideră funcţiile  f:R→Rf:R \rightarrow Rf:R→R, f(x)=x+2f(x)=x+2f(x)=x+2  și  g:R→Rg:R \rightarrow Rg:R→R, g(x)=2⋅x−4g(x)=2 \cdot x-4g(x)=2⋅x−4.  Punctul de intersecție al celor două funcții are coordonatele:

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=1x5−3⋅(1−x−3+1x+3) E(x) = \frac{1}{x^5 - 3} \cdot \left( \frac{1}{-x - 3} + \frac{1}{x + 3} \right)E(x)=x5−31​⋅(−x−31​+x+31​),  unde x este număr real, x≠-3, x≠3. Valoarea lui E(x) este:

Subiectul II →

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 12 întrebări fără răspuns

Vezi I: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Vezi II: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Test final 10

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=(2−1−3−1)−1a=(2^{-1}-3^{-1} )^{-1}a=(2−1−3−1)−1  este egală cu:

a) $-1$

b) $\frac{1}{6}$

c) $6$

d) $- \frac{1}{6}$

Exercițiul 2

Împărțind, pe rând, numărul natural n la 18 și la 30, se obțin de fiecare dată resturile 10. Dacă n este între 400 și 500, valoare lui n este egală cu:

a) 400

b) 450

c) 480

d) 460

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=(x+1)2−(2−x)(x+2)E(x)=(x+1)^2-(2-x)(x+2)E(x)=(x+1)2−(2−x)(x+2) +3+3+3,  unde x este număr real. Expresia  E(x)E(x)E(x)  este întotdeauna divizibilă cu:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 10

Exercițiul 4

Se consideră  x=(5+2)2−45−2x = (\sqrt{5} + 2)^2 - \frac {4}{\sqrt{5} - 2}x=(5​+2)2−5​−24​.  Valoarea lui x este:

a) $1$

b) $2$

c) $2\sqrt{5}$

d) $\sqrt{5}$

Exercițiul 5

Se consideră funcţiile  f:R→Rf:R \rightarrow Rf:R→R, f(x)=x+2f(x)=x+2f(x)=x+2  și  g:R→Rg:R \rightarrow Rg:R→R, g(x)=2⋅x−4g(x)=2 \cdot x-4g(x)=2⋅x−4.  Punctul de intersecție al celor două funcții are coordonatele:

a) (6,8)

b) (0,-2)

c) (2,0)

d) (-2,2)

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=1x5−3⋅(1−x−3+1x+3) E(x) = \frac{1}{x^5 - 3} \cdot \left( \frac{1}{-x - 3} + \frac{1}{x + 3} \right)E(x)=x5−31​⋅(−x−31​+x+31​),  unde x este număr real, x≠-3, x≠3. Valoarea lui E(x) este:

a) $\frac{x - 3}{2}$

b) $0$

c) $\frac{x + 3}{2}$

d) $x^2-9$

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un triunghi dreptunghic ABC. Dacă AD⊥BC și CD= 4 cm, iar BD= 9 cm, atunci lungimea lui AD este egală cu:

a) 13 cm

b) 5 cm

c) 6 cm

d) 12 cm

Exercițiul 2

Se consideră trapezul ABCD cu AB=8 cm, DC= 4 cm și AC= 6 cm. Intersecția diagonalelor se notează cu O. Lungimea lui CO este egală cu:

a) 6 cm

b) 4 cm

c) 3 cm

d) 2 cm

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat dreptunghiul ABCD cu AB=8 cm și AD=6 cm. Punctul E este mijlocul lui AB și EF este perpendiculară pe BD. Valoarea tangentei unghiului FEB este egală cu: 

a) $\frac{4}{3}$

b) $\frac{3}{4}$

c) $\frac{1}{2}$

d) $\frac{1}{3}$

Exercițiul 4

În figura de mai jos este reprezentat un pătrat ABCD cu latura de 4 cm. Intersecția diagonalelor este notată cu O. În O se ridică perpendiculara MO pe planul ABC, MO=2 cm. Unghiul dintre planele MBC și ABC este egal cu:

a) 30˚

b) 45˚

c) 60˚

d) 90˚

Exercițiul 5

În piramidă patrulateră regulată VABCD, VO= 222\sqrt222​  cm și AB=444  cm. Distanța de la A la VC este egală cu:

a) $2\sqrt{2}$ cm

b) $2$ cm

c) $4$ cm

d) $4\sqrt{2}$ cm

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat o prismă regulată dreaptă ABCDA'B'C'D', cu AB=6 cm și AC’=12 cm. Înălțimea prismei este egală cu:

a) $12$ cm

b) $6\sqrt{3}$ cm

c) $6$ cm

d) $6\sqrt{2}$ cm

Răspunsuri și explicații

Subiectul I

Exercițiul 1

Valoare numărului  a=(2−1−3−1)−1a=(2^{-1}-3^{-1} )^{-1}a=(2−1−3−1)−1  este egală cu:

Răspuns corect: $6$

Explicație:a=(12−13)−1 a = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)^{-1}a=(21​−31​)−1

a=(36−26)−1 a= \left( \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \right)^{-1}a=(63​−62​)−1

a=(16)−1 a =\left( \frac{1}{6} \right)^{-1}a=(61​)−1

a=6 a = 6a=6

Exercițiul 2

Împărțind, pe rând, numărul natural n la 18 și la 30, se obțin de fiecare dată resturile 10. Dacă n este între 400 și 500, valoare lui n este egală cu:

Răspuns corect: 460

Explicație:n:18= c1 , rest 10
n:30= c1 , rest 10

n=18·c1+10
n=30·c2+10

n-10=18·c1
n-10=30·c2

→\rightarrow→ n-10=[18,30]

18=2⋅3218=2·3^218=2⋅32
30=2⋅3⋅530=2·3·530=2⋅3⋅5
Pentru determinarea celui mai mic multiplu comun (cmmmc), se aleg factorii comuni și necomuni la puterea cea mai mare, câte o singură dată.

→\rightarrow→ n−10=2⋅32⋅5=90n-10=2·3^2·5=90n−10=2⋅32⋅5=90

Pentru ca n să fie între 400 și 500, se caută multiplu lui 90 între 400 și 500,

n-10=5·90
n=460

Exercițiul 3

Se consideră expresia  E(x)=(x+1)2−(2−x)(x+2)E(x)=(x+1)^2-(2-x)(x+2)E(x)=(x+1)2−(2−x)(x+2) +3+3+3,  unde x este număr real. Expresia  E(x)E(x)E(x)  este întotdeauna divizibilă cu:

Răspuns corect: 4

Explicație:E(x)=(x2+2⋅x+1)+(x−2)(x+2) E(x) = (x^2 + 2\cdot x + 1) + (x - 2)(x + 2) E(x)=(x2+2⋅x+1)+(x−2)(x+2) +3+ 3+3
E(x)=x2+2⋅x+1+x2−4+3 E(x) = x^2 + 2\cdot x + 1 + x^2 - 4 + 3E(x)=x2+2⋅x+1+x2−4+3
E(x)=2⋅x2+2⋅x E(x) = 2\cdot x^2 + 2\cdot xE(x)=2⋅x2+2⋅x
E(x)=2x(x+1) E(x) = 2x(x + 1)E(x)=2x(x+1)
x(x+1)x(x + 1)x(x+1)  sunt 2 numere consecutive, așadar unul dintre acestea este par 
2·par devine divizil cu 4

Exercițiul 4

Se consideră  x=(5+2)2−45−2x = (\sqrt{5} + 2)^2 - \frac {4}{\sqrt{5} - 2}x=(5​+2)2−5​−24​.  Valoarea lui x este:

Răspuns corect: $1$

Explicație:x=5+45+4−4(5+2)5−4 x = 5 + 4\sqrt{5} + 4 - \frac{4(\sqrt{5} + 2)}{5 - 4}x=5+45​+4−5−44(5​+2)​
x=9+45−45−8 x = 9 + 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 8x=9+45​−45​−8
x=1x = 1x=1

Exercițiul 5

Se consideră funcţiile  f:R→Rf:R \rightarrow Rf:R→R, f(x)=x+2f(x)=x+2f(x)=x+2  și  g:R→Rg:R \rightarrow Rg:R→R, g(x)=2⋅x−4g(x)=2 \cdot x-4g(x)=2⋅x−4.  Punctul de intersecție al celor două funcții are coordonatele:

Răspuns corect: (6,8)

Explicație:Pentru a afla abscisa punctului de intersecție se egalează cele două funcții:
f(x)= g(x)
x+2=2x-4
2x-x=4+2
x=6

Pentru a afla ordonata punctului de intersecție se înlocuiește abscisa calculată deja în oricare dintre cele două funcții:
g(6)=6+2=8

Punctul de intersecție are coordonatele: (6,8)

Exercițiul 6

Se consideră expresia  E(x)=1x5−3⋅(1−x−3+1x+3) E(x) = \frac{1}{x^5 - 3} \cdot \left( \frac{1}{-x - 3} + \frac{1}{x + 3} \right)E(x)=x5−31​⋅(−x−31​+x+31​),  unde x este număr real, x≠-3, x≠3. Valoarea lui E(x) este:

Răspuns corect: $0$

Explicație:E(x)=1x5−3⋅(1−x−3+1x+3) E(x) = \frac{1}{x^5 - 3} \cdot \left( \frac{1}{-x - 3} + \frac{1}{x + 3} \right)E(x)=x5−31​⋅(−x−31​+x+31​)

E(x)=1x5−3⋅(−1x+3+1x+3) E(x) = \frac{1}{x^5 - 3} \cdot \left( -\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} \right)E(x)=x5−31​⋅(−x+31​+x+31​)

E(x)=1x5−3⋅0 E(x) = \frac{1}{x^5 - 3} \cdot 0E(x)=x5−31​⋅0

E(x)=0 E(x) = 0E(x)=0

Subiectul II

Exercițiul 1

În figura de mai jos este reprezentat un triunghi dreptunghic ABC. Dacă AD⊥BC și CD= 4 cm, iar BD= 9 cm, atunci lungimea lui AD este egală cu:

Răspuns corect: 6 cm

Explicație:AD este înălțime în triunghiul dreptunghic ABC.
Teorema înălțimii: 
AD2=CD⋅BDAD^2=CD·BDAD2=CD⋅BD
AD2=4⋅9AD^2=4·9AD2=4⋅9
AD2=36AD^2=36AD2=36
AD=6AD=6AD=6  cm

Exercițiul 2

Se consideră trapezul ABCD cu AB=8 cm, DC= 4 cm și AC= 6 cm. Intersecția diagonalelor se notează cu O. Lungimea lui CO este egală cu:

Răspuns corect: 2 cm

Explicație:△AOB este asemenea cu △DOC:
ODOB=OCOA=DCAB\frac{OD}{OB} = \frac{OC}{OA} = \frac{DC}{AB}OBOD​=OAOC​=ABDC​ 

OCOA=48=12\frac{OC}{OA} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}OAOC​=84​=21​

OCOA+OC=12+1\frac{OC}{OA + OC} = \frac{1}{2 + 1}OA+OCOC​=2+11​ 

OCAC=13\frac{OC}{AC}= \frac{1}{3}ACOC​=31​ 

OC6=13\frac{OC}{6} = \frac{1}{3}6OC​=31​

OC=2OC = 2OC=2  cm

Exercițiul 3

În figura de mai jos este reprezentat dreptunghiul ABCD cu AB=8 cm și AD=6 cm. Punctul E este mijlocul lui AB și EF este perpendiculară pe BD. Valoarea tangentei unghiului FEB este egală cu: 

Răspuns corect: $\frac{4}{3}$

Explicație:△FEB este asemenea cu △ABD deoarece:
EFB^=BAD^=90∘\widehat{EFB} = \widehat{BAD} = 90^\circEFB=BAD=90∘ 
EBF^=ABD^\widehat{EBF} = \widehat{ABD}EBF=ABD  (unghi comun)

Deci:
BEF^=ADB^\widehat{BEF} = \widehat{ADB}BEF=ADB 

tan⁡(BEF^)=tan⁡(ADB^)=\tan(\widehat{BEF}) = \tan(\widehat{ADB}) = tan(BEF)=tan(ADB)=
=ABAD=86=43=\frac{AB}{AD} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}=ADAB​=68​=34​

Exercițiul 4

În figura de mai jos este reprezentat un pătrat ABCD cu latura de 4 cm. Intersecția diagonalelor este notată cu O. În O se ridică perpendiculara MO pe planul ABC, MO=2 cm. Unghiul dintre planele MBC și ABC este egal cu:

Răspuns corect: 45˚

Explicație:Fie N mijlocul lui BC
(ABC)∩(MBC)=BC(ABC) \cap (MBC) = BC(ABC)∩(MBC)=BC
ON⊥BC,ON⊂(ABC)ON \perp BC, \quad ON \subset (ABC)ON⊥BC,ON⊂(ABC)
NM⊥BC,NM⊂(MBC)NM \perp BC, \quad NM \subset (MBC)NM⊥BC,NM⊂(MBC)
→\rightarrow→ (ABC)(MBC)^=ON,NM^\widehat{(ABC)(MBC)}= \widehat {ON,NM} (ABC)(MBC)​=ON,NM​ =MNO^= \widehat{MNO}=MNO 

MO=ON=2MO=ON=2MO=ON=2  cm
△MON dreptunghic isoscel: 
MNO^=45∘\widehat{MNO} = 45^\circMNO=45∘

Exercițiul 5

În piramidă patrulateră regulată VABCD, VO= 222\sqrt222​  cm și AB=444  cm. Distanța de la A la VC este egală cu:

Răspuns corect: $4$ cm

Explicație:AC este diagonală în pătrat,  AC=42AC=4\sqrt2AC=42​  cm

Se aplică teorema lui Pitagora în △VOA:
VO2+OA2=VA2VO^2 + OA^2 = VA^2VO2+OA2=VA2
(22)2+(22)2=VA2(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = VA^2(22​)2+(22​)2=VA2
VA2=8+8=16VA^2 = 8 + 8 = 16VA2=8+8=16
VA=4VA = 4VA=4  cm

Se scrie aria △VAC în două moduri:
AVOA=VO⋅AC2=AE⋅VC2A_{VOA} = \frac{VO \cdot AC}{2} = \frac{AE \cdot VC}{2}AVOA​=2VO⋅AC​=2AE⋅VC​
VO⋅AC=AE⋅VCVO \cdot AC = AE \cdot VCVO⋅AC=AE⋅VC
22⋅42=AE⋅4 2\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = AE \cdot 422​⋅42​=AE⋅4
16=AE⋅4 16 = AE \cdot 416=AE⋅4
AE=4 AE = 4AE=4  cm

Exercițiul 6

În figura de mai jos este reprezentat o prismă regulată dreaptă ABCDA'B'C'D', cu AB=6 cm și AC’=12 cm. Înălțimea prismei este egală cu:

Răspuns corect: $6\sqrt{2}$ cm

Explicație:Prismă regulată dreaptă →\rightarrow→ baza este pătrat

Formula generală a diagonalei unei prisme/paralelipiped dreptunghic este:
d2=a2+b2+h2d^2 = a^2 + b^2 + h^2d2=a2+b2+h2
122=62+62+h212^2 = 6^2 + 6^2 + h^2122=62+62+h2
h2=144−36–36h^2 = 144 - 36 – 36h2=144−36–36
h2=72h^2 = 72h2=72
h=62h = 6\sqrt{2}h=62​ cm