Triunghi

3.2 Congruenţa și asemănarea triunghiurilor a. Congruenţa triunghiurilor oarecare Două triunghiuri sunt congruente dacă: • au aceeași formă • au aceeași mărime Dacă se suprapune un triunghi peste celălalt și se potrivesc perfect. Se notează: △ABC ≡ △DEF Pentru a arăta că două triunghiuri sunt congruente, se folosesc următoarele criterii: • Latură – Latură – Latură Două triunghiuri sunt congruente dacă: - au toate cele trei laturi corespunzătoare egale - nu mai e nevoie de unghiuri.

• Latură – Unghi – Latură Două triunghiuri sunt congruente dacă: - au două laturi corespunzătoare egale - și unghiul cuprins între ele este egal

• Unghi – Latură – Unghi Două triunghiuri sunt congruente dacă: - au două unghiuri corespunzătoare egale - și latura cuprinsă între ele este egală

Ce NU este criteriu de congruență: • Unghi – Unghi– Unghi (trei unghiuri egale) - arată doar asemănare, nu congruență • Latură – Latură – Unghi (două laturi și un unghi necuprins între cele două laturi) - nu este sigur Dacă două triunghiuri sunt congruente, atunci: • toate laturile corespunzătoare sunt egale • toate unghiurile corespunzătoare sunt egale • ariile și perimetrele sunt egale

b. Congruenţa triunghiurilor dreptunghice Pentru a arăta că două triunghiuri dreptunghice sunt congruente, se folosesc următoarele criterii: • Ipotenuză – Catetă (Hypotenuse – Leg) Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă: - au ipotenuza egală - și o catetă egală

• Catetă – Catetă (Leg-Leg) Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă: - au ambele catete corespunzătoare egale

• Ipotenuză – Unghi (Hypotenuse – Angle) Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă: - au ipotenuza egală - și un unghi ascuțit egal

• Catetă – Unghi ( Leg – Angle) Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă: - au o catetă egală - și unghiul ascuțit alăturat egal

De ce sunt suficiente aceste criterii? Pentru că: • unghiul drept (90°) este deja cunoscut • nu mai trebuie verificat

c. Teorema lui Thales Dacă o paralelă la una dintre laturile unui triunghi intersectează celelalte două laturi, atunci determină pe acestea segmente proporționale.

\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}

unde

M{}N \parallel BC

d. Asemănarea triunghiurilor Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă: • au aceeași formă • dar mărimi diferite (sau egale) Unghiurile corespunzătoare triunghiurilor asemenea sunt egale. Laturile corespunzătoare triunghiurilor asemenea sunt proporționale. Se notează: △ABC∼△DEF

Criterii de asemănare a triunghiurilor • criteriul Unghi – Unghi Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă: - au două unghiuri corespunzătoare egale - al treilea este automat egal. Exemplu:

\widehat A = \widehat D

\widehat C = \widehat F

• criteriul Latură – Unghi – Latură Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă: - au un unghi cuprins egal - și laturile care formează unghiul sunt proporționale Exemplu:

\widehat A = \widehat D

\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}

• criteriul Latură – Latură – Latură Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă: - toate laturile corespunzătoare sunt proporționale Exemplu:

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}

Raportul dintre laturile corespunzătoare se numește raport de asemănare și se notează cu

k

k = \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}

Raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare:

\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}} = k

Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare:

\frac{A_{ABC}}{A_{DEF}} = k^2

De reținut pentru triunghiuri asemenea: • unghiurile corespunzătoare sunt egale • perimetrele sunt în raport k • ariile sunt în raport k² • înălțimile, medianele, bisectoarele sunt în raport k

«către 3.1

către 3.3»