Corpuri geometrice fără vârf
Test 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

În prisma triunghiulară regulată  ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′,  latura bazei este  AB=6AB = 6AB=6 cm  și înălțimea prismei este  AA′=10AA' = 10AA′=10 cm...  Calculați volumul prismei.

60\sqrt{3}\text{ cm}^3

90\sqrt{3}\text{ cm}^3

45\sqrt{3}\text{ cm}^3

180

^3

Exercițiul 2

În prisma triunghiulară regulată  ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′,  aria laterală este  Aℓ=144A_\ell = 144Aℓ​=144 cm2^22  și înălțimea prismei este  AA′=8AA' = 8AA′=8 cm...  Calculați lungimea laturii bazei.

12

4

18

6

Exercițiul 3

În prisma patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′,  aria laterală este  Aℓ=160A_\ell = 160Aℓ​=160 cm2^22  și înălțimea  AA′=10AA' = 10AA′=10 cm...  Calculați aria totală a prismei.

192

^2

200

^2

240

^2

176

^2

Exercițiul 4

În prisma patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′,  latura bazei este  AB=6AB = 6AB=6 cm  și volumul prismei este  V=432V = 432V=432 cm3.^3.3.  Calculați înălțimea prismei.

10

12

14

16

Exercițiul 5

În prisma hexagonală regulată latura bazei este  444 cm  și înălțimea  555 cm...  Calculați volumul prismei.

60\sqrt{3}\text{ cm}^3

240\sqrt{3}\text{ cm}^3

120\sqrt{3}\text{ cm}^3

120

^2

Exercițiul 6

În prisma hexagonală regulată latura bazei este  333 cm  și înălțimea  101010 cm...  Calculați aria laterală a prismei.

120

^2

270

^2

90

^2

180

^2

Exercițiul 7

Un paralelipiped dreptunghic  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  are dimensiunile  AB=8AB = 8AB=8 cm, BC=5,\, BC = 5,BC=5 cm  și  AA′=3AA' = 3AA′=3 cm.  Calculați aria totală a acestuia.

79

^2

158

^2

118

^2

120

^2

Exercițiul 8

Un paralelipiped dreptunghic  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  are dimensiunile  AB=4AB = 4AB=4 cm,  BC=3BC = 3BC=3 cm  și înălțimea  AA′=12AA' = 12AA′=12 cm.  Calculați lungimea diagonalei paralelipipedului.

13

\sqrt{153}\text{ cm}

16

15

Exercițiul 9

Dacă volumul unui cub este egal cu  125125125 cm3,^3,3,  calculați aria laterală a cubului.

100

^2

125

^2

25

^2

150

^2

Exercițiul 10

Un cub  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  are diagonala egală cu  d=63 cm.d = 6\sqrt{3}\text{ cm}.d=63​ cm.  Calculați aria totală a cubului.

72

^2

180

^2

216

^2

144

^2

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: b) $90\sqrt{3}\text{ cm}^3$

Explicație:Aflăm mai întâi aria bazei (triunghi echilateral), apoi volumul prismei.
{Ab=ℓ234ℓ=6 cm⇒Ab=3634=93 cm2{V=Ab⋅hh=10 cm⇒V=93⋅10=903 cm3\begin{cases} A_b = \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4} \\[6pt] \ell = 6\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow A_b = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2\\[12pt]
\begin{cases} V = A_b \cdot h \\[6pt] h = 10\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow V = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3}\text{ cm}^3⎩⎨⎧​Ab​=4ℓ23​​ℓ=6 cm​⇒Ab​=4363​​=93​ cm2⎩⎨⎧​V=Ab​⋅hh=10 cm​⇒V=93​⋅10=903​ cm3

Exercițiul 2

Răspuns corect: d) $6$ cm

Explicație:Pornim de la formula ariei laterale pentru a determina mai întâi perimetrul bazei, apoi latura.
{Aℓ=Pb⋅hAℓ=144 cm2, h=8 cm⇒Pb=1448=18 cm{Pb=3⋅ℓ⇒ℓ=183=6 cm\begin{cases} A_\ell = P_b \cdot h \\[6pt] A_\ell = 144\text{ cm}^2, \ h = 8\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow P_b = \frac{144}{8} = 18\text{ cm}\\[12pt]
\begin{cases} P_b = 3 \cdot \ell \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow \ell = \frac{18}{3} = 6\text{ cm}⎩⎨⎧​Aℓ​=Pb​⋅hAℓ​=144 cm2, h=8 cm​⇒Pb​=8144​=18 cm{Pb​=3⋅ℓ​⇒ℓ=318​=6 cm

Exercițiul 3

Răspuns corect: a) $192$ cm $^2$

Explicație:Aflăm mai întâi latura bazei din aria laterală, apoi calculăm aria totală.
{Aℓ=Pb⋅hh=10 cm⇒Pb=16010=16 cm⇒ℓb=4 cm{Ab=ℓb2=16 cm2At=Aℓ+2Ab⇒At=160+32=192 cm2\begin{cases} A_\ell = P_b \cdot h \\[6pt] h = 10\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow P_b = \frac{160}{10} = 16\text{ cm} \Rightarrow \ell_b = 4\text{ cm}\\[12pt]
\begin{cases} A_b = \ell_b^2 = 16\text{ cm}^2 \\[6pt] A_t = A_\ell + 2A_b \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow A_t = 160 + 32 = 192\text{ cm}^2⎩⎨⎧​Aℓ​=Pb​⋅hh=10 cm​⇒Pb​=10160​=16 cm⇒ℓb​=4 cm⎩⎨⎧​Ab​=ℓb2​=16 cm2At​=Aℓ​+2Ab​​⇒At​=160+32=192 cm2

Exercițiul 4

Răspuns corect: b) $12$ cm

Explicație:Calculăm mai întâi aria bazei pătratice, apoi folosim formula volumului pentru a afla înălțimea.
{Ab=ℓ2ℓ=6 cm⇒Ab=62=36 cm2{V=Ab⋅hV=432 cm3⇒h=43236=12 cm\begin{cases} A_b = \ell^2 \\[6pt] \ell = 6\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow A_b = 6^2 = 36\text{ cm}^2\\[12pt]
\begin{cases} V = A_b \cdot h \\[6pt] V = 432\text{ cm}^3 \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow h = \frac{432}{36} = 12\text{ cm}⎩⎨⎧​Ab​=ℓ2ℓ=6 cm​⇒Ab​=62=36 cm2⎩⎨⎧​V=Ab​⋅hV=432 cm3​⇒h=36432​=12 cm

Exercițiul 5

Răspuns corect: c) $120\sqrt{3}\text{ cm}^3$

Explicație:Aria bazei este formată din 6 triunghiuri echilaterale congruente.
{Ab=6⋅ℓ234ℓ=4 cm⇒Ab=6⋅1634=243 cm2{V=Ab⋅hh=5 cm⇒V=243⋅5=1203 cm3\begin{cases} A_b = 6 \cdot \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4} \\[6pt] \ell = 4\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow A_b = 6 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}\text{ cm}^2\\[12pt]
\begin{cases} V = A_b \cdot h \\[6pt] h = 5\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow V = 24\sqrt{3} \cdot 5 = 120\sqrt{3}\text{ cm}^3⎩⎨⎧​Ab​=6⋅4ℓ23​​ℓ=4 cm​⇒Ab​=6⋅4163​​=243​ cm2⎩⎨⎧​V=Ab​⋅hh=5 cm​⇒V=243​⋅5=1203​ cm3

Exercițiul 6

Răspuns corect: d) $180$ cm $^2$

Explicație:Aria laterală este produsul dintre perimetrul bazei (hexagon regulat cu 6 laturi) și înălțime.
{Pb=6⋅ℓℓ=3 cm⇒Pb=6⋅3=18 cm{Aℓ=Pb⋅hh=10 cm⇒Aℓ=18⋅10=180 cm2\begin{cases} P_b = 6 \cdot \ell \\[6pt] \ell = 3\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow P_b = 6 \cdot 3 = 18\text{ cm}\\[12pt]
\begin{cases} A_\ell = P_b \cdot h \\[6pt] h = 10\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow A_\ell = 18 \cdot 10 = 180\text{ cm}^2⎩⎨⎧​Pb​=6⋅ℓℓ=3 cm​⇒Pb​=6⋅3=18 cm⎩⎨⎧​Aℓ​=Pb​⋅hh=10 cm​⇒Aℓ​=18⋅10=180 cm2

Exercițiul 7

Răspuns corect: b) $158$ cm $^2$

Explicație:Aplicăm formula ariei totale pentru paralelipipedul dreptunghic.
{At=2(ab+ac+bc)a=8, b=5, c=3⇒At=2(8⋅5+8⋅3+5⋅3)⇒At=2(40+24+15)⇒At=2⋅79=158 cm2\begin{cases} A_t = 2(ab + ac + bc) \\[6pt] a = 8,\ b = 5,\ c = 3 \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow A_t = 2(8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 + 5 \cdot 3)\\[6pt]
\Rightarrow A_t = 2(40 + 24 + 15)\\[6pt]
\Rightarrow A_t = 2 \cdot 79 = 158\text{ cm}^2⎩⎨⎧​At​=2(ab+ac+bc)a=8, b=5, c=3​⇒At​=2(8⋅5+8⋅3+5⋅3)⇒At​=2(40+24+15)⇒At​=2⋅79=158 cm2

Exercițiul 8

Răspuns corect: a) $13$ cm

Explicație:Calculăm lungimea diagonalei paralelipipedului folosind formula:
d=a2+b2+c2{AC′=AB2+BC2+AA′2AB=4, BC=3, AA′=12⇒AC′=42+32+122⇒AC′=16+9+144⇒AC′=169=13 cmd = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\[12pt]
\begin{cases} AC' = \sqrt{AB^2 + BC^2 + AA'^2} \\[6pt] AB = 4,\ BC = 3,\ AA' = 12 \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow AC' = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2}\\[6pt]
\Rightarrow AC' = \sqrt{16 + 9 + 144}\\[6pt]
\Rightarrow AC' = \sqrt{169} = 13\text{ cm}d=a2+b2+c2​⎩⎨⎧​AC′=AB2+BC2+AA′2​AB=4, BC=3, AA′=12​⇒AC′=42+32+122​⇒AC′=16+9+144​⇒AC′=169​=13 cm

Exercițiul 9

Răspuns corect: a) $100$ cm $^2$

Explicație:Determinăm mai întâi muchia cubului din volum, apoi aria laterală.
{V=ℓ3V=125 cm3⇒ℓ=1253=5 cm{Aℓ=4ℓ2ℓ=5 cm⇒Aℓ=4⋅52=100 cm2\begin{cases} V = \ell^3 \\[6pt] V = 125\text{ cm}^3 \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow \ell = \sqrt[3]{125} = 5\text{ cm}\\[12pt]
\begin{cases} A_\ell = 4\ell^2 \\[6pt] \ell = 5\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow A_\ell = 4 \cdot 5^2 = 100\text{ cm}^2⎩⎨⎧​V=ℓ3V=125 cm3​⇒ℓ=3125​=5 cm⎩⎨⎧​Aℓ​=4ℓ2ℓ=5 cm​⇒Aℓ​=4⋅52=100 cm2

Exercițiul 10

Răspuns corect: c) $216$ cm $^2$

Explicație:Determinăm mai întâi muchia cubului din formula diagonalei, apoi calculăm aria totală.
{d=ℓ3d=63 cm⇒ℓ3=63⇒ℓ=6 cm{At=6ℓ2ℓ=6 cm⇒At=6⋅62=6⋅36=216 cm2\begin{cases} d = \ell\sqrt{3} \\[6pt] d = 6\sqrt{3}\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow \ell\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \Rightarrow \ell = 6\text{ cm}\\[12pt]
\begin{cases} A_t = 6\ell^2 \\[6pt] \ell = 6\text{ cm} \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow A_t = 6 \cdot 6^2 = 6 \cdot 36 = 216\text{ cm}^2⎩⎨⎧​d=ℓ3​d=63​ cm​⇒ℓ3​=63​⇒ℓ=6 cm⎩⎨⎧​At​=6ℓ2ℓ=6 cm​⇒At​=6⋅62=6⋅36=216 cm2

Test 1

Corpuri geometrice fără vârf

Exercițiul 1

În prisma triunghiulară regulată  ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′,  latura bazei este  AB=6AB = 6AB=6 cm  și înălțimea prismei este  AA′=10AA' = 10AA′=10 cm...  Calculați volumul prismei.

Exercițiul 2

În prisma triunghiulară regulată  ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′,  aria laterală este  Aℓ=144A_\ell = 144Aℓ​=144 cm2^22  și înălțimea prismei este  AA′=8AA' = 8AA′=8 cm...  Calculați lungimea laturii bazei.

Exercițiul 3

În prisma patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′,  aria laterală este  Aℓ=160A_\ell = 160Aℓ​=160 cm2^22  și înălțimea  AA′=10AA' = 10AA′=10 cm...  Calculați aria totală a prismei.

Exercițiul 4

În prisma patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′,  latura bazei este  AB=6AB = 6AB=6 cm  și volumul prismei este  V=432V = 432V=432 cm3.^3.3.  Calculați înălțimea prismei.

Exercițiul 5

În prisma hexagonală regulată latura bazei este  444 cm  și înălțimea  555 cm...  Calculați volumul prismei.

Exercițiul 6

În prisma hexagonală regulată latura bazei este  333 cm  și înălțimea  101010 cm...  Calculați aria laterală a prismei.

Exercițiul 7

Un paralelipiped dreptunghic  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  are dimensiunile  AB=8AB = 8AB=8 cm, BC=5,\, BC = 5,BC=5 cm  și  AA′=3AA' = 3AA′=3 cm.  Calculați aria totală a acestuia.

Exercițiul 8

Un paralelipiped dreptunghic  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  are dimensiunile  AB=4AB = 4AB=4 cm,  BC=3BC = 3BC=3 cm  și înălțimea  AA′=12AA' = 12AA′=12 cm.  Calculați lungimea diagonalei paralelipipedului.

Exercițiul 9

Dacă volumul unui cub este egal cu  125125125 cm3,^3,3,  calculați aria laterală a cubului.

Exercițiul 10

Un cub  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  are diagonala egală cu  d=63 cm.d = 6\sqrt{3}\text{ cm}.d=63​ cm.  Calculați aria totală a cubului.

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Corpuri geometrice fără vârfTest 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 1

Corpuri geometrice fără vârf
Test 1