Corpuri geometrice

8.1 Corpuri geometrice fără vârf a. Prismă triunghiulară regulată Are:    • bazele triunghiuri echilaterale    • fețele laterale dreptunghiuri Notații:    • $AB,AC,BC$    - laturile bazei    • $AA',BB',CC'$ - înălțimile prismei (muchiile laterale) Aria laterală: $A_\ell=P_b \cdot h$ Aria totală:    $A_t=A_\ell+2A_b$ Volumul:        $V=A_b \cdot h$ unde: $A_\ell$ = aria laterală $A_b$ = aria bazei $A_t$ = aria totală $P_b$ = perimetrul bazei $h$   = înălțimea prismei $V$   = volumul

b. Prismă patrulateră regulată Are:    • bazele pătrate    • fețele laterale dreptunghiuri Notații:    • $AB,AC,CD, AD$      - laturile bazei    • $AA',BB',CC',DD'$  - înălțimile prismei (muchiile laterale) Aria laterală: $A_\ell=P_b \cdot h$ Aria totală:    $A_t=A_\ell+2A_b$ Volumul:        $V=A_b \cdot h$ unde: $A_\ell$ = aria laterală $A_b$ = aria bazei $A_t$ = aria totală $P_b$ = perimetrul bazei $h$   = înălțimea prismei $V$   = volumul

c. Prismă hexagonală regulată Are:    • bazele hexagoane regulate    • fețele laterale dreptunghiuri Hexagonul regulat este un poligon regulat convex cu șase laturi egale. Un hexagon regulat este format din 6 triunghiuri echilaterale congruente. Notații:    • $AB,BC,CD,DE,EF,FA$        - laturile bazei    • $AA',BB',CC',DD',EE',FF'$  - înălțimile prismei (muchiile laterale) Aria laterală: $A_\ell=P_b \cdot h$ Aria totală:    $A_t=A_\ell+2A_b$ Volumul:        $V=A_b \cdot h$ unde: $A_\ell$ = aria laterală $A_b$ = aria bazei $A_t$ = aria totală $P_b$ = perimetrul bazei $h$   = înălțimea prismei $V$   = volumul

d. Paralelipipedul dreptunghic Are:    • toate fețele dreptunghiuri    • fețele opuse paralele și congruente Notații:    • $AB,CD$        - lungimile bazei (a)    • $BC,AD$        - lățimile bazei (b)    • $AA',BB',CC',DD'$  - înălțimile (c) Aria laterală:  $A_\ell=2(ac+bc)$ Aria totală:     $A_t=2(ab+ac+bc)$ Volumul:         $V=a \cdot b \cdot c$ unde: $A_\ell$ = aria laterală $A_t$ = aria totală $h$   = înălțimea $V$  = volumul $a$ = lungimea $b$ = lățimea $c$ = înălțimea

e. Cubul Are:    • 6 fețe pătrate egale    • toate muchiile egale egale Notații:    • $AB,BC,CD,AD$      - laturile bazei    • $AA',BB',CC',DD'$  - înălțimile (muchiile laterale) Cubul este un paralelipiped dreptunghic special, la care: $AB=BC=CD=AD=AA'$ Aria laterală:  $A_\ell=4\ell^2$ Aria totală:     $A_t=6\ell^2$ Volumul:         $V=\ell^3$ unde: $A_\ell$ = aria laterală $A_t$ = aria totală $V$  = volumul $\ell$ = latura cubului

8.2 Corpuri geometrice cu vârf a. Piramidă triunghiulară regulată Are:    • baza triunghi echilateral    • fețele laterale triunghiuri isoscele congruente Notații:    • $AB,BC,CA$ – laturile bazei    • $VA,VB,VC$ – muchiile laterale    • $VO= h$     – înălțimea piramidei    • $VM=a_p$  – apotema piramidei Aria laterală:  $A_\ell=\frac{P_b⋅a_p}2$ Aria totală:     $A_t=A_\ell+A_b$ Volumul:         $V=\frac{A_b ⋅ h}3$  

b. Piramidă patrulateră regulată Are:    • baza pătrat    • fețele laterale triunghiuri isoscele congruente Notații:    • $AB,BC,CD,AD$ – laturile bazei    • $VA,VB,VC,VD$ – muchiile laterale    • $VO=h$   – înălțimea piramidei    • $VM=a_p$ – apotema piramidei Aria laterală:  $A_\ell=\frac{P_b⋅a_p}2$ Aria totală:     $A_t=A_\ell+A_b$ Volumul:         $V=\frac{A_b ⋅ h}3$  

c. Piramidă hexagonală regulată Are:    • baza hexagon regulat    • fețele laterale triunghiuri isoscele congruente Hexagonul regulat este format din 6 triunghiuri echilaterale congruente. Notații:    • $AB,BC,CD,DE,EF,FA$ – laturile bazei    • $VA,VB,VC,VD,VD,VE$ – muchiile laterale    • $VO=h$   – înălțimea piramidei    • $VM=a_p$ – apotema piramidei Aria laterală:  $A_\ell=\frac{P_b⋅a_p}2$ Aria totală:     $A_t=A_\ell+A_b$ Volumul:         $V=\frac{A_b ⋅ h}3$  

d. Trunchi de piramidă triunghiulară regulată Are:    • bazele triunghiuri echilaterale    • fețele laterale trapeze isoscele congruente Notații:    • $ABC$ – baza mare    • $A'B'C'$ – baza mare    • $O{}O' =h$    – înălțimea trunchiului    • $MM'=a_p$ – apotema trunchiului Aria laterală:   $A_\ell=\frac{(P_{B}+P_{b})⋅a_p}2$ Aria totală:     $A_t=A_\ell+A_{B}+A_{b}$ Volumul:         $V=\frac{h}3 \cdot (A_B+A_b+ \sqrt{A_B \cdot A_b })$

e. Trunchi de piramidă patrulateră regulată Are:    • bazele pătrate    • fețele laterale trapeze isoscele congruente Notații:    • $ABCD$ – baza mare    • $A'B'C'D'$ – baza mare    • $O{}O' =h$    – înălțimea trunchiului    • $MM'=a_p$ – apotema trunchiului Aria laterală:    $A_\ell=\frac{(P_{B}+P_{b})⋅a_p}2$ Aria totală:      $A_t=A_\ell+A_{B}+A_{b}$ Volumul:         $V=\frac{h}3 \cdot (A_B+A_b+ \sqrt{A_B \cdot A_b })$

f. Trunchi de piramidă hexagonală regulată Are:    • bazele hexagoane regulate    • fețele laterale trapeze isoscele congruente Notații:    • 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹   – baza mare    • 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′ – baza mare    • OO' = h – înălțimea trunchiului    • MM' = ap – apotema trunchiului Aria laterală:   $A_\ell=\frac{(P_{B}+P_{b})⋅a_p}2$ Aria totală:     $A_t=A_\ell+A_{B}+A_{b}$ Volumul:         $V=\frac{h}3 \cdot (A_B+A_b+ \sqrt{A_B \cdot A_b })$

8.3 Corpuri geometrice rotunde Corpurile rotunde se obțin prin rotirea unei figuri plane în jurul unei drepte și au suprafețe curbate, spre deosebire de corpurile studiate anterior, care au fețe plane (poligoane). Legătura cu corpurile prezentate anterior Corp poliedric $\rightarrow$ Corp rotund       Prismă                      Cilindru       Piramidă                        Con       Trunchi de piramidă      Trunchi de con a. Cilindrul circular drept (analog cu prisma) Cilindrul se obține prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale. Are:    • bazele cercuri congruente    • o suprafață laterală curbată    • nu are vârfuri Notații:    • $R$ – raza bazei    • $h$ – înălțimea cilindrului Aria laterală:    $A_\ell=P_b \cdot h=2πR \cdot h$ Aria totală:      $A_t=A_\ell+2A_b=2πRh+2πR^2$ Volumul:          $V=A_b \cdot h= πR^2⋅h$

b. Conul circular drept (analog cu piramida) Conul se obține prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul uneia dintre catete. Are:    • o bază cerc    • o suprafață laterală curbată    • un vârf Notații:    • $R$ – raza bazei    • $h$ – înălțimea conului    • $g$ – generatoarea conului Aria laterală:    $A_\ell=\frac{P_b⋅a_p}2=πRg$ Aria totală:     $A_t=A_\ell+A_b=πRg+πR^2$ Volumul:          $V=\frac{A_b ⋅ h}3= \frac{1}3 ​πR^2⋅h$

c. Trunchiul de con circular drept (analog cu trunchiul de piramidă) Trunchiul de con se obține prin secționarea conului cu un plan paralel cu baza. Are:    • două baze cercuri concentrice    • o suprafață laterală curbată    • nu are vârf Notații: • 𝑅 – raza bazei mari • 𝑟  – raza bazei mici • $h$ – înălțimea trunchiului • $g$ – generatoarea trunchiului Aria laterală:    $A_\ell=\frac{(P_{B}+P_{b})⋅a_p}2$$=π(R+r)g$ Aria totală:      $A_t=A_\ell+A_{B}+A_{b}$ $A_t=π(R+r)g+πR^2+πr^2$ Volumul:          $V = \frac{h}{3} \cdot (A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b})$ $V = \frac{h}{3} \cdot \pi (R^2 + r^2 + R r)$

d. Sfera: descriere, aria, volumul Sfera este corpul rotund format din totalitatea punctelor din spațiu aflate la aceeași distanță de un punct fix numit centru. Această distanță se numește raza sferei. Elementele sferei:    • $O$ – centrul sferei    • $R$ – raza sferei    • $D=2R$ – diametrul sferei Sfera nu are:    • fețe plane    • muchii    • vârfuri Suprafața sferei este complet curbată. Aria sferei:          $A=4πR^2$ Volumul sferei:   $V=\frac{4}3 πR^3$