Cercul

6.1 Generalități a. Definiţi și notaţii Cercul este mulțimea tuturor punctelor din plan care se află la aceeași distanță de un punct fix. • Punctul fix se numește centru. • Distanța constantă se numește rază. Notații: • Centrul cercului se notează, de obicei, cu O. • Raza se notează cu r. • Cercul cu centrul în O și raza r se notează: C(O, r) Elemente ale cercului (noțiuni de bază): • Raza – segmentul care unește centrul cercului cu un punct de pe cerc (ex.: OA = r) • Diametrul – segmentul care unește două puncte ale cercului și trece prin centru - se notează, de obicei, AB - d = 2r • Coarda – segmentul care unește două puncte de pe cerc (nu neapărat prin centru) • Arcul de cerc – o porțiune a cercului cuprinsă între două puncte Observații importante: • Toate razele unui cerc sunt egale. • Diametrul este cea mai mare coardă a cercului. • Un cerc este o linie curbă închisă, nu o suprafață. În figura de mai jos: • OA, OB, OC, OD sunt raze • AB este diametru • CD este coardă •

\overset{\frown}{AB}

este arc de cerc

Proprietăți: • două arce ale aceluiași cerc sunt congruente dacă au aceeași lungime (aceeași măsură).

\overset{\frown}{AC}≅\overset{\frown}{BD}

• arce congruente determină coarde congruente și invers.

\overset{\frown}{AC}≅\overset{\frown}{BD}

⟺

AC=BD

• dacă două coarde sunt congruente, atunci ele se află la aceeași distanță față de centru.

AC=BD

⟺

d(O,AC)=d(O,BD)

• dintre două coarde ale aceluiași cerc: - coarda mai apropiată de centru este mai mare - coarda mai îndepărtată de centru este mai mică • dintre două arce ale aceluiași cerc: - arcul corespunzător coardei mai mari este mai mare - arcul corespunzător coardei mai mici este mai mic • diametrul - este cea mai mare coardă a cercului. - determină două semicercuri congruente. Într-un cerc: Arce congruente ⟺ Coarde congruente ⟺ Distanțe egale față de centru

b. Aria şi lungimea (circumferința) cercului Aria cercului Fie cercul de raza R.

A = \pi R^2

Dacă se cunoaște diametrul

d=2R

A = \frac{\pi d^2}{4}

Observații: • Aria unui disc crește cu pătratul razei: dacă dublăm raza, aria devine de 4 ori mai mare. • Aceste formule sunt folosite în fizică și inginerie pentru calculul suprafețelor și volumelor de corpuri de rotație. • Reamintim că discul este totalul punctelor care se află la o distanță mai mică sau egală cu raza față de centru. Lungimea (circumferința) cercului Fie cercul de raza R.

ꓡ= 2 \pi R

Dacă se cunoaște diametrul

d=2R

ꓡ= \pi d

Uneori lungimea (circumferința) cercului se notează cu

C.

În acest caz formulele de mai sus devin:

C= 2 \pi R

C=\pi d

Observații: • Lungimea cercului se mai numește și perimetrul cercului. • Formula este direct proporțională cu raza: dacă dublăm raza, lungimea cercului se dublează. • Lungimea cercului reprezintă distanta parcursă dacă ai merge o dată în jurul cercului. Aplicații practice: • Determinarea lungimii gardului circular sau a centurii unei roți → lungimea cercului • Calculul suprafeței unor obiecte circulare, cum ar fi farfurii, discuri sau oglinzi → aria discului • Fundament pentru calculul volumelor cilindrilor și conurilor în geometrie tridimensională → aria bazei circulare, folosită la volume

c. Poziţiile relative ale unei drepte faţă de cerc Dreaptă exterioară cercului Dreapta a este exterioară cercului dacă nu are niciun punct comun cu cercul. Condiție:

d(O,d)>r

Dreaptă tangentă la cerc Dreapta b este tangentă la cerc dacă are un singur punct comun cu cercul, numit punct de tangență. Condiție:

d(O,d)=r

Proprietate importantă: Raza dusă la punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă. Observații: • dintr-un punct de pe cerc se poate duce o singură tangentă. • dintr-un punct exterior cercului se pot duce două tangente. • dintr-un punct interior cercului nu se poate duce nicio tangentă. Dreaptă secantă la cerc Dreapta c este secantă la cerc dacă are două puncte comune cu cercul. Condiție:

d(O,d)<r

«către 5.3

către 6.2»