Rezolvarea triunghiurilor

4.1 Perimetru și aria triunghiului a. Perimetrul triunghiului Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor celor trei laturi. Pentru un

\triangle

ABC cu laturile AB=c, BC=а, AC=b , atunci perimetrul se calculează cu formula:

P = а + b + c

Observație: Toate laturile trebuie să fie exprimate în aceeași unitate de măsură înainte de a face calculul. Important: Perimetrul reprezintă lungimea totală a conturului triunghiului, adică distanța parcursă dacă mergem pe toate laturile triunghiului. Aplicație practică: Perimetrul este folosit în situații reale, de exemplu pentru a calcula lungimea gardului necesar pentru a împrejmui un teren de formă triunghiulară. b. Aria triunghiului oarecare Aria unui triunghi reprezintă suprafața ocupată de triunghi în plan. Important: Înălțimea unui triunghi este perpendiculară pe latura pe care cade și formează un unghi de

90^\circ

cu aceasta. Relație generală: Aria se calculează ca jumătate din produsul unei laturi și al înălțimii corespunzătoare:

A = \frac{а \cdot h_а}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2}

Aplicație practică: Aria triunghiului este folosită pentru a determina suprafețe în construcții, arhitectură sau pentru a calcula dimensiunea unor terenuri de formă triunghiulară. Pentru un

\triangle

ABC cu laturile AB=c, BC=a, AC=b și înălțimea AD=h, aria se poate calcula cu următoarele formule: • formula de bază:

A = \frac{b \cdot h}{2}

• formula lui Heron:

A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

• aria cu laturile și raza cercului circumscris:

A = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R}

• aria în funcție de semiperimetru și raza cercului înscris:

A = p \cdot r

p=\frac{a+b+c}2

• aria cu două laturi și unghiul cuprins între cele două laturi:

A = \frac{a \cdot b \cdot \sin \alpha}{2}

• formulă utilă (raport de asemănare):

\frac{A_1}{A_2} = k^2

• egalitatea ariilor (baze diferite):

\frac{а \cdot h_а}{2}=\frac{b \cdot h_b}{2}=\frac{c \cdot h_c}{2}

\Rightarrow

а \cdot h_а=b \cdot h_b=c \cdot h_c

în orice triunghi produsul dintre bază și înălțimea corespunzătoare rămâne constant

c. Aria triunghiului dreptunghic • se poate aplica oricare din formulele generale de mai sus • formula specifică:

A = \frac{C_1 \cdot C_2}{2}

unde

C_1

C_2

sunt catetele triunghiului • a nu se confunda formula ariei cu cea a înălțimii. Înălțimea în triunghiului dreptunghic este:

h = \frac{C_1 \cdot C_2}{IP}

unde

C_1

C_2

sunt catetele triunghiului, iar

IP

este ipotenuza triunghiului d. Aria triunghiului echilateral • se poate aplica oricare din formulele generale de mai sus • formula specifică:

A =\frac{\ell²\cdot \sqrt{3}}{4}

• a nu se confunda formula ariei cu cea a înălțimii. Înălțimea în triunghiului echilateral este:

h = \frac{\ell \cdot \sqrt{3}}{2}

«către 3.3

către 4.2»