Proiecții și unghiuri în spațiu
Test 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  care este proiecția dreptei  A′BA'BA′B  pe planul bazei  (ABC)(ABC)(ABC)?

AB

AC

A'A

BC

Exercițiul 2

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD  cu baza  ABCD,ABCD,ABCD,  notăm cu  OOO  centrul bazei. Care este proiecția muchiei laterale  VAVAVA  pe planul bazei  (ABC)(ABC)(ABC)?

BD

AO

AC

AB

Exercițiul 3

În prisma triunghiulară regulată  ABCA′B′C′,ABCA'B'C',ABCA′B′C′,  care este proiecția dreptei  A′CA'CA′C  pe planul  (ABB′)(ABB')(ABB′)?

AB'

A'M

, unde

M

este mijlocul

AB

A'B

A'N

, unde

N

este mijlocul

BB'

Exercițiul 4

Care este unghiul format de  A′BA'BA′B  cu planul  (ABC)(ABC)(ABC)  în cubul  ABCDA′B′C′D′?ABCDA'B'C'D'?ABCDA′B′C′D′?

90^\circ

60^\circ

45^\circ

30^\circ

Exercițiul 5

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD  cu toate muchiile egale, care este măsura unghiului format de o muchie laterală cu planul bazei?

90^\circ

45^\circ

60^\circ

30^\circ

Exercițiul 6

În prisma patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  cu  AB=2AB = 2AB=2 cm  și  AA′=26 cm,AA' = 2\sqrt{6}\text{ cm},AA′=26​ cm,  calculați tangenta unghiului format de  BD′BD'BD′  cu planul bazei  (ABC).(ABC).(ABC).

\sqrt{3}

\sqrt{2}

\frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{2}}{2}

Exercițiul 7

În cubul  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′,  care este măsura unghiului dintre planele  (ABC)(ABC)(ABC)  și  (A′BD)(A'BD)(A′BD)?

a) tangenta unghiului este

\frac{\sqrt{2}}{2}

45^\circ

60^\circ

d) tangenta unghiului este

\sqrt{2}

Exercițiul 8

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD  cu toate muchiile egale cu  ℓ,\ell,ℓ,  calculați cosinusul unghiului diedru format de o față laterală cu planul bazei.

\frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{2}}{2}

Exercițiul 9

În prisma triunghiulară regulată  ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′  cu  AB=AA′AB = AA'AB=AA′,  care este măsura unghiului format de planul   (A′BC)(A'BC)(A′BC)  cu planul bazei  (ABC)?(ABC)?(ABC)?

60^\circ

b) tangenta unghiului este

\frac{\sqrt{3}}{2}

45^\circ

d) tangenta unghiului este

\frac{2\sqrt{3}}{3}

Exercițiul 10

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′,  care este măsura unghiului format de planul feței laterale  (ABB′A′)(ABB'A')(ABB′A′)  cu planul feței laterale  (BCC′B′)(BCC'B')(BCC′B′)?

45^\circ

30^\circ

90^\circ

60^\circ

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: a) $AB$

Explicație:Determinăm proiecțiile punctelor  A′A'A′  și  BBB  pe planul  (ABC):(ABC):(ABC):

1.  A′A⊥(ABC),A'A \perp (ABC),A′A⊥(ABC),  deci proiectia  lui  A′A'A′  pe  (ABC)(ABC)(ABC)  este  AAA

2.  B⊂(ABC),B \subset (ABC),B⊂(ABC),  deci proiectia  lui  BBB  pe  (ABC)(ABC)(ABC)  este  BBB

Deci: pr(ABC)A′B=AB_{(ABC)}A'B = AB(ABC)​A′B=AB

Exercițiul 2

Răspuns corect: b) $AO$

Explicație:În piramida regulată, înălțimea cade în centrul bazei. Determinăm proiecțiile punctelor:

1.  VO⊥(ABC),VO \perp (ABC),VO⊥(ABC),  deci  proiecția  lui  VVV  pe  (ABC)(ABC)(ABC)  este  OOO

2.  A⊂(ABC),A \subset (ABC),A⊂(ABC),  deci  proiecția  lui  AAA  pe  (ABC)(ABC)(ABC)  este  AAA

Deci: pr(ABC)VA=AO_{(ABC)}VA = AO(ABC)​VA=AO

Exercițiul 3

Răspuns corect: b) $A'M$ , unde $M$ este mijlocul $AB$

Explicație:Dacă  MMM  este mijlocul laturii  AB.AB.AB.  În triunghiul echilateral  ABC: CM⊥ABABC:\,CM \perp ABABC:CM⊥AB.

Deoarece prisma este regulată, fața  (ABB′)(ABB')(ABB′)  este perpendiculară pe bază. Determinăm proiecțiile punctelor:

1.  CM⊥(ABB′),CM \perp (ABB'),CM⊥(ABB′),  deci  proiecția  lui  CCC  pe  (ABB′)(ABB')(ABB′)  este  MMM

2.  A′⊂(ABB′),A' \subset (ABB'),A′⊂(ABB′),  deci  proiecția  lui  A′A'A′  pe  (ABB′)(ABB')(ABB′)  este  A′A'A′

Deci: pr(ABB′)A′C=A′M_{(ABB')}A'C = A'M(ABB′)​A′C=A′M

Exercițiul 4

Răspuns corect: c) $45^\circ$

Explicație:Unghiul format de o dreaptă cu un plan este unghiul format de acea dreaptă cu proiecția ei pe plan.

Proiecția  dreptei  A′BA'BA′B  pe  planul  (ABC)(ABC)(ABC)  este  ABABAB

Deci:  ∢(A′B,(ABC))=\sphericalangle(A'B, (ABC)) =∢(A′B,(ABC))= ∢(A′B,AB)=\sphericalangle(A'B, AB) =∢(A′B,AB)= ∢A′BA\sphericalangle A'BA∢A′BA

În triunghiul dreptunghic isoscel  △A′AB\triangle A'AB△A′AB  (cu  AA′=AB=4AA' = AB = 4AA′=AB=4 cm), avem ∢A′BA=45∘\sphericalangle A'BA = 45^\circ∢A′BA=45∘.

Exercițiul 5

Răspuns corect: b) $45^\circ$

Explicație:Unghiul format de o dreaptă cu un plan este unghiul format de acea dreaptă cu proiecția ei pe plan.

Proiecția  dreptei  VAVAVA  pe  planul  (ABC)(ABC)(ABC)  este  OA.OA.OA.

Deci:  ∢(VA,(ABC))=\sphericalangle(VA, (ABC)) =∢(VA,(ABC))= ∢(VA,AO)=\sphericalangle(VA, AO)=∢(VA,AO)= ∢VAO\sphericalangle VAO∢VAO

Dacă  AB=ℓ⇒AC=ℓ2⇒AO=ℓ22AB=\ell \Rightarrow AC = \ell\sqrt{2}\Rightarrow AO = \frac{\ell\sqrt{2}}{2}AB=ℓ⇒AC=ℓ2​⇒AO=2ℓ2​​

În triunghiul dreptunghic  △VOA:\triangle VOA:△VOA: 

cos⁡(∢VAO)=AOVA\cos(\sphericalangle VAO) = \frac{AO}{VA}cos(∢VAO)=VAAO​

cos⁡(∢VAO)=ℓ22ℓ=22\cos(\sphericalangle VAO) = \frac{\frac{\ell\sqrt{2}}{2}}{\ell} = \frac{\sqrt{2}}{2}cos(∢VAO)=ℓ2ℓ2​​​=22​​

Deci:  ∢VAO=45∘\sphericalangle VAO = 45^\circ∢VAO=45∘

Exercițiul 6

Răspuns corect: a) $\sqrt{3}$

Explicație:Unghiul format de o dreaptă cu un plan este unghiul format de dreaptă cu proiecția ei.

Proiecția  segmentului  BD′BD'BD′  pe  planul  bazei  (ABC)(ABC)(ABC)  este  BDBDBD

Deci:  ∢(BD′,(ABC))=\sphericalangle(BD', (ABC)) =∢(BD′,(ABC))= ∢(BD′,BD)=\sphericalangle(BD', BD)=∢(BD′,BD)= ∢D′BD\sphericalangle D'BD∢D′BD

În pătratul bazei  ABCD,ABCD,ABCD,  lungimea diagonalei este:

BD=AB2=22 cmBD = AB\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\text{ cm}BD=AB2​=22​ cm.

În triunghiul dreptunghic  △D′DB:\triangle D'DB:△D′DB:  

tg⁡(∢D′BD)=D′DBD\operatorname{tg}(\sphericalangle D'BD) = \frac{D'D}{BD}tg(∢D′BD)=BDD′D​

tg⁡(∢D′BD)=2622=3\operatorname{tg}(\sphericalangle D'BD) = \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{3}tg(∢D′BD)=22​26​​=3​

Exercițiul 7

Răspuns corect: d) tangenta unghiului este $\sqrt{2}$

Explicație:Pentru a afla unghiul diedru, se află dreapta comună și se caută perpendiculare din fiecare plan pe dreapta comună în același punct.

1.  Dreapta  comună  este  intersecția  planelor:   
(ABC)∩(A′BD)=BD(ABC) \cap (A'BD) = BD(ABC)∩(A′BD)=BD

2.  Căutăm  perpendicularele  pe  dreapta  comună:  
    - În planul  (ABC):AO⊥BD(ABC): \quad AO \perp BD(ABC):AO⊥BD  (diagonalele pătratului sunt perpendiculare)
    - În planul  (A′BD):A′O⊥BD(A'BD): \quad A'O \perp BD(A′BD):A′O⊥BD  (triunghiul  △A′BD\triangle A'BD△A′BD  este echilateral, deci mediana este și înălțime)

Unghiul format devine:
∢(AO,A′O)=∢A′OA\sphericalangle (AO,A'O)=\sphericalangle A'{}O{}A∢(AO,A′O)=∢A′OA

Notăm latura cubului cu  ℓ,\ell,ℓ,  deci  AA′=ℓAA' = \ellAA′=ℓ  și  AO=ℓ22AO = \frac{\ell\sqrt{2}}{2}AO=2ℓ2​​

În triunghiul dreptunghic  △A′AO:\triangle A'AO:△A′AO:  

tg⁡(∢A′OA)=AA′AO\operatorname{tg}(\sphericalangle A'OA) = \frac{AA'}{AO}tg(∢A′OA)=AOAA′​

tg⁡(∢A′OA)=ℓℓ22=2\operatorname{tg}(\sphericalangle A'OA) = \frac{\ell}{\frac{\ell\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}tg(∢A′OA)=2ℓ2​​ℓ​=2​

Exercițiul 8

Răspuns corect: a) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Explicație:Pentru a afla unghiul diedru, se află dreapta comună și se caută perpendiculare din fiecare plan pe dreapta comună în același punct.

1.  Dreapta  comună  este  intersecția  planelor:   
(VBC)∩(ABC)=BC(V{}BC) \cap (ABC) = BC(VBC)∩(ABC)=BC

2.  Căutăm  perpendicularele  pe  dreapta  comună:  
    - În planul  (VBC):VM⊥BC(V{}BC): \quad VM \perp BC(VBC):VM⊥BC  (unde  MMM  este mijlocul laturii  BC,BC,BC,  deci  VMVMVM  este apotema piramidei)
    - În planul  (ABC):OM⊥BC(ABC): \quad O{}M \perp BC(ABC):OM⊥BC  (unde  OOO  este centrul bazei, deci  OMO{}MOM  este apotema bazei)

Unghiul format devine:
∢(VM,OM)=∢VMO\sphericalangle (VM,OM)=\sphericalangle VMO∢(VM,OM)=∢VMO

Notăm latura bazei și muchia cu  ℓ,\ell,ℓ,  deci  OM=ℓ2O{}M = \frac{\ell}{2}OM=2ℓ​  și  VM=ℓ32VM = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}VM=2ℓ3​​

În triunghiul dreptunghic  △VOM:\triangle VOM:△VOM:  

cos⁡(∢VMO)=OMVM\cos(\sphericalangle VMO) = \frac{O{}M}{VM}cos(∢VMO)=VMOM​

.cos⁡(∢VMO)=ℓ2ℓ32=13=33\cos(\sphericalangle VMO) = \frac{\frac{\ell}{2}}{\frac{\ell\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}cos(∢VMO)=2ℓ3​​2ℓ​​=3​1​=33​​

Exercițiul 9

Răspuns corect: d) tangenta unghiului este $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Explicație:Pentru a afla unghiul diedru, se află dreapta comună și se caută perpendiculare din fiecare plan pe dreapta comună în același punct.

1.  Dreapta  comună  este  intersecția  planelor:   
(A′BC)∩(ABC)=BC(A'BC) \cap (ABC) = BC(A′BC)∩(ABC)=BC

2.  Căutăm  perpendicularele  pe  dreapta  comună:  
    - În planul  (ABC):AM⊥BC(ABC): \quad AM \perp BC(ABC):AM⊥BC  (unde  MMM  este mijlocul laturii  BC,BC,BC,  deci  AMAMAM  este înălțimea triunghiului echilateral al bazei)
    - În planul  (A′BC):A′M⊥BC(A'BC): \quad A'M \perp BC(A′BC):A′M⊥BC  (din teorema celor trei perpendiculare,  A′MA'MA′M  fiind înălțimea feței înclinate)

Unghiul format devine:
∢(A′M,AM)=∢A′MA\sphericalangle (A'M,AM)=\sphericalangle A'MA∢(A′M,AM)=∢A′MA

Notăm latura bazei și muchia laterală cu  ℓ,\ell,ℓ,  deci  AA′=ℓAA' = \ellAA′=ℓ  și  AM=ℓ32AM = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}AM=2ℓ3​​

În triunghiul dreptunghic  △A′AM:\triangle A'AM:△A′AM:

tg⁡(∢A′MA)=AA′AM\operatorname{tg}(\sphericalangle A'MA) = \frac{AA'}{AM}tg(∢A′MA)=AMAA′​

tg⁡(∢A′MA)=ℓℓ32=23=233\operatorname{tg}(\sphericalangle A'MA) = \frac{\ell}{\frac{\ell\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}tg(∢A′MA)=2ℓ3​​ℓ​=3​2​=323​​

Exercițiul 10

Răspuns corect: c) $90^\circ$

Explicație:Pentru a afla unghiul diedru, se află dreapta comună și se caută perpendiculare din fiecare plan pe dreapta comună în același punct.

1.  Dreapta  comună  este  intersecția  planelor:   
(ABB′A′)∩(BCC′B′)=BB′(ABB'A') \cap (BCC'B') = BB'(ABB′A′)∩(BCC′B′)=BB′

2.  Căutăm  perpendicularele  pe  dreapta  comună:  
    - În planul  (ABB′A′):AB⊥BB′(ABB'A'): \quad AB \perp BB'(ABB′A′):AB⊥BB′  (fața laterală este dreptunghi, deci muchia bazei este perpendiculară pe muchia laterală)
    - În planul  (BCC′B′):BC⊥BB′(BCC'B'): \quad BC \perp BB'(BCC′B′):BC⊥BB′  (fața laterală vecină este dreptunghi, deci cealaltă muchie a bazei este perpendiculară pe muchia laterală)

Unghiul format devine:
∢(AB,BC)=∢ABC\sphericalangle (AB,BC)=\sphericalangle ABC∢(AB,BC)=∢ABC

Baza  ABCDABCDABCD  fiind un dreptunghi, unghiul format de laturile sale este de  90∘90^\circ90∘

Deci:  ∢ABC=90∘\sphericalangle ABC = 90^\circ∢ABC=90∘

Test 1

Proiecții și unghiuri în spațiu

Exercițiul 1

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  care este proiecția dreptei  A′BA'BA′B  pe planul bazei  (ABC)(ABC)(ABC)?

Exercițiul 2

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD  cu baza  ABCD,ABCD,ABCD,  notăm cu  OOO  centrul bazei. Care este proiecția muchiei laterale  VAVAVA  pe planul bazei  (ABC)(ABC)(ABC)?

Exercițiul 3

În prisma triunghiulară regulată  ABCA′B′C′,ABCA'B'C',ABCA′B′C′,  care este proiecția dreptei  A′CA'CA′C  pe planul  (ABB′)(ABB')(ABB′)?

Exercițiul 4

Care este unghiul format de  A′BA'BA′B  cu planul  (ABC)(ABC)(ABC)  în cubul  ABCDA′B′C′D′?ABCDA'B'C'D'?ABCDA′B′C′D′?

Exercițiul 5

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD  cu toate muchiile egale, care este măsura unghiului format de o muchie laterală cu planul bazei?

Exercițiul 6

În prisma patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′  cu  AB=2AB = 2AB=2 cm  și  AA′=26 cm,AA' = 2\sqrt{6}\text{ cm},AA′=26​ cm,  calculați tangenta unghiului format de  BD′BD'BD′  cu planul bazei  (ABC).(ABC).(ABC).

Exercițiul 7

În cubul  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′,  care este măsura unghiului dintre planele  (ABC)(ABC)(ABC)  și  (A′BD)(A'BD)(A′BD)?

Exercițiul 8

În piramida patrulateră regulată  VABCDVABCDVABCD  cu toate muchiile egale cu  ℓ,\ell,ℓ,  calculați cosinusul unghiului diedru format de o față laterală cu planul bazei.

Exercițiul 9

În prisma triunghiulară regulată  ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′  cu  AB=AA′AB = AA'AB=AA′,  care este măsura unghiului format de planul   (A′BC)(A'BC)(A′BC)  cu planul bazei  (ABC)?(ABC)?(ABC)?

Exercițiul 10

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′,  care este măsura unghiului format de planul feței laterale  (ABB′A′)(ABB'A')(ABB′A′)  cu planul feței laterale  (BCC′B′)(BCC'B')(BCC′B′)?

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Proiecții și unghiuri în spațiuTest 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 1

Proiecții și unghiuri în spațiu
Test 1