Elemente introductive
Test 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  care este poziția dreptei  ABABAB  față de planul  (DCC′)(DCC')(DCC′)?

a) sunt perpendiculare

b) sunt paralele

c) dreapta este inclusă în plan

d) formează un unghi de

45^\circ

Exercițiul 2

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  ce relație există între dreapta  AB′AB'AB′  și planul  (DCC′)(DCC')(DCC′)?

a) sunt paralele

b) sunt perpendiculare

c) formează un unghi de

45^\circ

d) dreapta este inclusă în plan

Exercițiul 3

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  fie  O′O'O′  centrul bazei  A′B′C′D′.A'B'C'D'.A′B′C′D′.  Care este poziția  AO′AO'AO′  față de planul  (BDC′)(BDC')(BDC′)?

a) sunt perpendiculare

b) dreapta este inclusă în plan

c) sunt paralele

d) formează un unghi de

60^\circ

Exercițiul 4

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′.ABCDA'B'C'D'.ABCDA′B′C′D′.  Poziția  AA′AA'AA′  față de planul  (ABCD)(ABCD)(ABCD)  este:

a) paralelă cu planul

b) formează un unghi de

60^\circ

c) inclusă în plan

d) perpendiculară pe plan

Exercițiul 5

În cubul  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  care este relația dintre diagonala bazei  ACACAC  și planul  (BDD′)(BDD')(BDD′)?

a) sunt paralele

b) sunt perpendiculare

c) dreapta este inclusă în plan

d) formează un unghi de

60^\circ

Exercițiul 6

În prisma patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  cu  AC=2BB′,AC = 2BB',AC=2BB′,  considerăm punctul O' la intersecția diagonalelor bazei superioare. Ce se poate afirma despre dreapta  DO′DO'DO′  și planul  (BA′C′)(BA'C')(BA′C′)?

a) sunt paralele

b) dreapta este inclusă în plan

c) sunt perpendiculare

d) formează un unghi de

45^\circ

Exercițiul 7

În cubul  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  care este poziția relativă a planelor triunghiurilor  (AB′D′)(AB'D')(AB′D′)  și  (C′BD)(C'BD)(C′BD)?

a) sunt perpendiculare

b) formează un unghi de

45^\circ

c) formează un unghi de

60^\circ

d) sunt paralele

Exercițiul 8

În prisma patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  care este poziția planului  (ACC′)(ACC')(ACC′)  față de planul  (BDD′)(BDD')(BDD′)?

a) sunt paralele

b) sunt perpendiculare

c) formează un unghi de

45^\circ

d) formează un unghi de

60^\circ

Exercițiul 9

În cubul  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  cu centrele bazelor O și O', care este poziția planului bazei  (ABC)(ABC)(ABC)  față de planul secțiunii  (O′BD)(O'BD)(O′BD)?

a) sunt paralele

b) formează un unghi de

45^\circ

c) sunt perpendiculare

d) formează un unghi de

60^\circ

Exercițiul 10

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′,  notăm cu O și O' centrele celor două baze. Ce relație există între planele  (OA′B′)(OA'B')(OA′B′)  și  (O′DC)(O'DC)(O′DC)?

a) sunt paralele

b) sunt perpendiculare

c) formează un unghi de

45^\circ

d) formează un unghi de

60^\circ

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: b) sunt paralele

Explicație:O dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o dreaptă din acel plan.
{AB∥DCDC⊂(DCC′)⇒AB∥(DCC′)\begin{cases} AB \parallel DC \\ DC \subset (DCC') \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow AB \parallel (DCC'){AB∥DCDC⊂(DCC′)​⇒AB∥(DCC′)

Exercițiul 2

Răspuns corect: a) sunt paralele

Explicație:O dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o dreaptă din acel plan.
{AB′∥DC′DC′⊂(DCC′)⇒AB′∥(DCC′)\begin{cases} AB' \parallel DC' \\ DC' \subset (DCC') \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow AB' \parallel (DCC'){AB′∥DC′DC′⊂(DCC′)​⇒AB′∥(DCC′)

Exercițiul 3

Răspuns corect: c) sunt paralele

Explicație:O dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o dreaptă din acel plan.

Fie  OOO  centrul bazei  ABCD.ABCD.ABCD.

Atunci:
{AO′∥OC′OC′⊂(BDC′)⇒AO′∥(BDC′)\begin{cases} AO' \parallel OC' \\ OC' \subset (BDC') \end{cases} \\[6pt]
\Rightarrow AO' \parallel (BDC'){AO′∥OC′OC′⊂(BDC′)​⇒AO′∥(BDC′)

Exercițiul 4

Răspuns corect: d) perpendiculară pe plan

Explicație:O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan.

Planul extins  (ABC)(ABC)(ABC)  este  (ABCD).(ABCD).(ABCD).

Deci:
{AA′⊥ABAA′⊥ADAB,AD⊂(ABC)AB∩AD={A}⇒AA′⊥(ABC)\begin{cases} AA' \perp AB \\ AA' \perp AD \\ AB, AD \subset (ABC) \\ AB \cap AD = \{A\} \end{cases}\\[6pt]
\Rightarrow AA' \perp (ABC)⎩⎨⎧​AA′⊥ABAA′⊥ADAB,AD⊂(ABC)AB∩AD={A}​⇒AA′⊥(ABC)

Exercițiul 5

Răspuns corect: b) sunt perpendiculare

Explicație:O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan.

Planul extins  (BDD′)(BDD')(BDD′)  este  (BDD′B′)(BDD'B')(BDD′B′)

Din:
1.  AC⊥BDAC \perp BDAC⊥BD  (diagonale în pătrat)
2.  AC⊥DD′AC \perp DD'AC⊥DD′  (deoarece  DD′⊥(ABCD)DD' \perp (ABCD)DD′⊥(ABCD) 
3.  BD,DD′⊂(BDD′)BD, DD' \subset (BDD')BD,DD′⊂(BDD′) 
4.  BD∩DD′={D}BD \cap DD' = \{D\}BD∩DD′={D}

⇒AC⊥(BDD′)\Rightarrow AC \perp (BDD')⇒AC⊥(BDD′)

Exercițiul 6

Răspuns corect: c) sunt perpendiculare

Explicație:O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan.

1) În  △DA′C′: DA′=DC′\triangle DA'C':\,D{}A' = DC'△DA′C′:DA′=DC′  (diagonale în fețe laterale congruente)  ⇒△DA′C′\Rightarrow \triangle DA'C'⇒△DA′C′  este isoscel. Deoarece O' este mijlocul segmentului  A′C′A'C'A′C′,  rezultă că  DO′DO'DO′  este și înălțime:

DO′⊥A′C′\hspace{30pt} DO' \perp A'C'DO′⊥A′C′

2) În planul diagonal  (BDD′B′),(BDD'B'),(BDD′B′),  BD=ACBD = ACBD=AC  (diagonale în pătratul bazei). Cum  AC=2BB′⇒BD=2BB′AC = 2BB' \Rightarrow BD = 2BB'AC=2BB′⇒BD=2BB′
Deoarece O și O' sunt mijloacele diagonalelor bazelor, secțiunea diagonală  BDD′B′BDD'B'BDD′B′  (dreptunghi) este formată din două pătrate alăturate congruente:  B′O′OBB'O'OBB′O′OB  și  O′D′DOO'D'DOO′D′DO.
În acest caz, unghiul format de diagonalele acestor pătrate este drept, adică:

BO′D^=90∘⇒DO′⊥BO′\hspace{30pt}\widehat{BO'D} = 90^\circ \Rightarrow DO' \perp BO'BO′D=90∘⇒DO′⊥BO′

3) Finalizare:
{DO′⊥A′C′DO′⊥BO′A′C′,BO′⊂(BA′C′)A′C′∩BO′={O′}⇒DO′⊥(BA′C′)\begin{cases} DO' \perp A'C' \\ DO' \perp BO' \\ A'C', BO' \subset (BA'C') \\ A'C' \cap BO' = \{O'\} \end{cases} \\[12pt]
\Rightarrow DO' \perp (BA'C')⎩⎨⎧​DO′⊥A′C′DO′⊥BO′A′C′,BO′⊂(BA′C′)A′C′∩BO′={O′}​⇒DO′⊥(BA′C′)

Exercițiul 7

Răspuns corect: d) sunt paralele

Explicație:Teorema:  două plane sunt paralele dacă într-unul dintre ele există două drepte concurente, fiecare paralelă cu celălalt plan.

Consecinta practica:  două plane sunt paralele dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu alte două drepte conținute în celălalt plan. 
1.{C′D∥AB′AB′⊂(AB′D′)⇒C′D∥(AB′D′)2.{C′B∥AD′AD′⊂(AB′D′)⇒C′B∥(AB′D′)1. \begin{cases} C'D \parallel AB' \\ AB' \subset (AB'D') \end{cases} \\[12pt]
\Rightarrow C'D \parallel (AB'D')\\[12pt]
2. \begin{cases} C'B \parallel AD' \\ AD' \subset (AB'D') \end{cases} \\[12pt]
\Rightarrow C'B \parallel (AB'D')1.{C′D∥AB′AB′⊂(AB′D′)​⇒C′D∥(AB′D′)2.{C′B∥AD′AD′⊂(AB′D′)​⇒C′B∥(AB′D′)

Din relațiile de mai sus: 
{C′D∥(AB′D′)C′B∥(AB′D′)C′D,C′B⊂(C′BD)C′D∩C′B={C′}⇒(C′BD)∥(AB′D′)\begin{cases} C'D \parallel (AB'D') \\ C'B \parallel (AB'D') \\ C'D, C'B \subset (C'BD) \\ C'D \cap C'B = \{C'\} \end{cases} \\[12pt]
\Rightarrow (C'BD) \parallel (AB'D')⎩⎨⎧​C′D∥(AB′D′)C′B∥(AB′D′)C′D,C′B⊂(C′BD)C′D∩C′B={C′}​⇒(C′BD)∥(AB′D′)

Exercițiul 8

Răspuns corect: b) sunt perpendiculare

Explicație:Teorema:  două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan.

Consecinta practica:  două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe două drepte concurente din celalat plan. 

{AC⊥BDAC⊥DD′BD,DD′⊂(BDD′)BD∩DD′={D}⇒AC⊥(BDD′){AC⊥(BDD′)AC⊂(ACC′)⇒(ACC′)⊥(BDD′)\begin{cases} AC \perp BD \\ AC \perp DD' \\ BD, DD' \subset (BDD') \\ BD \cap DD' = \{D\} \end{cases} \\[12pt]
\Rightarrow AC \perp (BDD')\\[12pt]
\begin{cases} AC \perp (BDD') \\ AC \subset (ACC') \end{cases} \\[12pt]
\Rightarrow (ACC') \perp (BDD')⎩⎨⎧​AC⊥BDAC⊥DD′BD,DD′⊂(BDD′)BD∩DD′={D}​⇒AC⊥(BDD′){AC⊥(BDD′)AC⊂(ACC′)​⇒(ACC′)⊥(BDD′)

Exercițiul 9

Răspuns corect: c) sunt perpendiculare

Explicație:Teorema:  două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan.

Consecinta practica:  două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe două drepte concurente din celalat plan. 
{OO′⊥ACOO′⊥BDAC,BD⊂(ABC)AC∩BD={O}⇒OO′⊥(ABC){OO′⊥(ABC)OO′⊂(O′BD)⇒(O′BD)⊥(ABC)\begin{cases} O{}O' \perp AC \\ O{}O' \perp BD \\ AC, BD \subset (ABC) \\ AC \cap BD = \{O\} \end{cases} \\[12pt]
\Rightarrow O{}O' \perp (ABC)\\[12pt]
\begin{cases} O{}O' \perp (ABC) \\ O{}O' \subset (O'BD) \end{cases} \\[12pt]
\Rightarrow (O'BD) \perp (ABC)⎩⎨⎧​OO′⊥ACOO′⊥BDAC,BD⊂(ABC)AC∩BD={O}​⇒OO′⊥(ABC){OO′⊥(ABC)OO′⊂(O′BD)​⇒(O′BD)⊥(ABC)

Exercițiul 10

Răspuns corect: a) sunt paralele

Explicație:Teorema:  două plane sunt paralele dacă într-unul dintre ele există două drepte concurente, fiecare paralelă cu celălalt plan.

Consecinta practica:  două plane sunt paralele dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu alte două drepte conținute în celălalt plan. 

În planul diagonal  (ACC′A′),(ACC'A'),(ACC′A′),  patrulaterul  COA′O′COA'O'COA′O′  este paralelogram deoarece  O′A′∥OCO'A' \parallel OCO′A′∥OC  și  O′A′=OCO'A' = OCO′A′=OC  (fiind jumătăți paralele și egale ale diagonalelor bazelor). Din proprietățile paralelogramului rezultă direct că  OA′∥O′COA' \parallel O'COA′∥O′C
Analog, în planul diagonal  (BDD′B′),(BDD'B'),(BDD′B′),  patrulaterul  DOB′O′DOB'O'DOB′O′  este paralelogram, de unde rezultă  OB′∥O′DOB' \parallel O'DOB′∥O′D

1.{OA′∥O′CO′C⊂(O′DC)⇒OA′∥(O′DC)2.{OB′∥O′DO′D⊂(O′DC)⇒OB′∥(O′DC)1. \begin{cases} OA' \parallel O'C \\ O'C \subset (O'DC) \end{cases} \\[12pt]
\Rightarrow OA' \parallel (O'DC)\\[12pt]
2. \begin{cases} OB' \parallel O'D \\ O'D \subset (O'DC) \end{cases} \\[12pt]
\Rightarrow OB' \parallel (O'DC)1.{OA′∥O′CO′C⊂(O′DC)​⇒OA′∥(O′DC)2.{OB′∥O′DO′D⊂(O′DC)​⇒OB′∥(O′DC)

Din relațiile de mai sus:
{OA′∥(O′DC)OB′∥(O′DC)OA′,OB′⊂(OA′B′)OA′∩OB′={O}⇒(OA′B′)∥(O′DC)\begin{cases} OA' \parallel (O'DC) \\ OB' \parallel (O'DC) \\ OA', OB' \subset (OA'B') \\ OA' \cap OB' = \{O\} \end{cases} \\[12pt]
\Rightarrow (OA'B') \parallel (O'DC)⎩⎨⎧​OA′∥(O′DC)OB′∥(O′DC)OA′,OB′⊂(OA′B′)OA′∩OB′={O}​⇒(OA′B′)∥(O′DC)

Test 1

Elemente introductive

Exercițiul 1

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  care este poziția dreptei  ABABAB  față de planul  (DCC′)(DCC')(DCC′)?

Exercițiul 2

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  ce relație există între dreapta  AB′AB'AB′  și planul  (DCC′)(DCC')(DCC′)?

Exercițiul 3

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  fie  O′O'O′  centrul bazei  A′B′C′D′.A'B'C'D'.A′B′C′D′.  Care este poziția  AO′AO'AO′  față de planul  (BDC′)(BDC')(BDC′)?

Exercițiul 4

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′.ABCDA'B'C'D'.ABCDA′B′C′D′.  Poziția  AA′AA'AA′  față de planul  (ABCD)(ABCD)(ABCD)  este:

Exercițiul 5

În cubul  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  care este relația dintre diagonala bazei  ACACAC  și planul  (BDD′)(BDD')(BDD′)?

Exercițiul 6

În prisma patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  cu  AC=2BB′,AC = 2BB',AC=2BB′,  considerăm punctul O' la intersecția diagonalelor bazei superioare. Ce se poate afirma despre dreapta  DO′DO'DO′  și planul  (BA′C′)(BA'C')(BA′C′)?

Exercițiul 7

În cubul  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  care este poziția relativă a planelor triunghiurilor  (AB′D′)(AB'D')(AB′D′)  și  (C′BD)(C'BD)(C′BD)?

Exercițiul 8

În prisma patrulateră regulată  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  care este poziția planului  (ACC′)(ACC')(ACC′)  față de planul  (BDD′)(BDD')(BDD′)?

Exercițiul 9

În cubul  ABCDA′B′C′D′,ABCDA'B'C'D',ABCDA′B′C′D′,  cu centrele bazelor O și O', care este poziția planului bazei  (ABC)(ABC)(ABC)  față de planul secțiunii  (O′BD)(O'BD)(O′BD)?

Exercițiul 10

În paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′,  notăm cu O și O' centrele celor două baze. Ce relație există între planele  (OA′B′)(OA'B')(OA′B′)  și  (O′DC)(O'DC)(O′DC)?

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Elemente introductiveTest 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 1

Elemente introductive
Test 1