Corpuri geometrice cu vârf
Test 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

În piramida triunghiulară regulată  VABCVABCVABC,  latura bazei este  AB=12AB = 12AB=12 cm  și apotema piramidei este  VM=8VM = 8VM=8 cm...  Calculați aria laterală a piramidei.

144

^2

288

^2

96

^2

120

^2

Exercițiul 2

În piramida triunghiulară regulată  VABCVABCVABC,  aria laterală este  Aℓ=108A_\ell = 108Aℓ​=108 cm2^22  și apotema piramidei este  VM=6VM = 6VM=6 cm...  Calculați lungimea laturii bazei  AB.AB.AB.

18

36

12

24

Exercițiul 3

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD,  aria bazei este  Ab=36A_b = 36Ab​=36 cm2^22  și volumul este  V=48V = 48V=48 cm3.^3.3.  Calculați înălțimea piramidei.

12

8

6

4

Exercițiul 4

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD,  latura bazei este  AB=10AB = 10AB=10 cm  și apotema piramidei este  VM=13VM = 13VM=13 cm...  Calculați înălțimea  VOVOVO  a piramidei.

12

11

8

10

Exercițiul 5

În piramida hexagonală regulată  VABCDEF,VABCDEF,VABCDEF,  latura bazei este  AB=6AB = 6AB=6 cm  și apotema piramidei este  VM=10VM = 10VM=10 cm...  Calculați aria laterală a piramidei.

360

^2

90

^2

180

^2

240

^2

Exercițiul 6

În piramida hexagonală regulată  VABCDEF,VABCDEF,VABCDEF,  aria bazei este  Ab=543 cm2A_b = 54\sqrt{3}\text{ cm}^2Ab​=543​ cm2  și înălțimea este  VO=10VO = 10VO=10 cm...  Calculați volumul piramidei.

180\sqrt{3}\text{ cm}^3

540\sqrt{3}\text{ cm}^3

270\sqrt{3}\text{ cm}^3

90\sqrt{3}\text{ cm}^3

Exercițiul 7

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  are lungimea laturii bazei mari  AB=10AB = 10AB=10 cm,,,  lungimea laturii bazei mici  A′B′=6A'B' = 6A′B′=6 cm  și apotema  MM′=4MM' = 4MM′=4 cm...  Calculați aria laterală a trunchiului de piramidă.

64

^2

128

^2

256

^2

160

^2

Exercițiul 8

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  are ariile bazelor  AB=64A_B = 64AB​=64 cm2^22  și  Ab=16A_b = 16Ab​=16 cm2,^2,2,  iar înălțimea este  OO′=6O{}O' = 6OO′=6 cm...  Calculați volumul trunchiului de piramidă.

112

^3

224

^3

448

^3

336

^3

Exercițiul 9

Într-un trunchi de piramidă triunghiulară regulată  ABCA′B′C′,ABCA'B'C',ABCA′B′C′,  ariile celor două baze sunt  AB=363 cm2A_B = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2AB​=363​ cm2  și  Ab=93 cm2,A_b = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2,Ab​=93​ cm2,  iar înălțimea este  OO′=6O{}O' = 6OO′=6 cm...  Calculați volumul trunchiului de piramidă.

270\sqrt{3}\text{ cm}^3

126\sqrt{3}\text{ cm}^3

63\sqrt{3}\text{ cm}^3

189\sqrt{3}\text{ cm}^3

Exercițiul 10

Într-un trunchi de piramidă triunghiulară regulată  ABCA′B′C′,ABCA'B'C',ABCA′B′C′,  latura bazei mari este  AB=8AB = 8AB=8 cm,,,  latura bazei mici este  A′B′=4A'B' = 4A′B′=4 cm  și apotema este  MM′=5MM' = 5MM′=5 cm...  Calculați aria laterală a trunchiului de piramidă.

180

^2

45

^2

60

^2

90

^2

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: a) $144$ cm $^2$

Explicație:{Pb=3⋅ABAB=12 cm⇒Pb=3⋅12=36 cm{Aℓ=Pb⋅ap2ap=VM=8 cm⇒Aℓ=36⋅82=144 cm2\begin{cases} P_b = 3 \cdot AB \\[6pt] AB = 12\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow P_b = 3 \cdot 12 = 36\text{ cm}\\[12pt]
\begin{cases} A_\ell = \frac{P_b \cdot a_p}{2} \\[6pt] a_p = VM = 8\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow A_\ell = \frac{36 \cdot 8}{2} = 144\text{ cm}^2⎩⎨⎧​Pb​=3⋅ABAB=12 cm​⇒Pb​=3⋅12=36 cm⎩⎨⎧​Aℓ​=2Pb​⋅ap​​ap​=VM=8 cm​⇒Aℓ​=236⋅8​=144 cm2

Exercițiul 2

Răspuns corect: c) $12$ cm

Explicație:{Aℓ=Pb⋅ap2Aℓ=108 cm2ap=6 cm⇒108=Pb⋅62⇒108=3⋅Pb⇒Pb=36 cm{Pb=3⋅ABPb=36 cm⇒AB=363=12 cm\begin{cases} A_\ell = \frac{P_b \cdot a_p}{2} \\[6pt] A_\ell = 108\text{ cm}^2 \\[6pt] a_p = 6\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow 108 = \frac{P_b \cdot 6}{2}  \\[6pt]
\Rightarrow 108 = 3 \cdot P_b \\[6pt]
\Rightarrow P_b = 36\text{ cm} \\[12pt]
\begin{cases} P_b = 3 \cdot AB \\[6pt] P_b = 36\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow AB = \frac{36}{3} = 12\text{ cm}⎩⎨⎧​Aℓ​=2Pb​⋅ap​​Aℓ​=108 cm2ap​=6 cm​⇒108=2Pb​⋅6​⇒108=3⋅Pb​⇒Pb​=36 cm⎩⎨⎧​Pb​=3⋅ABPb​=36 cm​⇒AB=336​=12 cm

Exercițiul 3

Răspuns corect: d) $4$ cm

Explicație:{V=Ab⋅h3V=48 cm3Ab=36 cm2⇒48=36⋅h3⇒48=12⋅h⇒h=4812=4 cm\begin{cases} V = \frac{A_b \cdot h}{3} \\[6pt] V = 48\text{ cm}^3 \\[6pt] A_b = 36\text{ cm}^2 \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow 48 = \frac{36 \cdot h}{3} \\[6pt]
\Rightarrow 48 = 12 \cdot h \\[6pt]
\Rightarrow h = \frac{48}{12} = 4\text{ cm}⎩⎨⎧​V=3Ab​⋅h​V=48 cm3Ab​=36 cm2​⇒48=336⋅h​⇒48=12⋅h⇒h=1248​=4 cm

Exercițiul 4

Răspuns corect: a) $12$ cm

Explicație:Calculăm apotema bazei  MOMOMO  în funcție de latura pătratului:
{MO=AB2AB=10 cm⇒MO=5 cm\begin{cases} MO = \frac{AB}{2} \\[6pt] AB = 10\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow MO = 5\text{ cm}⎩⎨⎧​MO=2AB​AB=10 cm​⇒MO=5 cm

În  △VOM (O^=90∘),\triangle VOM \ (\hat{O} = 90^\circ),△VOM (O^=90∘),  aplicăm Teorema lui Pitagora:
{VO=VM2−OM2VM=13 cm, OM=5 cm⇒VO=132−52⇒VO=169−25⇒VO=144=12 cm\begin{cases}  VO = \sqrt{VM^2 - OM^2} \\[6pt] VM = 13\text{ cm}, \ OM = 5\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow VO = \sqrt{13^2 - 5^2} \\[6pt]
\Rightarrow VO = \sqrt{169 - 25} \\[6pt]
\Rightarrow VO = \sqrt{144} = 12\text{ cm}⎩⎨⎧​VO=VM2−OM2​VM=13 cm, OM=5 cm​⇒VO=132−52​⇒VO=169−25​⇒VO=144​=12 cm

Exercițiul 5

Răspuns corect: c) $180$ cm $^2$

Explicație:{Pb=6⋅ABAB=6 cm⇒Pb=6⋅6=36 cm{Aℓ=Pb⋅ap2ap=VM=10 cm⇒Aℓ=36⋅102=180 cm2\begin{cases} P_b = 6 \cdot AB \\[6pt] AB = 6\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow P_b = 6 \cdot 6 = 36\text{ cm}\\[12pt]
\begin{cases} A_\ell = \frac{P_b \cdot a_p}{2} \\[6pt] a_p = VM = 10\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow A_\ell = \frac{36 \cdot 10}{2} = 180\text{ cm}^2⎩⎨⎧​Pb​=6⋅ABAB=6 cm​⇒Pb​=6⋅6=36 cm⎩⎨⎧​Aℓ​=2Pb​⋅ap​​ap​=VM=10 cm​⇒Aℓ​=236⋅10​=180 cm2

Exercițiul 6

Răspuns corect: a) $180\sqrt{3}\text{ cm}^3$

Explicație:{V=Ab⋅h3Ab=543 cm2h=VO=10 cm⇒V=543⋅103⇒V=183⋅10⇒V=1803 cm3\begin{cases} V = \frac{A_b \cdot h}{3} \\[6pt] A_b = 54\sqrt{3}\text{ cm}^2 \\[6pt] h = VO = 10\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow V = \frac{54\sqrt{3} \cdot 10}{3} \\[6pt]
\Rightarrow V = 18\sqrt{3} \cdot 10 \\[6pt]
\Rightarrow V = 180\sqrt{3}\text{ cm}^3⎩⎨⎧​V=3Ab​⋅h​Ab​=543​ cm2h=VO=10 cm​⇒V=3543​⋅10​⇒V=183​⋅10⇒V=1803​ cm3

Exercițiul 7

Răspuns corect: b) $128$ cm $^2$

Explicație:{PB=4⋅10=40 cmPb=4⋅6=24 cm{Aℓ=(PB+Pb)⋅ap2ap=MM′=4 cm⇒Aℓ=(40+24)⋅42⇒Aℓ=64⋅42=128 cm2\begin{cases} P_B = 4 \cdot 10 = 40\text{ cm} \\[6pt] P_b = 4 \cdot 6 = 24\text{ cm} \end{cases} \\[12pt]
\begin{cases} A_\ell = \frac{(P_B + P_b) \cdot a_p}{2} \\[6pt] a_p = MM' = 4\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow A_\ell = \frac{(40 + 24) \cdot 4}{2} \\[6pt]
\Rightarrow A_\ell = \frac{64 \cdot 4}{2} = 128\text{ cm}^2⎩⎨⎧​PB​=4⋅10=40 cmPb​=4⋅6=24 cm​⎩⎨⎧​Aℓ​=2(PB​+Pb​)⋅ap​​ap​=MM′=4 cm​⇒Aℓ​=2(40+24)⋅4​⇒Aℓ​=264⋅4​=128 cm2

Exercițiul 8

Răspuns corect: b) $224$ cm $^3$

Explicație:AB⋅Ab=64⋅16=32 cm2{V=h3(AB+Ab+AB⋅Ab)h=6 cm⇒V=63(64+16+32)⇒V=2⋅112=224 cm3\sqrt{A_B \cdot A_b} = \sqrt{64 \cdot 16} = 32\text{ cm}^2 \\[12pt]
\begin{cases} V = \frac{h}{3}(A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b}) \\[6pt] h = 6\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow V = \frac{6}{3}(64 + 16 + 32) \\[6pt]
\Rightarrow V = 2 \cdot 112 = 224\text{ cm}^3AB​⋅Ab​​=64⋅16​=32 cm2⎩⎨⎧​V=3h​(AB​+Ab​+AB​⋅Ab​​)h=6 cm​⇒V=36​(64+16+32)⇒V=2⋅112=224 cm3

Exercițiul 9

Răspuns corect: b) $126\sqrt{3}\text{ cm}^3$

Explicație:AB⋅Ab=363⋅93AB⋅Ab=183 cm2{V=h3(AB+Ab+AB⋅Ab)h=6 cm⇒V=63(363+93+183)⇒V=2⋅633=1263 cm3\sqrt{A_B \cdot A_b} = \sqrt{36\sqrt{3} \cdot 9\sqrt{3}} \\[6pt]
\sqrt{A_B \cdot A_b} =  18\sqrt{3}\text{ cm}^2 \\[12pt]
\begin{cases} V = \frac{h}{3}(A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b}) \\[6pt] h = 6\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow V = \frac{6}{3}(36\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 18\sqrt{3}) \\[6pt]
\Rightarrow V = 2 \cdot 63\sqrt{3} = 126\sqrt{3}\text{ cm}^3AB​⋅Ab​​=363​⋅93​​AB​⋅Ab​​=183​ cm2⎩⎨⎧​V=3h​(AB​+Ab​+AB​⋅Ab​​)h=6 cm​⇒V=36​(363​+93​+183​)⇒V=2⋅633​=1263​ cm3

Exercițiul 10

Răspuns corect: d) $90$ cm $^2$

Explicație:{PB=3⋅8=24 cmPb=3⋅4=12 cm{Aℓ=(PB+Pb)⋅ap2ap=MM′=5 cm⇒Aℓ=(24+12)⋅52⇒Aℓ=36⋅52⇒Aℓ=18⋅5=90 cm2\begin{cases} P_B = 3 \cdot 8 = 24\text{ cm} \\[6pt] P_b = 3 \cdot 4 = 12\text{ cm} \end{cases} \\[12pt]
\begin{cases} A_\ell = \frac{(P_B + P_b) \cdot a_p}{2} \\[6pt] a_p = MM' = 5\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow A_\ell = \frac{(24 + 12) \cdot 5}{2} \\[6pt]
\Rightarrow A_\ell = \frac{36 \cdot 5}{2} \\[6pt]
\Rightarrow A_\ell = 18 \cdot 5 = 90\text{ cm}^2⎩⎨⎧​PB​=3⋅8=24 cmPb​=3⋅4=12 cm​⎩⎨⎧​Aℓ​=2(PB​+Pb​)⋅ap​​ap​=MM′=5 cm​⇒Aℓ​=2(24+12)⋅5​⇒Aℓ​=236⋅5​⇒Aℓ​=18⋅5=90 cm2

Test 1

Corpuri geometrice cu vârf

Exercițiul 1

În piramida triunghiulară regulată  VABCVABCVABC,  latura bazei este  AB=12AB = 12AB=12 cm  și apotema piramidei este  VM=8VM = 8VM=8 cm...  Calculați aria laterală a piramidei.

Exercițiul 2

În piramida triunghiulară regulată  VABCVABCVABC,  aria laterală este  Aℓ=108A_\ell = 108Aℓ​=108 cm2^22  și apotema piramidei este  VM=6VM = 6VM=6 cm...  Calculați lungimea laturii bazei  AB.AB.AB.

Exercițiul 3

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD,  aria bazei este  Ab=36A_b = 36Ab​=36 cm2^22  și volumul este  V=48V = 48V=48 cm3.^3.3.  Calculați înălțimea piramidei.

Exercițiul 4

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD,  latura bazei este  AB=10AB = 10AB=10 cm  și apotema piramidei este  VM=13VM = 13VM=13 cm...  Calculați înălțimea  VOVOVO  a piramidei.

Exercițiul 5

În piramida hexagonală regulată  VABCDEF,VABCDEF,VABCDEF,  latura bazei este  AB=6AB = 6AB=6 cm  și apotema piramidei este  VM=10VM = 10VM=10 cm...  Calculați aria laterală a piramidei.

Exercițiul 6

În piramida hexagonală regulată  VABCDEF,VABCDEF,VABCDEF,  aria bazei este  Ab=543 cm2A_b = 54\sqrt{3}\text{ cm}^2Ab​=543​ cm2  și înălțimea este  VO=10VO = 10VO=10 cm...  Calculați volumul piramidei.

Exercițiul 7

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  are lungimea laturii bazei mari  AB=10AB = 10AB=10 cm,,,  lungimea laturii bazei mici  A′B′=6A'B' = 6A′B′=6 cm  și apotema  MM′=4MM' = 4MM′=4 cm...  Calculați aria laterală a trunchiului de piramidă.

Exercițiul 8

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  are ariile bazelor  AB=64A_B = 64AB​=64 cm2^22  și  Ab=16A_b = 16Ab​=16 cm2,^2,2,  iar înălțimea este  OO′=6O{}O' = 6OO′=6 cm...  Calculați volumul trunchiului de piramidă.

Exercițiul 9

Într-un trunchi de piramidă triunghiulară regulată  ABCA′B′C′,ABCA'B'C',ABCA′B′C′,  ariile celor două baze sunt  AB=363 cm2A_B = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2AB​=363​ cm2  și  Ab=93 cm2,A_b = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2,Ab​=93​ cm2,  iar înălțimea este  OO′=6O{}O' = 6OO′=6 cm...  Calculați volumul trunchiului de piramidă.

Exercițiul 10

Într-un trunchi de piramidă triunghiulară regulată  ABCA′B′C′,ABCA'B'C',ABCA′B′C′,  latura bazei mari este  AB=8AB = 8AB=8 cm,,,  latura bazei mici este  A′B′=4A'B' = 4A′B′=4 cm  și apotema este  MM′=5MM' = 5MM′=5 cm...  Calculați aria laterală a trunchiului de piramidă.

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Corpuri geometrice cu vârfTest 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 1

Corpuri geometrice cu vârf
Test 1