Tipurile de unghiuri asociate cercului
Test 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se iau două puncte  AAA  și  BBB  astfel încât  AB⌢\overset{\frown}{AB}AB⌢  este o treime din cerc. Măsura  AOB^\widehat {AOB}AOB  este egală cu:

60^\circ

90^\circ

120^\circ

180^\circ

Exercițiul 2

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se consideră diametrul  ABABAB  și un punct  CCC  pe cerc. Măsura  ACB^\widehat {ACB}ACB  este:

a) 45°

b) 60°

c) 180°

90^\circ

Exercițiul 3

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se iau punctele  AAA  ,  CCC  și  BBB  în această ordine. Relația dintre  AOB^\widehat {AOB}AOB  și  ACB^\widehat {ACB}ACB  este:

\widehat {AOB} = \widehat {ACB}

\widehat {AOB} = 2\widehat {ACB}

\widehat {ACB} = 2\widehat {AOB}

\widehat {AOB} + \widehat {ACB} = 180^\circ

Exercițiul 4

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se consideră diametrul  AB.AB.AB.  Măsura  AOB^\widehat {AOB}AOB  este:

a) 90°

b) 120°

180^\circ

d) 360°

Exercițiul 5

Punctele  AAA  ,B,B,B  și  CCC  împart cercul în 3 părți egale. Triunghiul  ABCABCABC  format de cele trei puncte este:

a) triunghi dreptunghic

b) triunghi isoscel

c) triunghi scalen

d) triunghi echilateral

Exercițiul 6

Triunghiul dreptunghic  ABCABCABC  înscris într-un cerc de rază  RRR  are ipotenuza  BC.BC.BC.  Lungimea laturii  BCBCBC  este:

BC = 2R

AB = R

BC = R

AC = R/2

Exercițiul 7

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se consideră punctele  A,A,A,  B,B,B,  C,C,C,  D,D,D,  astfel încât  AB⌢=60∘\overset{\frown}{AB} = 60^\circAB⌢=60∘  și  CD⌢=40∘.\overset{\frown}{CD} = 40^\circ.CD⌢=40∘.  Punctul  PPP  este intersecția interioară a coardelor  ADADAD  și  BC.BC.BC.  Măsura  APB^\widehat {APB}APB  este:

40^\circ

50^\circ

60^\circ

70^\circ

Exercițiul 8

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se consideră punctele  A,A,A,  B,B,B,  C,C,C,  DDD  astfel încât  AB⌢=70∘\overset{\frown}{AB} = 70^\circAB⌢=70∘  și  CD⌢=50∘.\overset{\frown}{CD} = 50^\circ.CD⌢=50∘.  Punctul  PPP  este intersecția interioară a coardelor  ADADAD  și  BC.BC.BC.  Măsura  APB^\widehat {APB}APB  este:

60^\circ

50^\circ

70^\circ

80^\circ

Exercițiul 9

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se consideră punctele  A,A,A,  B,B,B,  C,C,C,  DDD  astfel încât  AB⌢=60∘\overset{\frown}{AB} = 60^\circAB⌢=60∘  și  CD⌢=40∘.\overset{\frown}{CD} = 40^\circ.CD⌢=40∘.  Punctul  PPP  situat în exterior este intersecția prelungirilor dreptelor  ACACAC  și  BD.BD.BD.  Măsura  APB^\widehat {APB}APB  este:

5^\circ

10^\circ

15^\circ

20^\circ

Exercițiul 10

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se consideră punctele  A,A,A,  B,B,B,  C,C,C,  DDD  astfel încât  AB⌢=80∘\overset{\frown}{AB} = 80^\circAB⌢=80∘  și  CD⌢=40∘.\overset{\frown}{CD} = 40^\circ.CD⌢=40∘.  Punctul  PPP  situat în exterior este intersecția prelungirilor dreptelor  ACACAC  și  BD.BD.BD.  Măsura  APB^\widehat {APB}APB  este:

5^\circ

10^\circ

15^\circ

20^\circ

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: c) $120^\circ$

Explicație:Unghiul la centru are aceeași măsură ca arcul pe care îl subîntinde. Un cerc întreg are  360∘360^\circ360∘

O treime dintr-un cerc complet înseamnă:

360∘:3=120∘360^\circ : 3 = 120^\circ360∘:3=120∘  

Deci  AOB^=120∘\widehat{AOB}=120^\circAOB=120∘

Exercițiul 2

Răspuns corect: d) $90^\circ$

Explicație:
Unghiul înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde:

ACB^=AB⌢2=180∘2=90∘\widehat {ACB} = \frac{\overset{\frown}{AB}}{2}= \frac{180^\circ}{2}=90^\circACB=2AB⌢​=2180∘​=90∘  

Alta demonstrație:

Orice unghi înscris în cerc care subîntinde un diametru (sau un semicerc de  180∘180^\circ180∘  ) este un unghi drept, prin urmare:

ACB^=90∘\widehat {ACB} = 90^\circACB=90∘  

De reținut:  un triunghi dreptunghic înscris într-un cerc are ipotenuza diametrul cercului.

Exercițiul 3

Răspuns corect: b) $\widehat {AOB} = 2\widehat {ACB}$

Explicație:Unghiul la centru are măsura egală cu măsura arcului subîntins, iar unghiul înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din măsura aceluiași arc.

AOB^=AB⌢,ACB^=AB⌢2\widehat {AOB}=\overset{\frown}{AB},
\qquad
\widehat {ACB}=\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}AOB=AB⌢,ACB=2AB⌢​


De aici rezultă:

AOB^=2⋅ACB^\widehat {AOB}=2 \cdot \widehat {ACB}AOB=2⋅ACB

Exercițiul 4

Răspuns corect: c) $180^\circ$

Explicație:Unghiul la centru are măsura egală cu măsura arcului subîntins:

AOB^=180∘\widehat {AOB} = 180^\circAOB=180∘ 

Exercițiul 5

Răspuns corect: d) triunghi echilateral

Explicație:Cercul fiind împărțit în 3 părți egale, fiecare arc are măsura de:

360∘:3=120∘360^\circ : 3 = 120^\circ360∘:3=120∘

Unghiul înscris în cerc are măsura egală cu jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde, deci:

A^=BC⌢2=120∘2=60∘\widehat{A}=\frac{\overset{\frown}{BC}}{2}
=\frac{120^\circ}{2}
=60^\circA=2BC⌢​=2120∘​=60∘

B^=AC⌢2=120∘2=60∘\widehat{B}=\frac{\overset{\frown}{AC}}{2}
=\frac{120^\circ}{2}
=60^\circB=2AC⌢​=2120∘​=60∘

C^=AB⌢2=120∘2=60∘\widehat{C}=\frac{\overset{\frown}{AB}}{2}
=\frac{120^\circ}{2}
=60^\circC=2AB⌢​=2120∘​=60∘

Rezultă că toate unghiurile triunghiului sunt egale, deci triunghiul este echilateral.

Alta demonstrație:

Cercul fiind împărțit în 3 părți egale, fiecare arc are măsura de:

360∘:3=120∘360^\circ : 3 = 120^\circ360∘:3=120∘  

La arcuri egale corespund coarde egale, deci  AB=BC=AC,AB = BC = AC,AB=BC=AC,  ceea ce înseamnă că triunghiul este echilateral

Exercițiul 6

Răspuns corect: a) $BC = 2R$

Explicație:Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic se află la mijlocul ipotenuzei. Ipotenuza coincide cu diametrul cercului, adică:

BC=2RBC = 2RBC=2R  

Exercițiul 7

Răspuns corect: b) $50^\circ$

Explicație:Măsura unui unghi cu vârful în interiorul cercului este egală cu semisuma măsurilor arcelor cuprinse între laturile sale și prelungirile lor:

APB^=AB^+CD^2\widehat {APB} = \frac{\widehat{AB}+\widehat{CD}}{2}APB=2AB+CD​  

Înlocuind valorile obținem:

APB^=60∘+40∘2=50∘\widehat {APB} = \frac{60^\circ+40^\circ}{2} = 50^\circAPB=260∘+40∘​=50∘

Exercițiul 8

Răspuns corect: a) $60^\circ$

Explicație:Măsura unghiului cu vârful în interiorul cercului se calculează din semisuma arcelor:

APB^=AB^+CD^2\widehat {APB} = \frac{\widehat{AB}+\widehat{CD}}{2}APB=2AB+CD​  

Înlocuind datele problemei:

APB^=70∘+50∘2=60∘\widehat {APB} = \frac{70^\circ+50^\circ}{2} = 60^\circAPB=270∘+50∘​=60∘

Exercițiul 9

Răspuns corect: b) $10^\circ$

Explicație:Măsura unui unghi cu vârful în exteriorul cercului este egală cu semidiferența măsurilor arcelor cuprinse între laturile sale:

APB^=AB^−CD^2\widehat {APB} = \frac{\widehat{AB}-\widehat{CD}}{2}APB=2AB−CD​  

Calculăm valoarea numerică:

APB^=60∘−40∘2=10∘\widehat {APB} = \frac{60^\circ-40^\circ}{2} = 10^\circAPB=260∘−40∘​=10∘

Exercițiul 10

Răspuns corect: d) $20^\circ$

Explicație:Măsura unghiului cu vârful în exteriorul cercului se determină făcând semidiferența arcelor interceptate:

APB^=AB^−CD^2\widehat {APB} = \frac{\widehat{AB}-\widehat{CD}}{2}APB=2AB−CD​  

Înlocuind noile valori ale arcelor:

APB^=80∘−40∘2=20∘\widehat {APB} = \frac{80^\circ-40^\circ}{2} = 20^\circAPB=280∘−40∘​=20∘

Test 1

Tipurile de unghiuri asociate cercului

Exercițiul 1

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se iau două puncte  AAA  și  BBB  astfel încât  AB⌢\overset{\frown}{AB}AB⌢  este o treime din cerc. Măsura  AOB^\widehat {AOB}AOB  este egală cu:

Exercițiul 2

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se consideră diametrul  ABABAB  și un punct  CCC  pe cerc. Măsura  ACB^\widehat {ACB}ACB  este:

Exercițiul 3

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se iau punctele  AAA  ,  CCC  și  BBB  în această ordine. Relația dintre  AOB^\widehat {AOB}AOB  și  ACB^\widehat {ACB}ACB  este:

Exercițiul 4

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se consideră diametrul  AB.AB.AB.  Măsura  AOB^\widehat {AOB}AOB  este:

Exercițiul 5

Punctele  AAA  ,B,B,B  și  CCC  împart cercul în 3 părți egale. Triunghiul  ABCABCABC  format de cele trei puncte este:

Exercițiul 6

Triunghiul dreptunghic  ABCABCABC  înscris într-un cerc de rază  RRR  are ipotenuza  BC.BC.BC.  Lungimea laturii  BCBCBC  este:

Exercițiul 7

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se consideră punctele  A,A,A,  B,B,B,  C,C,C,  D,D,D,  astfel încât  AB⌢=60∘\overset{\frown}{AB} = 60^\circAB⌢=60∘  și  CD⌢=40∘.\overset{\frown}{CD} = 40^\circ.CD⌢=40∘.  Punctul  PPP  este intersecția interioară a coardelor  ADADAD  și  BC.BC.BC.  Măsura  APB^\widehat {APB}APB  este:

Exercițiul 8

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se consideră punctele  A,A,A,  B,B,B,  C,C,C,  DDD  astfel încât  AB⌢=70∘\overset{\frown}{AB} = 70^\circAB⌢=70∘  și  CD⌢=50∘.\overset{\frown}{CD} = 50^\circ.CD⌢=50∘.  Punctul  PPP  este intersecția interioară a coardelor  ADADAD  și  BC.BC.BC.  Măsura  APB^\widehat {APB}APB  este:

Exercițiul 9

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se consideră punctele  A,A,A,  B,B,B,  C,C,C,  DDD  astfel încât  AB⌢=60∘\overset{\frown}{AB} = 60^\circAB⌢=60∘  și  CD⌢=40∘.\overset{\frown}{CD} = 40^\circ.CD⌢=40∘.  Punctul  PPP  situat în exterior este intersecția prelungirilor dreptelor  ACACAC  și  BD.BD.BD.  Măsura  APB^\widehat {APB}APB  este:

Exercițiul 10

Pe cercul de centru  OOO  și rază  RRR  se consideră punctele  A,A,A,  B,B,B,  C,C,C,  DDD  astfel încât  AB⌢=80∘\overset{\frown}{AB} = 80^\circAB⌢=80∘  și  CD⌢=40∘.\overset{\frown}{CD} = 40^\circ.CD⌢=40∘.  Punctul  PPP  situat în exterior este intersecția prelungirilor dreptelor  ACACAC  și  BD.BD.BD.  Măsura  APB^\widehat {APB}APB  este:

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Tipurile de unghiuri asociate cerculuiTest 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 1

Tipurile de unghiuri asociate cercului
Test 1