Powered by Google Translate

Ecuaţii, inecuaţii şi sisteme de ecuații

6.1 Ecuaţii şi inecuaţii a. Ecuaţii de gradul 1 Ecuațiile de forma а⋅x+b=0а \cdot x+b=0  (cu а≠0а≠0) se rezolvă prin metoda mersului invers. Prin metoda mersului invers:    • adunarea devine scădere    • scăderea devine adunare    • înmulțirea devine împărțire    • împărțirea devine înmulțirea Mai exact:    а⋅x=−bа \cdot x=-b    x=−bаx=- \frac{b}а Exemple:    2⋅x+3=−6⇒2⋅x=−6−32 \cdot x+3=-6 \Rightarrow 2 \cdot x=-6-3 ⇒2⋅x=−9⇒x=−92\Rightarrow 2 \cdot x=-9 \Rightarrow x=- \frac{9}2    3x−5=10⇒3x=15⇒x=53x - 5 = 10 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5    −4x+7=3⇒−4x=−4⇒x=1-4x + 7 = 3 \Rightarrow -4x = -4 \Rightarrow x = 1    5x+2=0⇒5x=−2⇒x=−255x + 2 = 0 \Rightarrow 5x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{5} Două ecuații sunt echivalente dacă au aceleași soluții.
b. Inecuatii de gradul 1 O inecuație de gradul 1 are forma:    a⋅x+b>0a \cdot x + b > 0    a⋅x+b<0a \cdot x + b < 0      a⋅x+b≥0a \cdot x + b \geq 0      a⋅x+b≤0a \cdot x + b \leq 0    • Se aplică aceeași metodă a mersului invers pentru a izola  x.x.    • Atenție: dacă se înmulțește sau se împarte cu un număr negativ, semnul inegalității se inversează. Exemple:      2x+3>7⇒2x>4⇒x>22x + 3 > 7 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2   −2x+3>7⇒−2x>4⇒x<−2-2x + 3 > 7 \Rightarrow -2x > 4 \Rightarrow x < -2    3x−5≤10⇒3x≤15⇒x≤53x - 5 \leq 10 \Rightarrow 3x \leq 15 \Rightarrow x \leq 5   −4x+1≥−7⇒−4x≥−8⇒x≤2-4x + 1 \geq -7 \Rightarrow -4x \geq -8 \Rightarrow x \leq 2   Notă: Soluția unei inecuații este intervalul de valori care satisface relația dată. Două inecuații sunt echivalente dacă au același set de soluții. Ecuațiile și inecuațiile de gradul 1 sunt fundamentale pentru rezolvarea problemelor algebrice și constituie baza pentru ecuațiile de grad superior.
c. Ecuaţii de gradul 2 Ecuațiile de forma а⋅x2+b⋅x+c=0а \cdot x^2 + b\cdot x + c = 0  (cu  а≠0а≠0) se rezolvă prin următoarele etape:    • se stabilesc coeficienții а, b, c.    • se calculează discriminantul ecuației:         ∆=b2−4аc∆=b^2-4аc    • se calculează soluțiile ecuației:         x1,2=−b±Δ2⋅ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a} Analizând formula soluțiilor ecuației se poate vedea că în funcție de valoarea lui ∆ există 3 cazuri și anume:    • dacă  ∆>0∆>0  ecuația are două soluții diferite  x1x_1  și  x2x_2:        x1=−b+Δ2⋅аx_{1} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2 \cdot а}        x2=−b−Δ2⋅аx_{2} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2 \cdot а}    • dacă  ∆=0∆=0  ecuația are o singură soluție:        x1=x2=−b+02⋅аx_{1}=x_{2} = \frac{-b + \sqrt{0}}{2 \cdot а}        x1=x2=−b2⋅аx_{1}=x_{2} = \frac{-b}{2 \cdot а}    • dacă  ∆<0∆<0  ecuația nu soluții reale, deoarece  ∆\sqrt{∆}  nu este definit în ℝ. Exemplul 1: x2+7⋅x+12=0x^2 + 7 \cdot x + 12 = 0 а=1,b=7,c=12а = 1, \quad b = 7, \quad c = 12 Δ=b2−4аc=72−4⋅1⋅12=49−48=1>0\Delta = b^2 - 4аc = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 > 0 x1,2=−7±12⋅1=−7±12x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 1}{2} x1=−7+12=−62=−3x_1 = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 x2=−7−12=−82=−4x_2 = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 Exemplul 2: 4⋅x2−12⋅x+9=04 \cdot x^2 - 12 \cdot x + 9 = 0 а=4,b=−12,c=9а = 4, \quad b = -12, \quad c = 9 Δ=b2−4аc=(−12)2−4⋅4⋅9=144−144=0\Delta = b^2 - 4аc = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 x1=x2=−(−12)+02⋅4=128=32x_1 = x_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{0}}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} Exemplul 3: x2−6⋅x+10=0x^2 - 6 \cdot x + 10 = 0 а=1,b=−6,c=10а = 1, \quad b = -6, \quad c = 10 Δ=b2−4аc=(−6)2−4⋅1⋅10=36−40=−4<0\Delta = b^2 - 4аc = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4 < 0, ecuația nu are soluții reale.