Rezolvarea triunghiurilor

4.3 Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic Se consideră triunghiul dreptunghic $ABC$ din figura de mai jos, unde:    • $\angle A = 90^\circ$    • $BC$ – ipotenuza    • $AB,AC$ – catetele Din vârful unghiului drept se coboară înălțimea AD pe ipotenuză BC. Așadar:    • BD este proiecția catetei AB pe ipotenuză    • DC este proiecția catetei AC pe ipotenuză    • AD este înălțimea triunghiului dreptunghic În triunghiul dreptunghic, înălțimea coborâtă din unghiul drept împarte ipotenuza în două segmente. Această împărțire permite stabilirea unor relații utile între laturi, cum ar fi calculul lungimii unei catete sau al ipotenuzei. Importanță practică:   Relațiile metrice din triunghiul dreptunghic sunt folosite pentru a determina lungimi necunoscute atunci când sunt cunoscute doar unele laturi sau unghiuri. Aceste relații sunt fundamentale în trigonometrie și în rezolvarea problemelor geometrice. Exemplu intuitiv:   Dacă cunoaștem lungimea înălțimii AD și a unei proiecții (BD sau DC), putem determina ușor lungimea catetei corespunzătoare sau a ipotenuzei folosind teoremele lui Pitagora și proprietățile triunghiului dreptunghic.

a. Teorema lui Pitagora Suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei:    catetă²+catetă²=ipotenuză²  $\Rightarrow \boxed{AB^2 + AC^2 = BC^2}$ Exemplul 1 În triunghiul dreptunghic  $ABC$  cu  $AD \perp BC,$  se dau:  $AB=6\,\text{cm}$  și  $AC=8\,\text{cm}.$   Calculați ipotenuza  $BC.$ $AB^2+AC^2=BC^2$ $6^2+8^2=BC^2 \Rightarrow 36+64=BC^2$ $100=BC^2 \Rightarrow BC=10\,\text{cm}$ Exemplul 2 În triunghiul dreptunghic  $ABC$  cu  $AD \perp BC,$  se dau:  $BC=13\,\text{cm}$  și  $AB=5\,\text{cm}.$   Calculați cateta  $AC.$ Aplicăm teorema lui Pitagora: $AB^2+AC^2=BC^2$ $5^2+AC^2=13^2 \Rightarrow 25+AC^2=169$ $AC^2=144 \Rightarrow AC=12\,\text{cm}$

b. Teorema catetei (Leg theorem) Cateta este media geometrică dintre ipotenuză și proiecția sa pe ipotenuză:    catetă² = ipotenuză × proiecție  $\Rightarrow \boxed{ \begin{aligned} AB^2 &= BC \cdot BD\\ AC^2 &= BC \cdot DC \end{aligned} }$ Exemplul 1 În triunghiul dreptunghic  $ABC$  cu  $AD \perp BC,$  se dau:  $BC=25\,\text{cm}$  și  $BD=9\,\text{cm}.$  Calculați cateta  $AB.$ Aplicăm teorema catetei: $AB^2=BC \cdot BD$ $AB^2=25 \cdot 9$ $AB^2=225 \Rightarrow AB=15\,\text{cm}$ Exemplul 2 În triunghiul dreptunghic  $ABC$  cu  $AD \perp BC,$  se dau:  $BC=20\,\text{cm}$  și  $DC=16\,\text{cm}.$  Calculați cateta  $AC.$ $AC^2=BC \cdot DC$ $AC^2=20 \cdot 16$ $AC^2=320 \Rightarrow AC=8\sqrt{5}\,\text{cm}$