Trapez
Test 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Suma unghiurilor într-un trapez este de:

180^\circ

360^\circ

540^\circ

720^\circ

Exercițiul 2

Un trapez are:

a) toate laturile egale

b) toate unghiurile drepte

c) întotdeauna diagonale egale

d) două laturi paralele

Exercițiul 3

Într-un trapez isoscel  ABCD,ABCD,ABCD,  dacă  B^=2A^,\widehat B=2\widehat A,B=2A,  atunci măsura  A^\widehat AA  este:

30^\circ

45^\circ

60^\circ

120^\circ

Exercițiul 4

Aria unui trapez isoscel cu diagonale perpendiculare, având bazele  AB=20 AB=20\,AB=20cm  și  CD=10 CD=10\,CD=10cm  este:

150\,

^2

200\,

^2

225\,

^2

250\,

^2

Exercițiul 5

Aria unui trapez dreptunghic cu diagonale perpendiculare, având bazele  AB=20 AB=20\,AB=20cm  și  CD=10 CD=10\,CD=10cm  este:

150\sqrt{2}\,\text{cm}^2

150\,

^2

200\,

^2

100\sqrt{2}\,\text{cm}^2

Exercițiul 6

Lungimea liniei mijlocii a unui trapez cu bazele  AB=8 AB=8\,AB=8cm  și  CD=4 CD=4\,CD=4cm  este:

5\,

7\,

8\,

6\,

Exercițiul 7

Aria unui trapez cu linia mijlocie de  12 12\,12cm  și înălțimea de  10 10\,10cm  este:

100\,

^2

120\,

^2

140\,

^2

160\,

^2

Exercițiul 8

Segmentul care unește mijloacele diagonalelor unui trapez cu bazele  AB=10 AB=10\,AB=10cm  și  CD=4 CD=4\,CD=4cm  are lungimea:

2\,

3\,

4\,

5\,

Exercițiul 9

Fie trapezul  ABCDABCDABCD  cu bazele  AB=4 AB=4\,AB=4cm  și  CD=12 CD=12\,CD=12cm...  Dacă  AC=8 AC=8\,AC=8cm,,,  atunci  AOAOAO  este:

2\,

3\,

4\,

5\,

Exercițiul 10

Fie trapezul  ABCDABCDABCD  cu bazele  AB=16 AB=16\,AB=16cm  și  CD=12 CD=12\,CD=12cm...  Dacă  AD∩BC={E},AD \cap BC = \{E\},AD∩BC={E},  atunci raportul dintre aria triunghiului  DECDECDEC  și aria trapezului  ABCDABCDABCD  este:

\frac{3}{4}

\frac{9}{16}

\frac{9}{7}

\frac{7}{9}

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: b) $360^\circ$

Explicație:Un trapez este un patrulater, iar suma unghiurilor interioare într-un patrulater este  360∘.360^\circ.360∘.  

Exercițiul 2

Răspuns corect: d) două laturi paralele

Explicație:Prin definiție, trapezul este un patrulater care are o singură pereche de laturi paralele, numite baze.

Exercițiul 3

Răspuns corect: c) $60^\circ$

Explicație:Într-un trapez, unghiurile alăturate aceleiași laturi neparalele sunt suplementare:

  A^+B^=180∘\widehat A+\widehat B=180^\circA+B=180∘  

Cum:

  B^=2A^\widehat B=2\widehat AB=2A  

rezultă:

  3A^=180∘⇒A^=60∘3\widehat A=180^\circ \Rightarrow \widehat A=60^\circ3A=180∘⇒A=60∘

Exercițiul 4

Răspuns corect: c) $225\,$ cm $^2$

Explicație:Într-un trapez isoscel cu diagonale perpendiculare, înălțimea  hhh  este media aritmetică a bazelor:

  h=AB+CD2h=\frac{AB+CD}{2}h=2AB+CD​  

  h=20+102=15 cmh=\frac{20+10}{2}=15\,\text{cm}h=220+10​=15cm  

Aria trapezului este:

  A=(AB+CD)⋅h2A=\frac{(AB+CD)\cdot h}{2}A=2(AB+CD)⋅h​  

  A=(20+10)⋅152A=\frac{(20+10)\cdot15}{2}A=2(20+10)⋅15​

  A=15⋅15=225 A=15\cdot15=225\,A=15⋅15=225cm2^22

Exercițiul 5

Răspuns corect: a) $150\sqrt{2}\,\text{cm}^2$

Explicație:Într-un trapez dreptunghic cu diagonale perpendiculare, înălțimea  hhh  este media geometrică a bazelor:

  h=AB⋅CDh=\sqrt{AB\cdot CD}h=AB⋅CD​  

  h=20⋅10=102 cmh=\sqrt{20\cdot 10}=10\sqrt{2}\,\text{cm}h=20⋅10​=102​cm  

Aria trapezului este:

  A=(AB+CD)⋅h2A=\frac{(AB+CD)\cdot h}{2}A=2(AB+CD)⋅h​  

  A=(20+10)⋅1022A=\frac{(20+10)\cdot10\sqrt{2}}{2}A=2(20+10)⋅102​​

  A=15⋅102=1502 cm2A=15\cdot10\sqrt{2}=150\sqrt{2}\,\text{cm}^2A=15⋅102​=1502​cm2

Exercițiul 6

Răspuns corect: d) $6\,$ cm

Explicație:Linia mijlocie a trapezului este egală cu media aritmetică a bazelor:

  MN=AB+CD2MN=\frac{AB+CD}{2}MN=2AB+CD​  

  MN=8+42=6 cmMN=\frac{8+4}{2}=6\,\text{cm}MN=28+4​=6cm  

Exercițiul 7

Răspuns corect: b) $120\,$ cm $^2$

Explicație:Aria trapezului este:

  A=(B+b)⋅h2A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}A=2(B+b)⋅h​  

Dar linia mijlocie este  MN=B+b2MN=\frac{B+b}{2}MN=2B+b​  , deci formula devine:

  A=MN⋅hA=MN\cdot hA=MN⋅h  

  A=12⋅10=120 A=12\cdot 10=120\,A=12⋅10=120cm2^22

Exercițiul 8

Răspuns corect: b) $3\,$ cm

Explicație:Lungimea segmentului care unește mijloacele diagonalelor este egală cu semidiferența bazelor:

  EF=AB−CD2EF=\frac{AB-CD}{2}EF=2AB−CD​  

  EF=10−42=3 cmEF=\frac{10-4}{2}=3\,\text{cm}EF=210−4​=3cm  

Exercițiul 9

Răspuns corect: a) $2\,$ cm

Explicație:Diagonalele trapezului determină formarea a două triunghiuri asemenea:

  △AOB∼△COD\triangle AOB \sim \triangle COD△AOB∼△COD ⇒AOOC=ABCD\Rightarrow \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD}⇒OCAO​=CDAB​  

Înlocuind valorile bazelor, obținem:

  AOOC=412=13⇒OC=3AO\frac{AO}{OC} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \Rightarrow OC = 3AOOCAO​=124​=31​⇒OC=3AO  

Știm că  AC=AO+OC=8 AC = AO + OC = 8\,AC=AO+OC=8cm  . Înlocuind pe  OCOCOC  , avem:

  AO+3AO=8AO + 3AO = 8AO+3AO=8

  4AO=8⇒AO=2 4AO = 8 \Rightarrow AO = 2\,4AO=8⇒AO=2cm

Exercițiul 10

Răspuns corect: c) $\frac{9}{7}$

Explicație:Deoarece  CD∥ABCD \parallel ABCD∥AB  , conform Teoremei Fundamentale a Asemănării, avem:

  △DEC∼△AEB\triangle DEC \sim \triangle AEB△DEC∼△AEB  

Raportul de asemănare  kkk  este raportul bazelor:

  k=CDAB=1216=34k = \frac{CD}{AB} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}k=ABCD​=1612​=43​  

Raportul ariilor celor două triunghiuri asemenea este  k2k^2k2  :

  A△DECA△AEB=k2=(34)2=916\frac{A_{\triangle DEC}}{A_{\triangle AEB}} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}A△AEB​A△DEC​​=k2=(43​)2=169​  

Aceasta înseamnă că dacă notăm  A△DEC=9xA_{\triangle DEC} = 9xA△DEC​=9x  , atunci aria întregului triunghi mare este  A△AEB=16xA_{\triangle AEB} = 16xA△AEB​=16x  .

Aria trapezului  ABCDABCDABCD  este diferența dintre cele două arii:

  AABCD=A△AEB−A△DEC=16x−9x=7xA_{ABCD} = A_{\triangle AEB} - A_{\triangle DEC} = 16x - 9x = 7xAABCD​=A△AEB​−A△DEC​=16x−9x=7x  

Raportul cerut este:

  A△DECAABCD=9⋅x7⋅x=97\frac{A_{\triangle DEC}}{A_{ABCD}} = \frac{9 \cdot x}{7 \cdot x} = \frac{9}{7}AABCD​A△DEC​​=7⋅x9⋅x​=79​

Test 1

Trapez

Exercițiul 1

Suma unghiurilor într-un trapez este de:

Exercițiul 2

Un trapez are:

Exercițiul 3

Într-un trapez isoscel  ABCD,ABCD,ABCD,  dacă  B^=2A^,\widehat B=2\widehat A,B=2A,  atunci măsura  A^\widehat AA  este:

Exercițiul 4

Aria unui trapez isoscel cu diagonale perpendiculare, având bazele  AB=20 AB=20\,AB=20cm  și  CD=10 CD=10\,CD=10cm  este:

Exercițiul 5

Aria unui trapez dreptunghic cu diagonale perpendiculare, având bazele  AB=20 AB=20\,AB=20cm  și  CD=10 CD=10\,CD=10cm  este:

Exercițiul 6

Lungimea liniei mijlocii a unui trapez cu bazele  AB=8 AB=8\,AB=8cm  și  CD=4 CD=4\,CD=4cm  este:

Exercițiul 7

Aria unui trapez cu linia mijlocie de  12 12\,12cm  și înălțimea de  10 10\,10cm  este:

Exercițiul 8

Segmentul care unește mijloacele diagonalelor unui trapez cu bazele  AB=10 AB=10\,AB=10cm  și  CD=4 CD=4\,CD=4cm  are lungimea:

Exercițiul 9

Fie trapezul  ABCDABCDABCD  cu bazele  AB=4 AB=4\,AB=4cm  și  CD=12 CD=12\,CD=12cm...  Dacă  AC=8 AC=8\,AC=8cm,,,  atunci  AOAOAO  este:

Exercițiul 10

Fie trapezul  ABCDABCDABCD  cu bazele  AB=16 AB=16\,AB=16cm  și  CD=12 CD=12\,CD=12cm...  Dacă  AD∩BC={E},AD \cap BC = \{E\},AD∩BC={E},  atunci raportul dintre aria triunghiului  DECDECDEC  și aria trapezului  ABCDABCDABCD  este:

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

TrapezTest 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 1

Trapez
Test 1