Cercul

6.3 Poligoane regulate înscrise în cerc Un poligon regulat înscris într-un cerc este un poligon care are:    • toate laturile egale;    • toate unghiurile egale;    • toate vârfurile pe cerc. Orice poligon regulat poate fi circumscris unui cerc de rază R, numită raza cercului circumscris. De asemenea, în orice poligon regulat se poate înscrie un cerc de rază r, numită raza cercului înscris. Apotema unui poligon regulat este distanța de la centrul cercului circumscris poligonului până la oricare dintre laturile acestuia. Notăm apotema cu  $a_p$, iar este evident că  $a_p=r$, unde  $r$  reprezintă raza cercului înscris în poligon

Cele mai uzuale poligoane regulate înscrise sunt triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul.   Notă: cu cât numărul laturilor este mai mare, cu atât poligonul se apropie mai mult de forma cercului. a. Triunghi echilateral înscris în cerc În acest caz, cercul se împarte în 3 arce egale, iar unghiul la centru este de  $120^\circ$.   Toate laturile triunghiului sunt egale și se pot calcula în funcție de rază. Notații:    • $\ell$ – latura    • $h$ – înălțimea    • $A_4$ – aria triunghiului    • $R$ – raza cercului circumscris    • $a_p$ – apotema (raza cercului înscris în triunghi) Formule de calcul:      $h = \frac{\ell_3 \sqrt{3}}{2},$      $a_p = \frac{h}{3} = \frac{\ell_3 \sqrt{3}}{6}$      $R = \frac{2}{3}h = \frac{\ell_3 \sqrt{3}}{3}$      $A_4 = \frac{\ell_3^2 \sqrt{3}}{4}$

b. Pătratul înscris în cerc Cercul se împarte în 4 arce egale, iar unghiul la centru este de  $90^\circ$.   Diagonala pătratului este egală cu diametrul cercului. Notații:    • $\ell_4$ – latura    • $d_4$ – diagonala    • $A_4$ – aria pătratului    • $R$ – raza cercului circumscris    • $a_p$ – apotema (raza cercului înscris în pătrat) Formule de calcul:      $a_p = \frac{\ell_4}{2}$      $R = \frac{\ell_4 \sqrt{2}}{2}$,  $R = \frac{d_4}{2}$      $A_4 = \ell_4^2$

c. Hexagonul regulat înscris în cerc Cercul se împarte în 6 arce egale, fiecare de  $60^\circ$.   Latura hexagonului este egală cu raza cercului. Notații:    • $\ell_6$ – latura    • $A_6$ – aria hexagonului    • $R$ – raza cercului circumscris    • $a_p$ – apotema (raza cercului înscris în hexagon) Hexagonul regulat este format din 6 triunghiuri echilaterale. Formule de calcul:      $R = \ell_6$      $a_p = \frac{\ell_6 \sqrt{3}}{2}$      $A_6 = 6 A_3 = 6 \cdot \frac{\ell_6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \ell_6^2$