Elemente de geometrie spatială

7.1 Elemente introductive a. Puncte, drepte, plane, semiplane Punctul    • Punctul nu are dimensiuni (nici lungime, nici lățime, nici grosime).    • Se notează cu litere mari: A, B , CA, B, CA, B, C.    • Indică poziția unui obiect în spațiu. Dreapta    • Dreapta este o mulțime infinită de puncte.    • Nu are grosime și se întinde la infinit în ambele sensuri.    • Se notează cu o literă mică  $d$, sau cu două puncte distincte  $(AB)$. Planul    • Planul este o suprafață infinită, fără grosime.    • Conține o infinitate de puncte și drepte.    • Se notează cu o literă grecească  $α,β$, sau cu trei puncte necoliniare  $(ABC)$.

Semiplanul    • Un semiplan este una dintre cele două părți în care o dreaptă împarte un plan.    • Dreapta se numește frontiera semiplanelor.    • Fiecare semiplan conține punctele aflate de o singură parte a dreptei. În figura de mai jos este reprezentat:    • planul  $α$    • dreapta  $d$  din planul  $α$    • punctele  $A$  și  $B$  din planul  $α$    •  $d$  frontiera semiplanului Semiplanele formate sunt  $(d, A$  și  $(d, B$

b. Dreapta inclusă în plan. Dreapta secantă planului Fie dreapta  $d$  și planul  $α$. Dreapta inclusă în plan    • Toate punctele dreptei aparțin planului.    • Se notează:  $d⊂α$

Dreapta este secantă planului    • Dreapta are un singur punct comun cu planul.    • Se intersectează cu planul într-un punct.          $d∩α=\{P\}$

c. Dreapta paralelă cu planul. Dreapta perpendiculară pe plan Dreapta paralelă cu planul    • Dreapta nu are niciun punct comun cu planul.    • Distanța de la orice punct al dreptei la plan este constantă. Criteriu de paralelism O dreaptă este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o dreaptă din plan.     $\left. \begin{array}{l} a \subset \alpha \\ d ∥ a \end{array} \right\} \implies d ∥ \alpha$ Reciproca nu este adevărată Dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, atunci ea este paralelă cu o infinitate de drepte din planul respectiv, dar nu este paralelă cu orice dreaptă din acel plan.

Dreapta perpendiculară pe plan      • Dreapta este secantă planului.    • Este perpendiculară pe toate dreptele din plan. Criteriu de perpendicularitate O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din plan.    $\left. \begin{array}{l} d \perp a \\ d \perp b \\ a \cap b \neq \varnothing \\ a, b \subset \alpha \end{array} \right\} \implies d \perp \alpha$

d. Plane paralele. Plane perpendiculare Două plane în spațiu pot fi:    • paralele - nu se intersectează, nu au niciun punct comun.    • concurente - se intersectează după o dreaptă. Un caz foarte important îl reprezintă planele perpendiculare Plane paralele Teorema: două plane sunt paralele dacă într-unul dintre ele există două drepte concurente, fiecare paralelă cu celălalt plan.    $\left. \begin{array}{l} d_1, d_2 \subset \alpha \\[1mm] d_1 \cap d_2 = \{O \} \\[1mm] d_1, d_2 \parallel \beta \end{array} \right\} \Rightarrow \alpha \parallel \beta$ Consecinta practica: două plane sunt paralele dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt paralele cu alte două drepte conținute în celălalt plan.    $\left. \begin{array}{l} d_1, d_2 \subset \alpha \\[1mm] d_1 \cap d_2 = \{O \} \\[1mm] d_3, d_4 \subset \beta \\[1mm] d_3 \cap d_4 = \{O'\} \\[1mm] d_1 \parallel d_3, \, d_2 \parallel d_4 \end{array} \right\} \Rightarrow \alpha \parallel \beta$

Observații:    • Distanța dintre ele este constantă.    • Printr-un punct exterior unui plan se poate duce un singur plan paralel cu planul dat.    • Dacă două plane sunt paralele, atunci orice dreaptă dintr-unul dintre plane este paralelă cu celălalt plan. Plane perpendiculare Teorema: două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan.    $\left. \begin{array}{l} d \subset\alpha \\[1mm] d \perp \beta \end{array} \right\} \Rightarrow \alpha \perp \beta$ Consecinta practica: două plane sunt perpendiculare dacă unul dintre ele conține o dreaptă perpendiculară pe două drepte concurente din celalat plan.    $\left. \begin{array}{l} d \subset \alpha \\[1mm] d_1, d_2 \subset \beta \\[1mm] d_1 \cap d_2 = \{O \} \\[1mm] d \perp d_1, \, d \perp d_2 \end{array} \right\} \Rightarrow \alpha \perp \beta$

7.2 Proiecții și unghiuri în spațiu Proiecția ortogonală a unui punct / segment / drepte pe un plan este figura obținută ducând perpendiculare pe plan din punctele respective. Cheia este cuvântul ortogonal = perpendicular. a. Proiecția unui punct pe un plan Fie:    • punctul  $A$    • planul  $α$ Proiecția ortogonală a punctului $A$ pe planul $α$ este punctul $A'$ astfel încât:    • $A'∈ α$    • $AA'⊥α$ Se notează: pr$_{\alpha}(A) = A'$ Cazuri:    1. Dacă  $A∈α$ → proiecția este chiar punctul $A$    2. Dacă  $A∉α$ → proiecția este piciorul perpendicularei din $A$ pe plan

b. Proiecția unei drepte pe un plan Fie linia dreaptă  $d$  și planul  $α$. Proiecția ortogonală a dreptei  $d$  pe plan este mulțimea proiecțiilor tuturor punctelor de pe dreaptă. Se notează: pr$_{\alpha}(d) = d'$ Cazuri posibile: a) Dreapta este paralelă cu planul    • Proiecția este o dreaptă paralelă cu dreapta inițială    • Lungimile se păstrează b) Dreapta este perpendiculară pe plan    • Proiecția este un punct c) Dreapta este oblică față de plan    • Proiecția este o dreaptă    • Aceasta se află în plan și este oblică

Proiecția unui segment de dreaptă pe un plan Fie segmentul  $[AB]$  și planul  $α$. Proiecția ortogonală a segmentului  $[AB]$  pe plan este segmentul:  $[A'B']$ unde:    • $A'$  este proiecția lui  $A$  pe plan    • $B'$  este proiecția lui  $B$  pe plan Se notează: pr$_{\alpha}(AB) = A'B'$ Observații importante:    • Lungimea proiecției este mai mică sau egală cu lungimea segmentului    • Dacă segmentul este:         - paralel cu planul → proiecția are aceeași lungime         - perpendicular pe plan → proiecția este un punct         - oblic → proiecția este un segment mai scurt

c. Unghiul dintre o dreaptă și un plan Unghiul dintre o linie dreaptă  $d$  și un plan  $α$  este unghiul ascuțit dintre dreapta d și proiecția ortogonală a acesteia pe plan. Dacă:    •  $d$  este linia dreaptă      •  $d'$ =  pr $_{\alpha}(d)$    atunci unghiul dintre dreapta și plan este:          $∠(d,α)=∠(d,d')$ Cazuri particulare:    • Dacă  $d \parallel α$  → unghiul este  $0^\circ$    • Dacă  $d \perpα$ → unghiul este  $90^\circ$

Lungimea proiecției unui segment pe un plan Unghiul dintre un segment  $[AB]$  și un plan  $\alpha$  este unghiul ascuțit dintre segment și proiecția sa ortogonală pe plan. Fie:    • planul:  $α$    • segmentul:  $[AB]$    •  $A'$  = pr $_{\alpha}(A)$    •  $B'$  = pr $_{\alpha}(B)$ Atunci:      $∠([AB],α)=∠(AB,A'B')$ Mai precis: Unghiul dintre un segment și un plan este unghiul dintre o dreaptă paralelă cu segmentul, dusă printr-un punct al planului, și proiecția ei ortogonală pe plan. Formula fundamentală: Dacă segmentul  $AB$  face un unghi  $x$  cu planul  $α$, atunci: $A'B'=AB \cdot \operatorname{cos}⁡(x)$ $\Rightarrow \operatorname{cos}(x)= \frac{A'B'}{AB}$ unde:  $x=∠(AB,α)$

d. Unghi diedru. Unghiul dintre două plane Unghiul diedru este unghiul format de două semiplane care au o dreaptă comună, numită muchia diedrului.

Unghiul diedru dintre două plane Unghiului diedru determinat de planele  $α$  și  $β$  este unghiul plan format de două drepte perpendiculare pe muchia diedrului, una în fiecare plan. Fie:    • planele  $α$  și  $β$    • $d=α∩β$ Construcție:    1. Se alege un punct  $A∈d$    2. În planul  $α$  se duce prin A dreapta  $a$  astfel încât:  $a\perp d$,  ($BA \perp d$)       3. În planul  $β$  se duce prin A dreapta  $b$ , astfel încât:  $b \perp d$,  ($CA\perp d$)    4. Unghiul dintre cele două plane este:               $∠(α,β)=∠(a,b)= ∠CAB$ Unghiul dintre plane este independent de punctul ales pe muchie

7.3 Distanţa în geometria spațială Observații importante (de reținut)       ✔ Distanța este întotdeauna perpendiculară       ✔ Distanța este cea mai mică lungime posibilă a. Distanța dintre un punct și o dreaptă Distanța dintre punctul  $A$  și dreapta  $d$  este lungimea segmentului perpendicular dus din punct pe dreaptă. Notație:     $\mathrm{dist}(A,d) = AH$, unde:         • $H∈d$         • $AH⊥d$

b. Distanța dintre un punct și un plan Distanța dintre punctul  $A$  și planul  $α$  este este lungimea segmentului perpendicular dus din punct pe plan. Notație:     $\mathrm{dist}(A,\alpha) = AA'$, unde:         •  $A'∈α$         •  $AA'⊥α$

c. Distanța dintre două plane paralele Distanța dintre planele paralele $α$ și $β$ este distanța de la un punct al unuia dintre plane la celălalt plan. Notație:     $\mathrm{dist}(\alpha,\beta) = AA'$, unde:         •  $A∈α$         •  $A'∈β$         •  $AA'⊥β$ Rezultatul nu depinde de punctul ales, toate perpendicularele au aceeași lungime.

d. Teorema celor trei perpendiculare Fie:    •  $\beta$  - un plan    •  $d$  - dreapta perpendiculară pe plan    •  $M$  - un punct pe acestă dreaptă    •  $a,b$  - dreptele perpendiculare în plan    •  $\{B\}$  - intersecția dintre dreptele a și b    Așadar: $\left\{ \begin{array}{l} d \perp \beta \\[1mm] a \perp b \\[1mm] a, b \subset \beta \\[1mm] a \cap b = \{B\} \\[1mm] M \in d, \, d \cap \beta = \{A\} \end{array} \right.$ $\Longrightarrow MB \perp b$