Cercul

6.1 Generalități a. Definiţi și notaţii Cercul este mulțimea tuturor punctelor din plan care se află la aceeași distanță de un punct fix.    • Punctul fix se numește centru.    • Distanța constantă se numește rază. Notații:    • Centrul cercului se notează, de obicei, cu O.    • Raza se notează cu r.    • Cercul cu centrul în O și raza r se notează: C(O, r) Elemente ale cercului (noțiuni de bază):    • Raza – segmentul care unește centrul cercului cu un punct de pe cerc (ex.: OA = r)    • Diametrul – segmentul care unește două puncte ale cercului și trece prin centru - se notează, de obicei, AB - d = 2r    • Coarda – segmentul care unește două puncte de pe cerc (nu neapărat prin centru)    • Arcul de cerc – o porțiune a cercului cuprinsă între două puncte Observații importante:    • Toate razele unui cerc sunt egale.    • Diametrul este cea mai mare coardă a cercului.    • Un cerc este o linie curbă închisă, nu o suprafață. În figura de mai jos:    • OA, OB, OC, OD sunt raze    • AB este diametru    • CD este coardă    • $\overset{\frown}{AB}$  este arc de cerc

Proprietăți:    • două arce ale aceluiași cerc sunt congruente dacă au aceeași lungime (aceeași măsură).          $\overset{\frown}{AC}≅\overset{\frown}{BD}$    • arce congruente determină coarde congruente și invers.          $\overset{\frown}{AC}≅\overset{\frown}{BD}$ ⟺ $AC=BD$    • dacă două coarde sunt congruente, atunci ele se află la aceeași distanță față de centru.          $AC=BD$ ⟺ $d(O,AC)=d(O,BD)$    • dintre două coarde ale aceluiași cerc:          - coarda mai apropiată de centru este mai mare          - coarda mai îndepărtată de centru este mai mică    • dintre două arce ale aceluiași cerc:          - arcul corespunzător coardei mai mari este mai mare          - arcul corespunzător coardei mai mici este mai mic    • diametrul          - este cea mai mare coardă a cercului.          - determină două semicercuri congruente. Într-un cerc: Arce congruente ⟺ Coarde congruente ⟺ Distanțe egale față de centru

c. Poziţiile relative ale unei drepte faţă de cerc Dreaptă exterioară cercului Dreapta a este exterioară cercului dacă nu are niciun punct comun cu cercul. Condiție:  $d(O,d)>r$ Dreaptă tangentă la cerc Dreapta b este tangentă la cerc dacă are un singur punct comun cu cercul, numit punct de tangență. Condiție:  $d(O,d)=r$ Proprietate importantă: Raza dusă la punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă. Observații:    • dintr-un punct de pe cerc se poate duce o singură tangentă.    • dintr-un punct exterior cercului se pot duce două tangente.    • dintr-un punct interior cercului nu se poate duce nicio tangentă. Dreaptă secantă la cerc Dreapta c este secantă la cerc dacă are două puncte comune cu cercul. Condiție:  $d(O,d)<r$

6.2 Tipurile de unghiuri asociate cercului a. Unghi la centru Unghiul la centru este un unghi care are vârful în centrul cercului, iar laturile sunt raze ale cercului. Notație:  $\widehat {AOB},$  unde O este centrul cercului, iar A și B sunt puncte de pe cerc. Proprietăți ale unghiului la centru:    • măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului pe care îl subîntinde:         $\widehat {AOB}=\overset{\frown}{AB}$    • Unghiurile la centru congruente subîntind arce congruente.         $\widehat {AOB} = \widehat {COD}$  $\Rightarrow$  $\overset{\frown}{AB} =\overset{\frown}{CD}$

b. Unghi înscris în cerc Unghiul înscris în cerc este un unghi care are vârful pe cerc și laturile sunt coarde ale cercului. Notație:  $\widehat {ACB},$  unde C este pe cerc, iar A și B sunt puncte de pe cerc. Proprietăți ale unghiului la centru:    • măsura unui unghi înscris este egală cu jumătate din măsura arcului pe care îl subîntinde:          $\widehat {ACB}=\frac{1}2 \cdot \overset{\frown}{AB}$    • unghiurile înscrise care subîntind același arc sunt congruente.    • unghiul înscris care subîntinde un diametru este unghi drept:          $\widehat {ACB}=90^∘$ Legătura dintre unghiul la centru și unghiul înscris: Dacă unghiul la centru și unghiul înscris subîntind același arc, atunci:          $\widehat {AOB}=2 \cdot \widehat{ACB}$

c. Unghi cu vârful în interiorul cercului Unghiul cu vârful în interiorul cercului este un unghi care are vârful în interiorul cercului, iar laturile trec prin puncte de pe cerc. Notație:  $\widehat {APB},$  unde P este punctul din interiorul cercului, iar A și B sunt puncte de pe cerc. Măsura unghiului cu vârful în interiorul cercului este egală cu jumătate din suma măsurilor arcelor pe care le subîntind laturile sale:         $\widehat {APB} = \frac{\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{CD}}{2}$

d. Unghi cu vârful în exteriorul cercului Unghiul cu vârful în exteriorul cercului este un unghi care are vârful în afara cercului, iar laturile trec prin puncte de pe cerc. Notație:  $\widehat {APB},$  unde P este punctul din exteriorul cercului, iar A și B sunt puncte de pe cerc. Măsura unghiului cu vârful în exteriorul cercului este egală cu jumătate din diferența măsurilor arcelor pe care le subîntind laturile sale:         $\widehat {APB} = \frac{\overset{\frown}{AB} - \overset{\frown}{CD}}{2}$

6.3 Poligoane regulate înscrise în cerc Un poligon regulat înscris într-un cerc este un poligon care are:    • toate laturile egale;    • toate unghiurile egale;    • toate vârfurile pe cerc. Orice poligon regulat poate fi circumscris unui cerc de rază R, numită raza cercului circumscris. De asemenea, în orice poligon regulat se poate înscrie un cerc de rază r, numită raza cercului înscris. Apotema unui poligon regulat este distanța de la centrul cercului circumscris poligonului până la oricare dintre laturile acestuia. Notăm apotema cu  $a_p$, iar este evident că  $a_p=r$, unde  $r$  reprezintă raza cercului înscris în poligon

Cele mai uzuale poligoane regulate înscrise sunt triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul.   Notă: cu cât numărul laturilor este mai mare, cu atât poligonul se apropie mai mult de forma cercului. a. Triunghi echilateral înscris în cerc În acest caz, cercul se împarte în 3 arce egale, iar unghiul la centru este de  $120^\circ$.   Toate laturile triunghiului sunt egale și se pot calcula în funcție de rază. Notații:    • $\ell$ – latura    • $h$ – înălțimea    • $A_4$ – aria triunghiului    • $R$ – raza cercului circumscris    • $a_p$ – apotema (raza cercului înscris în triunghi) Formule de calcul:      $h = \frac{\ell_3 \sqrt{3}}{2},$      $a_p = \frac{h}{3} = \frac{\ell_3 \sqrt{3}}{6}$      $R = \frac{2}{3}h = \frac{\ell_3 \sqrt{3}}{3}$      $A_4 = \frac{\ell_3^2 \sqrt{3}}{4}$

b. Pătratul înscris în cerc Cercul se împarte în 4 arce egale, iar unghiul la centru este de  $90^\circ$.   Diagonala pătratului este egală cu diametrul cercului. Notații:    • $\ell_4$ – latura    • $d_4$ – diagonala    • $A_4$ – aria pătratului    • $R$ – raza cercului circumscris    • $a_p$ – apotema (raza cercului înscris în pătrat) Formule de calcul:      $a_p = \frac{\ell_4}{2}$      $R = \frac{\ell_4 \sqrt{2}}{2}$,  $R = \frac{d_4}{2}$      $A_4 = \ell_4^2$

c. Hexagonul regulat înscris în cerc Cercul se împarte în 6 arce egale, fiecare de  $60^\circ$.   Latura hexagonului este egală cu raza cercului. Notații:    • $\ell_6$ – latura    • $A_6$ – aria hexagonului    • $R$ – raza cercului circumscris    • $a_p$ – apotema (raza cercului înscris în hexagon) Hexagonul regulat este format din 6 triunghiuri echilaterale. Formule de calcul:      $R = \ell_6$      $a_p = \frac{\ell_6 \sqrt{3}}{2}$      $A_6 = 6 A_3 = 6 \cdot \frac{\ell_6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \ell_6^2$