Elemente de geometrie spatială

7.1 Elemente introductive a. Puncte, drepte, plane, semiplane Punctul    • Punctul nu are dimensiuni (nici lungime, nici lățime, nici grosime).    • Se notează cu litere mari: A, B , CA, B, CA, B, C.    • Indică poziția unui obiect în spațiu. Dreapta    • Dreapta este o mulțime infinită de puncte.    • Nu are grosime și se întinde la infinit în ambele sensuri.    • Se notează cu o literă mică  $d$, sau cu două puncte distincte  $(AB)$. Planul    • Planul este o suprafață infinită, fără grosime.    • Conține o infinitate de puncte și drepte.    • Se notează cu o literă grecească  $α,β$, sau cu trei puncte necoliniare  $(ABC)$.

Semiplanul    • Un semiplan este una dintre cele două părți în care o dreaptă împarte un plan.    • Dreapta se numește frontiera semiplanelor.    • Fiecare semiplan conține punctele aflate de o singură parte a dreptei. În figura de mai jos este reprezentat:    • planul  $α$    • dreapta  $d$  din planul  $α$    • punctele  $A$  și  $B$  din planul  $α$    •  $d$  frontiera semiplanului Semiplanele formate sunt  $(d, A$  și  $(d, B$

b. Dreapta inclusă în plan. Dreapta secantă planului Fie dreapta  $d$  și planul  $α$. Dreapta inclusă în plan    • Toate punctele dreptei aparțin planului.    • Se notează:  $d⊂α$

Dreapta este secantă planului    • Dreapta are un singur punct comun cu planul.    • Se intersectează cu planul într-un punct.          $d∩α=\{P\}$

c. Dreapta paralelă cu planul. Dreapta perpendiculară pe plan Dreapta paralelă cu planul    • Dreapta nu are niciun punct comun cu planul.    • Distanța de la orice punct al dreptei la plan este constantă. Criteriu de paralelism O dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o dreaptă din plan.     $\left. \begin{array}{l} a \subset \alpha \\ d ∥ a \end{array} \right\} \implies d ∥ \alpha$ Reciproca nu este adevărată Dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, atunci ea este paralelă cu o infinitate de drepte din planul respectiv, dar nu este paralelă cu orice dreaptă din acel plan.

Dreapta perpendiculară pe plan      • Dreapta este secantă planului.    • Este perpendiculară pe toate dreptele din plan. Criteriu de perpendicularitate O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan.    $\left. \begin{array}{l} d \perp a \\ d \perp b \\ a \cap b \neq \varnothing \\ a, b \subset \alpha \end{array} \right\} \implies d \perp \alpha$

d. Plane paralele. Plane perpendiculare Două plane în spațiu pot fi:    • paralele - nu se intersectează, nu au niciun punct comun.    • concurente - se intersectează după o dreaptă. Un caz foarte important îl reprezintă planele perpendiculare Plane paralele Teorema: două plane sunt paralele dacă într-unul dintre ele există două drepte concurente, fiecare paralelă cu celălalt plan.    $\left. \begin{array}{l} d_1, d_2 \subset \alpha \\[1mm] d_1 \cap d_2 = \{O \} \\[1mm] d_1, d_2 \parallel \beta \end{array} \right\} \Rightarrow \alpha \parallel \beta$ Consecinta practica: două plane sunt paralele dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu alte două drepte conținute în celălalt plan.    $\left. \begin{array}{l} d_1, d_2 \subset \alpha \\[1mm] d_1 \cap d_2 = \{O \} \\[1mm] d_3, d_4 \subset \beta \\[1mm] d_3 \cap d_4 = \{O'\} \\[1mm] d_1 \parallel d_3, \, d_2 \parallel d_4 \end{array} \right\} \Rightarrow \alpha \parallel \beta$

Observații:    • Distanța dintre ele este constantă.    • Printr-un punct exterior unui plan se poate duce un singur plan paralel cu planul dat.    • Dacă două plane sunt paralele, atunci orice dreaptă dintr-unul dintre plane este paralelă cu celălalt plan. Plane perpendiculare Teorema: două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan.    $\left. \begin{array}{l} d \subset\alpha \\[1mm] d \perp \beta \end{array} \right\} \Rightarrow \alpha \perp \beta$ Consecinta practica: două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe două drepte concurente din celalat plan.    $\left. \begin{array}{l} d \subset \alpha \\[1mm] d_1, d_2 \subset \beta \\[1mm] d_1 \cap d_2 = \{O \} \\[1mm] d \perp d_1, \, d \perp d_2 \end{array} \right\} \Rightarrow \alpha \perp \beta$