Poligoane regulate înscrise în cerc
Test 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Apotema triunghiului echilateral cu latura de  4 4\,4cm  este egală cu:

2\sqrt{3}\,\text{cm}

\sqrt{3}\,\text{cm}

4\sqrt{3}\,\text{cm}

\frac{2\sqrt{3}}{3}\,\text{cm}

Exercițiul 2

Fie cercul de centru  OOO  și raza  R=10 R=10\,R=10cm...  Apotema triunghiului echilateral înscris în cerc este:

15\,

10\,

5\,

20\,

Exercițiul 3

Fie cercul de centru  OOO  și raza  R=18 R=18\,R=18cm...  Latura triunghiului echilateral înscris în cerc este:

12\sqrt{3}\,\text{cm}

18\sqrt{3}\,\text{cm}

36\,

9\sqrt{3}\,\text{cm}

Exercițiul 4

Apotema unui triunghi echilateral este  23 cm.2\sqrt{3}\,\text{cm}.23​cm.  Aria triunghiului este:

36\,

^2

36\sqrt{3}\,\text{cm}^2

24\sqrt{3}\,\text{cm}^2

18\sqrt{3}\,\text{cm}^2

Exercițiul 5

Apotema unui pătrat cu latura de  10 10\,10cm  este egală cu:

5\,

5\sqrt{2}\,\text{cm}

2.5\,

10\,

Exercițiul 6

Raza cercului circumscris unui pătrat cu latura de  6 6\,6cm  este:

3\sqrt{2}\,\text{cm}

6\sqrt{2}\,\text{cm}

3\,

6\,

Exercițiul 7

Fie cercul de centru  OOO  și raza  R=2 R=2\,R=2cm...  Latura pătratului înscris în acest cerc este de:

2\,

2\sqrt{2}\,\text{cm}

4\sqrt{2}\,\text{cm}

4\,

Exercițiul 8

Fie cercul de centru  OOO  și raza  R=4 R=4\,R=4cm...  Aria pătratului înscris în cerc este de:

32\,

^2

24\,

^2

64\,

^2

16\,

^2

Exercițiul 9

Apotema unui hexagon regulat înscris într-un cerc de rază  63 cm6\sqrt{3}\,\text{cm}63​cm  este egală cu:

12\,

6\,

9\,

18\,

Exercițiul 10

Aria unui hexagon regulat a cărui apotemă este egală cu  43 cm4\sqrt{3}\,\text{cm}43​cm  este de:

48\sqrt{3}\,\text{cm}^2

32\sqrt{3}\,\text{cm}^2

72\sqrt{3}\,\text{cm}^2

96\sqrt{3}\,\text{cm}^2

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: d) $\frac{2\sqrt{3}}{3}\,\text{cm}$

Explicație:Înălțimea triunghiului echilateral este:

h=ℓ32=432=23 cmh=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\,\text{cm}h=2ℓ3​​=243​​=23​cm   

Apotema este o treime din înălțime:
  
ap=h3=233 cma_p=\frac{h}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\,\text{cm}ap​=3h​=323​​cm  .

Exercițiul 2

Răspuns corect: c) $5\,$ cm

Explicație:Pentru triunghiul echilateral înscris în cerc avem relația:

R=2⋅ap⇒10=2⋅apR=2 \cdot a_p \Rightarrow  10=2 \cdot a_pR=2⋅ap​⇒10=2⋅ap​ 

ap=5 a_p=5\,ap​=5cm  .

Exercițiul 3

Răspuns corect: b) $18\sqrt{3}\,\text{cm}$

Explicație:Pentru triunghiul echilateral înscris în cerc avem:  

h=ℓ32h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}h=2ℓ3​​  

R=23⋅h=23⋅ℓ32=ℓ33R=\frac{2}{3}\cdot h=\frac{2}{3}\cdot\frac{\ell\sqrt{3}}{2}=\frac{\ell\sqrt{3}}{3}R=32​⋅h=32​⋅2ℓ3​​=3ℓ3​​ 

Deci:  R=ℓ33⇒ℓ=3R3=R3R=\frac{\ell\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \ell=\frac{3R}{\sqrt{3}}=R\sqrt{3}R=3ℓ3​​⇒ℓ=3​3R​=R3​  

Pentru  R=18 cm⇒ℓ=183 cmR=18\,\text{cm} \Rightarrow \ell=18\sqrt{3}\,\text{cm}R=18cm⇒ℓ=183​cm

Exercițiul 4

Răspuns corect: b) $36\sqrt{3}\,\text{cm}^2$

Explicație:Triunghi echilateral:  

h=3⋅aph=3\cdot a_ph=3⋅ap​ 

h=3⋅23=63 cmh=3\cdot2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\,\text{cm}h=3⋅23​=63​cm 

h=ℓ32⇒ℓ=2⋅h3h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \ell=\frac{2 \cdot h}{\sqrt{3}}h=2ℓ3​​⇒ℓ=3​2⋅h​

h=2⋅633=12 cmh=\frac{2\cdot6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=12\,\text{cm}h=3​2⋅63​​=12cm  

Aria triunghiului echilateral este:  

A=ℓ234A=\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}A=4ℓ23​​ 

A=12234=363 cm2A=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}\,\text{cm}^2A=41223​​=363​cm2

Exercițiul 5

Răspuns corect: a) $5\,$ cm

Explicație:Formula pentru apotema pătratului este:

ap=ℓ2a_p=\frac{\ell}{2}ap​=2ℓ​  

ap=102=5 cma_p=\frac{10}{2}=5\,\text{cm}ap​=210​=5cm 

Exercițiul 6

Răspuns corect: a) $3\sqrt{2}\,\text{cm}$

Explicație:Diagonala pătratului este:

d=ℓ2=62 cmd=\ell\sqrt{2}=6\sqrt{2}\,\text{cm}d=ℓ2​=62​cm   

Diagonala este de două ori mai mare decât raza:  

d=2R⇒R=d2d=2R \Rightarrow R=\frac{d}{2}d=2R⇒R=2d​ 

d=622=32 cmd=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\,\text{cm}d=262​​=32​cm

Exercițiul 7

Răspuns corect: b) $2\sqrt{2}\,\text{cm}$

Explicație:Diagonala pătratului înscris este egală cu diametrul cercului:  

d=2R=2⋅2=4 d=2R=2\cdot2=4\,d=2R=2⋅2=4cm   

Formula diagonalei este:  

d=ℓ2⇒ℓ2=4d=\ell\sqrt{2} \Rightarrow \ell\sqrt{2}=4d=ℓ2​⇒ℓ2​=4

ℓ=42=22 cm\ell=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,\text{cm}ℓ=2​4​=22​cm

Exercițiul 8

Răspuns corect: a) $32\,$ cm $^2$

Explicație:Diagonala pătratului înscris este:  

d=2R=2⋅4=8 d=2R=2\cdot4=8\,d=2R=2⋅4=8cm  

Aria pătratului în funcție de diagonală se calculează cu formula:  

A=d22=822=642=32 cm2A=\frac{d^2}{2}=\frac{8^2}{2}=\frac{64}{2}=32\,\text{cm}^2A=2d2​=282​=264​=32cm2  .

Exercițiul 9

Răspuns corect: c) $9\,$ cm

Explicație:Hexagonul este format din 6 triunghiuri echilaterale. Latura hexagonului este egală cu raza cercului circumscris:

ℓ6=R=63 cm\ell_6=R=6\sqrt{3}\,\text{cm}ℓ6​=R=63​cm  

Apotema hexagonului este egală cu înălțimea unui astfel de triunghi echilateral:  

ap=ℓ32a_p = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}ap​=2ℓ3​​ 

ap=63⋅32=6⋅32=9 cma_p = \frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{6\cdot3}{2}=9\,\text{cm}ap​=263​⋅3​​=26⋅3​=9cm

Exercițiul 10

Răspuns corect: d) $96\sqrt{3}\,\text{cm}^2$

Explicație:Din formula apotemei aflăm latura:  

ap=ℓ32a_p=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}ap​=2ℓ3​​ 

43=ℓ32⇒ℓ=8 cm4\sqrt{3}=\frac{\ell\sqrt{3}}{2} \Rightarrow\ell=8\,\text{cm}43​=2ℓ3​​⇒ℓ=8cm  

Aria hexagonului este formată din 6 arii de triunghiuri echilaterale:  

A6=6⋅ℓ234A_6=6\cdot\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}A6​=6⋅4ℓ23​​

A6=6⋅8234=6⋅163A_6=6\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot16\sqrt{3}A6​=6⋅4823​​=6⋅163​ 

A6=963 cm2A_6=96\sqrt{3}\,\text{cm}^2A6​=963​cm2

Test 1

Poligoane regulate înscrise în cerc

Exercițiul 1

Apotema triunghiului echilateral cu latura de  4 4\,4cm  este egală cu:

Exercițiul 2

Fie cercul de centru  OOO  și raza  R=10 R=10\,R=10cm...  Apotema triunghiului echilateral înscris în cerc este:

Exercițiul 3

Fie cercul de centru  OOO  și raza  R=18 R=18\,R=18cm...  Latura triunghiului echilateral înscris în cerc este:

Exercițiul 4

Apotema unui triunghi echilateral este  23 cm.2\sqrt{3}\,\text{cm}.23​cm.  Aria triunghiului este:

Exercițiul 5

Apotema unui pătrat cu latura de  10 10\,10cm  este egală cu:

Exercițiul 6

Raza cercului circumscris unui pătrat cu latura de  6 6\,6cm  este:

Exercițiul 7

Fie cercul de centru  OOO  și raza  R=2 R=2\,R=2cm...  Latura pătratului înscris în acest cerc este de:

Exercițiul 8

Fie cercul de centru  OOO  și raza  R=4 R=4\,R=4cm...  Aria pătratului înscris în cerc este de:

Exercițiul 9

Apotema unui hexagon regulat înscris într-un cerc de rază  63 cm6\sqrt{3}\,\text{cm}63​cm  este egală cu:

Exercițiul 10

Aria unui hexagon regulat a cărui apotemă este egală cu  43 cm4\sqrt{3}\,\text{cm}43​cm  este de:

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Poligoane regulate înscrise în cercTest 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 1

Poligoane regulate înscrise în cerc
Test 1