Distanța în geometria spațială
Test 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  cu  AB=4AB = 4AB=4 cm  și  AA′=BC=3AA'=BC = 3AA′=BC=3 cm,,,  calculați distanța de la punctul  A′A'A′  la dreapta  BC.BC.BC.

4

2\sqrt{5}\text{ cm}

5

3

Exercițiul 2

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD  cu latura bazei  AB=6AB = 6AB=6 cm  și înălțimea  VO=4VO = 4VO=4 cm,,,  calculați distanța de la vârful  VVV  la dreapta  BC.BC.BC.

5

3

4

3\sqrt{2}\text{ cm}

Exercițiul 3

Fie  VVV  un punct exterior planului dreptunghilui  ABCDABCDABCD  astfel încât  VA⊥(ABC).VA \perp (ABC).VA⊥(ABC).  Dacă  AB=6AB = 6AB=6 cm,,,  AD=8AD = 8AD=8 cm  și  VA=10VA = 10VA=10 cm,,,  calculați distanța de la punctul  VVV  la  CD.CD.CD.

6\sqrt{2}\text{ cm}

2\sqrt{41}\text{ cm}

10

10\sqrt{2}\text{ cm}

Exercițiul 4

În cubul  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  cu latura  AB=6AB = 6AB=6 cm,  calculați distanța de la punctul  A′A'A′  la  BD.BD.BD.

3\sqrt{2}\text{ cm}

3\sqrt{6}\text{ cm}

6

6\sqrt{2}\text{ cm}

Exercițiul 5

În prisma patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  cu latura bazei  AB=5AB = 5AB=5 cm  și înălțimea  AA′=12AA' = 12AA′=12 cm,,,  calculați distanța de la punctul  A′A'A′  la muchia bazei  BCBCBC.

\sqrt{119}\text{ cm}

12

5

13

Exercițiul 6

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD  cu  VA=AB=12VA = AB = 12VA=AB=12 cm,  calculați distanța de la vârful  VVV  la muchia bazei  BC.BC.BC. 

6\sqrt{2}\text{ cm}

6\sqrt{3}\text{ cm}

6

12

Exercițiul 7

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  cu  AA′=12AA' = 12AA′=12 cm,,,  AB=6AB = 6AB=6 cm  și  AD=5AD = 5AD=5 cm,  calculați distanța de la punctul  A′A'A′  la dreapta  CDCDCD.

5

\sqrt{119}\text{ cm}

13

12

Exercițiul 8

Se consideră un triunghi echilateral  ABCABCABC  și un punct  MMM  exterior planului său, astfel încât  MA⊥(ABC).MA \perp (ABC).MA⊥(ABC).  Dacă  NNN  este mijlocul laturii  BC,BC,BC,  ce putem spune despre relația dintre dreptele  MNM{}NMN  și  BCBCBC?

a) formează un unghi de

45^\circ

b) sunt paralele

c) formează un unghi de

30^\circ

d) sunt perpendiculare

Exercițiul 9

Se consideră un pătrat  ABCDABCDABCD  și un punct  PPP  exterior planului său, astfel încât  PA⊥(ABC).PA \perp (ABC).PA⊥(ABC).  Notăm cu  OOO  punctul de intersecție a diagonalelor pătratului. Care este distanța de la punctul  PPP  la dreapta  BDBDBD?

PO

PC

PD

PB

Exercițiul 10

Se consideră tetraedrul regulat  VABC,VABC,VABC,  notăm cu  OOO  centrul bazei  ABCABCABC  și fie  MMM  mijlocul muchiei  BC.BC.BC.  Care este relația dintre dreapta  VMVMVM  și dreapta  BCBCBC?

a) sunt perpendiculare

b) sunt paralele

c) formează un unghi de

45^\circ

d) formează un unghi de

30^\circ

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: c) $5$ cm

Explicație:Pentru a găsi distanța de la punctul  A′A'A′  la  BC,BC,BC,  aplicăm Teorema celor Trei Perpendiculare:

1.  A′A⊥(ABC)A'A \perp (ABC)A′A⊥(ABC)
2.  AB⊥BCAB \perp BCAB⊥BC
3.  AB,BC⊂(ABC)AB, BC \subset (ABC)AB,BC⊂(ABC)
4.  AB∩BC={B}AB \cap BC = \{B\}AB∩BC={B}

Din cele de mai sus   ⟹  A′B⊥BC\implies A'B \perp BC⟹A′B⊥BC

Prin urmare, distanța căutată este lungimea segmentului  A′BA'BA′B

În  △A′AB\triangle A'AB△A′AB  (triunghi dreptunghic în  AAA):  A′A=CC′=3A'A = CC' = 3A′A=CC′=3 cm  și  AB=4AB = 4AB=4 cm,,,  aplicăm Teorema lui Pitagora:
A′B2=A′A2+AB2A′B=A′A2+AB2A′B=32+42A′B=9+16=5 cmA'B ^2= A'A^2 + AB^2\\[6pt]
A'B = \sqrt{A'A^2 + AB^2}\\[6pt]
A'B = \sqrt{3^2 + 4^2} \\[6pt]
A'B = \sqrt{9 + 16} = 5\text{ cm}A′B2=A′A2+AB2A′B=A′A2+AB2​A′B=32+42​A′B=9+16​=5 cm

Exercițiul 2

Răspuns corect: a) $5$ cm

Explicație:Se consideră  MMM  mijlocul laturii  BCBCBC

Pentru a determina distanța de la vârful  VVV  la  BC,BC,BC,  aplicăm Teorema celor Trei Perpendiculare:

1.  VO⊥(ABC)VO \perp (ABC)VO⊥(ABC)
2.  OM⊥BCOM \perp BCOM⊥BC
3.  OMOMOM  ,BC⊂(ABC),BC \subset (ABC),BC⊂(ABC)
4.  OM∩BC={M}OM \cap BC = \{M\}OM∩BC={M}

Din cele de mai sus   ⟹  VM⊥BC\implies VM \perp BC⟹VM⊥BC

Prin urmare, distanța căutată este lungimea segmentului  VMVMVM

În  △VOM\triangle VOM△VOM  (triunghi dreptunghic în  OOO):  VO=4VO = 4VO=4 cm  și  OM=AB2=3 cm,O{}M = \frac{AB}{2} = 3\text{ cm},OM=2AB​=3 cm,  aplicăm Teorema lui Pitagora:
VM2=VO2+OM2VM=VO2+OM2VM=42+32VM=16+9=5 cmVM^2 = VO^2 + OM^2\\[6pt]
VM = \sqrt{VO^2 + OM^2}\\[6pt]
VM = \sqrt{4^2 + 3^2}\\[6pt]
VM = \sqrt{16 + 9} = 5\text{ cm}VM2=VO2+OM2VM=VO2+OM2​VM=42+32​VM=16+9​=5 cm

Exercițiul 3

Răspuns corect: b) $2\sqrt{41}\text{ cm}$

Explicație:Distanța de la punctul  VVV  la dreapta  CDCDCD  se determină construind pașii Teoremei celor Trei Perpendiculare:

1.  VA⊥(ABC)VA \perp (ABC)VA⊥(ABC)
2.  AD⊥CDAD \perp CDAD⊥CD
3.  AD,CD⊂(ABC)AD, CD \subset (ABC)AD,CD⊂(ABC)
4.  AD∩CD={D}AD \cap CD = \{D\}AD∩CD={D}

Din cele de mai sus   ⟹  VD⊥CD\implies VD \perp CD⟹VD⊥CD

Prin urmare, distanța căutată este lungimea segmentului  VDVDVD

În  △VAD\triangle VAD△VAD  (triunghi dreptunghic în  AAA):  VA=10VA = 10VA=10 cm  și  AD=8AD = 8AD=8 cm,,,  aplicăm Teorema lui Pitagora:
VD2=VA2+AD2VD=VA2+AD2VD=102+82VD=100+64VD=164=241 cmVD^2 = VA^2 + AD^2\\[6pt]
VD = \sqrt{VA^2 + AD^2}\\[6pt]
VD = \sqrt{10^2 + 8^2}\\[6pt]
VD = \sqrt{100 + 64} \\[6pt]
VD = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}\text{ cm}VD2=VA2+AD2VD=VA2+AD2​VD=102+82​VD=100+64​VD=164​=241​ cm

Exercițiul 4

Răspuns corect: b) $3\sqrt{6}\text{ cm}$

Explicație:Aplicăm Teorema celor Trei Perpendiculare pentru a găsi distanța de la punctul  A′A'A′  la diagonala BDBDBD:

1.  A′A⊥(ABC)A'A \perp (ABC)A′A⊥(ABC)
2.  AO⊥BDAO \perp BDAO⊥BD
3.  AOAOAO  ,BD⊂(ABC),BD \subset (ABC),BD⊂(ABC)
4.  AO∩BD={O}AO \cap BD = \{O\}AO∩BD={O}

Din cele de mai sus   ⟹  A′O⊥BD\implies A'O \perp BD⟹A′O⊥BD.

Prin urmare, distanța căutată este lungimea segmentului  A′OA'OA′O

În  △A′AO\triangle A'AO△A′AO  (triunghi dreptunghic în  AAA):  A′A=6A'A = 6A′A=6 cm  și  AO=AC2=32 cm,AO = \frac{AC}{2} = 3\sqrt{2}\text{ cm},AO=2AC​=32​ cm,  aplicăm Teorema lui Pitagora:


A′O2=A′A2+AO2A′O=A′A2+AO2A′O=62+(32)2A′O=36+18=54A′O=36 cmA'O^2 = A'A^2 + AO^2\\[6pt]
A'O = \sqrt{A'A^2 + AO^2}\\[6pt]
A'O = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{2})^2}\\[6pt]
A'O = \sqrt{36 + 18} = \sqrt{54} \\[6pt]
A'O = 3\sqrt{6}\text{ cm}A′O2=A′A2+AO2A′O=A′A2+AO2​A′O=62+(32​)2​A′O=36+18​=54​A′O=36​ cm

Exercițiul 5

Răspuns corect: d) $13$ cm

Explicație:Pentru a determina distanța de la punctul  A′A'A′  la muchia bazei  BC,BC,BC,  construim structura Teoremei celor Trei Perpendiculare::

1.  A′A⊥(ABC)A'A \perp (ABC)A′A⊥(ABC)
2.  AB⊥BCAB \perp BCAB⊥BC
3.  AB,BC⊂(ABC)AB, BC \subset (ABC)AB,BC⊂(ABC)
4.  AB∩BC={B}AB \cap BC = \{B\}AB∩BC={B}

Din cele de mai sus   ⟹  A′B⊥BC\implies A'B \perp BC⟹A′B⊥BC.

Prin urmare, distanța căutată este lungimea segmentului  A′BA'BA′B

În  △A′AB\triangle A'AB△A′AB  (triunghi dreptunghic în  AAA):  AA′=12AA' = 12AA′=12 cm  și  AB=5AB = 5AB=5 cm,,,  aplicăm Teorema lui Pitagora:
A′B2=A′A2+AB2A′B=A′A2+AB2A′B=122+52A′B=144+25=13 cmA'B^2 = A'A^2 + AB^2\\[6pt]
A'B = \sqrt{A'A^2 + AB^2}\\[6pt]
A'B = \sqrt{12^2 + 5^2}\\[6pt]
A'B = \sqrt{144 + 25} = 13\text{ cm}A′B2=A′A2+AB2A′B=A′A2+AB2​A′B=122+52​A′B=144+25​=13 cm

Exercițiul 6

Răspuns corect: b) $6\sqrt{3}\text{ cm}$

Explicație:Pentru a găsi distanța de la vârful  VVV  la muchia bazei  BC,BC,BC,  folosim Teorema celor Trei Perpendiculare:

1.  VO⊥(ABC)VO \perp (ABC)VO⊥(ABC)
2.  OM⊥BCO{}M \perp BCOM⊥BC
3.  OM,BC⊂(ABC)O{}M, BC \subset (ABC)OM,BC⊂(ABC)
4.  OM∩BC={M}O{}M \cap BC = \{M\}OM∩BC={M}

Din cele de mai sus   ⟹  VM⊥BC\implies VM \perp BC⟹VM⊥BC.

Prin urmare, distanța căutată este lungimea segmentului  VMVMVM

Deoarece fața laterală  △VBC\triangle VBC△VBC  este un triunghi echilateral cu latura de  121212 cm,,, înălțimea sa  VMVMVM  este:
VM=BC32VM=1232VM=63 cmVM = \frac{BC\sqrt{3}}{2}\\[6pt]
VM = \frac{12\sqrt{3}}{2} \\[6pt]
VM = 6\sqrt{3}\text{ cm}VM=2BC3​​VM=2123​​VM=63​ cm

Exercițiul 7

Răspuns corect: c) $13$ cm

Explicație:Pentru a calcula distanța de la  A′A'A′  la dreapta  CD,CD,CD,  aplicăm Teorema celor Trei Perpendiculare:

1.  A′A⊥(ABC)A'A \perp (ABC)A′A⊥(ABC)
2.  AD⊥CDAD \perp CDAD⊥CD
3.  AD,CD⊂(ABC)AD, CD \subset (ABC)AD,CD⊂(ABC)
4.  AD∩CD={D}AD \cap CD = \{D\}AD∩CD={D}

Din cele de mai sus   ⟹  A′D⊥CD\implies A'D \perp CD⟹A′D⊥CD

Prin urmare, distanța căutată este lungimea segmentului  A′DA'DA′D.

În  △A′AD\triangle A'AD△A′AD  (triunghi dreptunghic în AAA),  AA′=12AA' = 12AA′=12 cm  și  AD=5AD = 5AD=5 cm,,,  aplicăm Teorema lui Pitagora:
A′D2=A′A2+AD2A′D=122+52A′D=144+25A′D=169=13 cmA'D^2 = A'A^2 + AD^2\\[6pt]
A'D = \sqrt{12^2 + 5^2}\\[6pt]
A'D = \sqrt{144 + 25}\\[6pt]
A'D = \sqrt{169} = 13\text{ cm}A′D2=A′A2+AD2A′D=122+52​A′D=144+25​A′D=169​=13 cm

Exercițiul 8

Răspuns corect: d) sunt perpendiculare

Explicație:Relația dintre dreptele  MNM{}NMN  și  BCBCBC  este de perpendicularitate, justificată prin Teorema celor Trei Perpendiculare:

1.  MA⊥(ABC)MA \perp (ABC)MA⊥(ABC)
2.  AN⊥BCAN \perp BCAN⊥BC
3.  AN,BC⊂(ABC)AN, BC \subset (ABC)AN,BC⊂(ABC)
4.  AN∩BC={N}AN \cap BC = \{N\}AN∩BC={N}

Din cele de mai sus   ⟹  MN⊥BC\implies M{}N \perp BC⟹MN⊥BC.

Prin urmare, dreptele  MNM{}NMN  și  BCBCBC  sunt perpendiculare.

Exercițiul 9

Răspuns corect: a) $PO$

Explicație:Pentru a determina distanța de la punctul  PPP  la diagonala  BD,BD,BD,  aplicăm Teorema celor Trei Perpendiculare:

1.  PA⊥(ABC)PA \perp (ABC)PA⊥(ABC)
2.  AO⊥BDAO \perp BDAO⊥BD  (diagonalele în pătrat sunt perpendiculare)
3.  AOAOAO  ,BD⊂(ABC),BD \subset (ABC),BD⊂(ABC)
4.  AO∩BD={O}AO \cap BD = \{O\}AO∩BD={O}

Din cele de mai sus    ⟹  PO⊥BD\implies PO \perp BD⟹PO⊥BD

Prin urmare, distanța căutată este lungimea segmentului  PO.PO.PO.

Exercițiul 10

Răspuns corect: a) sunt perpendiculare

Explicație:Relația dintre dreptele  VMVMVM  și  BCBCBC  este de perpendicularitate, demonstrată prin Teorema celor Trei Perpendiculare:

1.  VO⊥(ABC)VO \perp (ABC)VO⊥(ABC)  
2.  OM⊥BCOM \perp BCOM⊥BC  
3.  OMO{}MOM  ,BC⊂(ABC),BC \subset (ABC),BC⊂(ABC)
4.  OM∩BC={M}O{}M \cap BC = \{M\}OM∩BC={M}

Din cele de mai sus    ⟹  VM⊥BC\implies VM \perp BC⟹VM⊥BC

Prin urmare, dreptele  VMVMVM  și  BCBCBC  sunt perpendiculare.

Test 1

Distanța în geometria spațială

Exercițiul 1

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  cu  AB=4AB = 4AB=4 cm  și  AA′=BC=3AA'=BC = 3AA′=BC=3 cm,,,  calculați distanța de la punctul  A′A'A′  la dreapta  BC.BC.BC.

Exercițiul 2

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD  cu latura bazei  AB=6AB = 6AB=6 cm  și înălțimea  VO=4VO = 4VO=4 cm,,,  calculați distanța de la vârful  VVV  la dreapta  BC.BC.BC.

Exercițiul 3

Fie  VVV  un punct exterior planului dreptunghilui  ABCDABCDABCD  astfel încât  VA⊥(ABC).VA \perp (ABC).VA⊥(ABC).  Dacă  AB=6AB = 6AB=6 cm,,,  AD=8AD = 8AD=8 cm  și  VA=10VA = 10VA=10 cm,,,  calculați distanța de la punctul  VVV  la  CD.CD.CD.

Exercițiul 4

În cubul  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  cu latura  AB=6AB = 6AB=6 cm,  calculați distanța de la punctul  A′A'A′  la  BD.BD.BD.

Exercițiul 5

În prisma patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  cu latura bazei  AB=5AB = 5AB=5 cm  și înălțimea  AA′=12AA' = 12AA′=12 cm,,,  calculați distanța de la punctul  A′A'A′  la muchia bazei  BCBCBC.

Exercițiul 6

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD  cu  VA=AB=12VA = AB = 12VA=AB=12 cm,  calculați distanța de la vârful  VVV  la muchia bazei  BC.BC.BC. 

Exercițiul 7

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  cu  AA′=12AA' = 12AA′=12 cm,,,  AB=6AB = 6AB=6 cm  și  AD=5AD = 5AD=5 cm,  calculați distanța de la punctul  A′A'A′  la dreapta  CDCDCD.

Exercițiul 8

Se consideră un triunghi echilateral  ABCABCABC  și un punct  MMM  exterior planului său, astfel încât  MA⊥(ABC).MA \perp (ABC).MA⊥(ABC).  Dacă  NNN  este mijlocul laturii  BC,BC,BC,  ce putem spune despre relația dintre dreptele  MNM{}NMN  și  BCBCBC?

Exercițiul 9

Se consideră un pătrat  ABCDABCDABCD  și un punct  PPP  exterior planului său, astfel încât  PA⊥(ABC).PA \perp (ABC).PA⊥(ABC).  Notăm cu  OOO  punctul de intersecție a diagonalelor pătratului. Care este distanța de la punctul  PPP  la dreapta  BDBDBD?

Exercițiul 10

Se consideră tetraedrul regulat  VABC,VABC,VABC,  notăm cu  OOO  centrul bazei  ABCABCABC  și fie  MMM  mijlocul muchiei  BC.BC.BC.  Care este relația dintre dreapta  VMVMVM  și dreapta  BCBCBC?

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Distanța în geometria spațialăTest 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 1

Distanța în geometria spațială
Test 1