Elemente de geometrie spatială

7.2 Proiecții și unghiuri în spațiu Proiecția ortogonală a unui punct / segment / drepte pe un plan este figura obținută ducând perpendiculare pe plan din punctele respective. Cheia este cuvântul ortogonal = perpendicular. a. Proiecția unui punct pe un plan Fie:    • punctul  $A$    • planul  $α$ Proiecția ortogonală a punctului $A$ pe planul $α$ este punctul $A'$ astfel încât:    • $A'∈ α$    • $AA'⊥α$ Se notează: pr$_{\alpha}(A) = A'$ Cazuri:    1. Dacă  $A∈α$ → proiecția este chiar punctul $A$    2. Dacă  $A∉α$ → proiecția este piciorul perpendicularei din $A$ pe plan

b. Proiecția unei drepte pe un plan Fie linia dreaptă  $d$  și planul  $α$. Proiecția ortogonală a dreptei  $d$  pe plan este mulțimea proiecțiilor tuturor punctelor de pe dreaptă. Se notează: pr$_{\alpha}(d) = d'$ Cazuri posibile: a) Dreapta este paralelă cu planul    • Proiecția este o dreaptă paralelă cu dreapta inițială    • Lungimile se păstrează b) Dreapta este perpendiculară pe plan    • Proiecția este un punct c) Dreapta este oblică față de plan    • Proiecția este o dreaptă    • Aceasta se află în plan și este oblică

Proiecția unui segment de dreaptă pe un plan Fie segmentul  $[AB]$  și planul  $α$. Proiecția ortogonală a segmentului  $[AB]$  pe plan este segmentul:  $[A'B']$ unde:    • $A'$  este proiecția lui  $A$  pe plan    • $B'$  este proiecția lui  $B$  pe plan Se notează: pr$_{\alpha}(AB) = A'B'$ Observații importante:    • Lungimea proiecției este mai mică sau egală cu lungimea segmentului    • Dacă segmentul este:         - paralel cu planul → proiecția are aceeași lungime         - perpendicular pe plan → proiecția este un punct         - oblic → proiecția este un segment mai scurt

c. Unghiul dintre o dreaptă și un plan Unghiul dintre o linie dreaptă  $d$  și un plan  $α$  este unghiul ascuțit dintre dreapta d și proiecția ortogonală a acesteia pe plan. Dacă:    •  $d$  este linia dreaptă      •  $d'$ =  pr $_{\alpha}(d)$    atunci unghiul dintre dreapta și plan este:          $∠(d,α)=∠(d,d')$ Cazuri particulare:    • Dacă  $d \parallel α$  → unghiul este  $0^\circ$    • Dacă  $d \perpα$ → unghiul este  $90^\circ$

Lungimea proiecției unui segment pe un plan Unghiul dintre un segment  $[AB]$  și un plan  $\alpha$  este unghiul ascuțit dintre segment și proiecția sa ortogonală pe plan. Fie:    • planul:  $α$    • segmentul:  $[AB]$    •  $A'$  = pr $_{\alpha}(A)$    •  $B'$  = pr $_{\alpha}(B)$ Atunci:      $∠([AB],α)=∠(AB,A'B')$ Mai precis: Unghiul dintre un segment și un plan este unghiul dintre o dreaptă paralelă cu segmentul, dusă printr-un punct al planului, și proiecția ei ortogonală pe plan. Formula fundamentală: Dacă segmentul  $AB$  face un unghi  $x$  cu planul  $α$, atunci: $A'B'=AB \cdot \operatorname{cos}⁡(x)$ $\Rightarrow \operatorname{cos}(x)= \frac{A'B'}{AB}$ unde:  $x=∠(AB,α)$

d. Unghi diedru. Unghiul dintre două plane Unghiul diedru este unghiul format de două semiplane care au o dreaptă comună, numită muchia diedrului.

Unghiul diedru dintre două plane Unghiului diedru determinat de planele  $α$  și  $β$  este unghiul plan format de două drepte perpendiculare pe muchia diedrului, una în fiecare plan. Fie:    • planele  $α$  și  $β$    • $d=α∩β$ Construcție:    1. Se alege un punct  $A∈d$    2. În planul  $α$  se duce prin A dreapta  $а$  astfel încât:  $а\perp d$,  ($BA \perp d$)       3. În planul  $β$  se duce prin A dreapta  $b$ , astfel încât:  $b \perp d$,  ($CA\perp d$)    4. Unghiul dintre cele două plane este:               $∠(α,β)=∠(a,b)= ∠CAB$ Unghiul dintre plane este independent de punctul ales pe muchie