Rezolvarea triunghiurilor

4.2 Noţiuni de trigonometrie a. Sinus, cosinus, tangenta, cotangenta Trigonometria se studiază în triunghiul dreptunghic și ne ajută să calculăm: • lungimi de laturi • măsuri de unghiuri Triunghiul dreptunghic – reamintire • Are un unghi drept (90°) • Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză • Celelalte două laturi se numesc catete Unghiurile ascuțite într-un triunghi dreptunghic: • unghiurile ascuțite sunt mai mici de 90° • suma lor este 90° Funcții trigonometrice: Pentru un unghi ascuțit α: • sinusul:

\text{sin⁡us } α=\frac{\text{cateta opusa}}{\text{ipotenuza}}

• cosinusul:

\text{cosinus } ⁡α=\frac{\text{cateta alaturata}}{\text{ipotenuza}}

• tangenta:

\text{tangenta }⁡ α=\frac{\text{cateta opusa}}{\text{cateta alaturata}}

\text{tangenta }⁡ α=\frac{\text{sinus α}}{\text{cosinus ⁡α}}

\text{tangenta } α=\frac{\text{1}}{\text{cotangenta ⁡α}}

• cotangenta:

\text{cotangenta }⁡ α=\frac{\text{cateta alaturata}}{\text{cateta opusa}}

\text{cotangenta }⁡⁡ α=\frac{\text{cosinus α}}{\text{sinus ⁡α}}

\text{cotangenta }⁡⁡ α=\frac{\text{1}}{\text{tangenta ⁡α}}

Valori importante: Pentru unghiurile speciale de

30^\circ

45^\circ

și

60^\circ

, funcțiile trigonometrice au valori care trebuie cunoscute și memorate.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline\\ \text{ } & \mathbf{ 30° } & \mathbf{ 45°} & \mathbf{ 60°} \\ {}\\ \hline\\ \text{sinus} & \,\dfrac{1}{2}\, & \,\dfrac{\sqrt{2}}{2} \,& \,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\, \\ {}\\ \hline\\ \text{cosinus} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} \\ {}\\ \hline\\ \text{tangenta} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} \\ {}\\ \hline\\ \text{cotangenta} & \sqrt{3} & 1 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ {}\\ \hline \end{array}

sau:

\begin{array}{r} \text{sinus } 30^\circ \\[6pt] \text{cosinus } 60^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \frac{1}{2} \\[16pt] \begin{array}{r} \text{sinus } 45^\circ \\[6pt] \text{cosinus } 45^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \\[16pt] \begin{array}{r} \text{sinus } 60^\circ \\[6pt] \text{cosinus } 30^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}

\begin{array}{r} \text{tangenta } 30^\circ \\[6pt] \text{cotangenta } 60^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} \\[16pt] \begin{array}{r} \text{tangenta } 45^\circ \\[6pt] \text{cotangenta } 45^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow 1 \\[16pt] \begin{array}{r} \text{tangenta } 60^\circ \\[6pt] \text{cotangenta } 30^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \sqrt{3}

De fapt: sin α = cos (90°−α) Valorile funcțiilor trigonometrice depind doar de mărimea unghiului, nu de dimensiunea triunghiului. Dacă unghiul crește, sinusul crește, iar cosinusul scade.

Relația fundamentală a trigonometriei Pentru orice unghi ascuțit α are loc relația: sin² α + cos² α = 1 Această relație arată legătura dintre sinus și cosinus pentru același unghi. Dacă se cunoaște valoarea unei funcții trigonometrice, se poate determina cealaltă folosind această relație. Exemplu: Dacă sin α =

\frac{1}{2} \Rightarrow

sin² α =

\frac{1}{4}

sin² α + cos² α = 1 cos² α =

1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

cos α =

\frac{\sqrt{3}}{2}

Aplicație: Relația este folosită frecvent în probleme pentru a calcula valori necunoscute și pentru a simplifica expresii trigonometrice.

b. Teorema 30°- 60°- 90° Într-un triunghi dreptunghic, latura care se opune unghiului de 30° este egală cu jumătatea ipotenuzei. Ce înseamnă concret: dacă: • cateta opusă unghiului de

30^\circ =а

atunci: • ipotenuza

= 2 \cdot а

iar: • cateta opusă unghiului de

60^\circ = а \cdot \sqrt{3}

Valorile de mai sus rezultă din valorile funcțiilor trigonometrice: sin 30° =

\frac{а}{2а} = \frac{1}{2}

cos 30° =

\frac{а\sqrt{3}}{2а} = \frac{\sqrt{3}}{2}

sin 60° =

\frac{а\sqrt{3}}{2а} = \frac{\sqrt{3}}{2}

cos 60° =

\frac{а}{2а} = \frac{1}{2}

Valorile funcțiilor trigonometrice pentru aceste unghiuri se deduc direct din raportul laturilor. Această teoremă permite calculul rapid al laturilor și al valorilor trigonometrice în probleme.

«către 4.1

către 4.3»