Patrulater clasic
Test 2

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Paralelogram  ABCDABCDABCD  are  AB=20 AB = 20\,AB=20cm...  Distanța de la  BBB  la  CDCDCD  este  10 10\,10cm...  Aria paralelogramului este:

180\,

^2

220\,

^2

240\,

^2

200\,

^2

Exercițiul 2

Un dreptunghi are perimetrul de  32 32\,32cm,,,  iar lungimea este triplul lățimii. Aria dreptunghiului este:

48\,

^2

60\,

^2

54\,

^2

36\,

^2

Exercițiul 3

Un romb are diagonalele de  8 8\,8cm  și  12 12\,12cm...  Aria este:

60\,

^2

48\,

^2

40\,

^2

96\,

^2

Exercițiul 4

Un romb cu diagonalele  BD=12 BD = 12\,BD=12cm  și  AC=16 AC = 16\,AC=16cm...  Distanța de la  BBB  la  ADADAD  este:

3\,

6\,

9{,}6\,

1{,}5\,

Exercițiul 5

Diagonala unui pătrat cu latura de  10 10\,10cm  este:

10\sqrt{2}\,\text{cm}

20\,

12\sqrt{2}\,\text{cm}

5\sqrt{2}\,\text{cm}

Exercițiul 6

În paralelogramul  ABCDABCDABCD  se cunosc  AB=6 AB = 6\,AB=6cm  și înălțimea  DD′=6 DD'=6\,DD′=6cm...  Aria triunghiului  AOBAOBAOB  este:

12\,

^2

36\,

^2

9\,

^2

24\,

^2

Exercițiul 7

Rombul  ABCDABCDABCD  cu  A^=60∘\widehat{A} = 60^\circA=60∘  și  AB=8 AB = 8\,AB=8cm  are diagonala mare egală cu:

8\,

16\,

8\sqrt{2}\,\text{cm}

8\sqrt{3}\,\text{cm}

Exercițiul 8

Suma dimensiunilor unui dreptunghi este  15 15\,15cm,,,  iar diferența lor este  5 5\,5cm...  Aria este:

40\,

^2

50\,

^2

60\,

^2

45\,

^2

Exercițiul 9

În pătratul ABCD,ABCD,ABCD,  MMM  și  NNN  sunt mijloacele laturilor  ABABAB  și  BC,BC,BC,  iar  MN=3 M{}N = 3\,MN=3cm...  Aria pătratului este:

18\,

^2

48\,

^2

24\,

^2

36\,

^2

Exercițiul 10

Într-un paralelogram  ABCD,AB=12 ABCD, AB = 12\,ABCD,AB=12cm  și înălțimea este  8 8\,8cm...  Pe diagonala  ACACAC  se ia punctul  MMM  astfel încât  AM=14AC.AM = \frac{1}{4}AC.AM=41​AC.  Aria triunghiului  BMDBMDBMD  este:

36\,

^2

24\,

^2

48\,

^2

32\,

^2

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: d) $200\,$ cm $^2$

Explicație:Aria paralelogramului este egal cu produsul dintre bază și înățimea corespunzătoare.

BB′=AA′=10 BB'=AA'=10\,BB′=AA′=10cm

AABCD=20⋅10=200 A_{ABCD} = 20 \cdot 10 = 200\,AABCD​=20⋅10=200cm2^22.

Exercițiul 2

Răspuns corect: a) $48\,$ cm $^2$

Explicație:L+ℓ=16L + \ell = 16L+ℓ=16 , L=3ℓL = 3 \ellL=3ℓ 

P=32 P=32\,P=32cm⇒2(L+ℓ)=32  \Rightarrow 2(L + \ell)=32\,⇒2(L+ℓ)=32cm 

⇒L+ℓ=16 \Rightarrow L + \ell=16\,⇒L+ℓ=16cm 

⇒3ℓ+ℓ=16⇒4ℓ=16\Rightarrow 3\ell+\ell=16 \Rightarrow 4\ell = 16⇒3ℓ+ℓ=16⇒4ℓ=16

⇒ℓ=4 \Rightarrow \ell = 4\,⇒ℓ=4cm , L=12 L = 12\,L=12cm 

A=L⋅ℓA = L \cdot  \ellA=L⋅ℓ

A=12⋅4=48 A = 12 \cdot 4 = 48\,A=12⋅4=48cm2^22.

Exercițiul 3

Răspuns corect: b) $48\,$ cm $^2$

Explicație:Aria rombului este:

 A=d1⋅d22A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}A=2d1​⋅d2​​

 A=8⋅122=48 cm2A = \frac{8 \cdot 12}{2} = 48\,\text{cm}^2A=28⋅12​=48cm2.

Exercițiul 4

Răspuns corect: c) $9{,}6\,$ cm

Explicație:Aria rombului:

A=d1⋅d22=12⋅162=96 cm2A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96\,\text{cm}^2A=2d1​⋅d2​​=212⋅16​=96cm2

sau

A=b⋅h=AD⋅BEA = b \cdot h= AD \cdot BEA=b⋅h=AD⋅BE

Aplicând teorema lui Pitagora în  △AOD\triangle AOD△AOD:
AO2+OD2=AD2AO^2+OD^2=AD^2AO2+OD2=AD2
AD2=100⇒AD=10 AD^2=100 \Rightarrow AD=10\,AD2=100⇒AD=10cm

Egalând cele două arii de mai sus obținem:  

96=10⋅BE96 = 10 \cdot BE96=10⋅BE

BE=9,6 BE= 9,6\,BE=9,6cm

Exercițiul 5

Răspuns corect: a) $10\sqrt{2}\,\text{cm}$

Explicație:A=ℓ2=100 A=\ell^2=100\,A=ℓ2=100cm2^22

sau 

A=d22A=\frac{d^2}{2}A=2d2​

Deci:  d22=100⇒d2=200\frac{d^2}{2}=100 \Rightarrow d^2=2002d2​=100⇒d2=200

d=102 cmd =  10\sqrt{2}\,\text{cm}d=102​cm

Notă: există și formula directă care leagă latura de diagonală,  d=ℓ2,d=\ell \sqrt{2},d=ℓ2​,  însă scopul lecției este aprofundarea ariilor.

Exercițiul 6

Răspuns corect: c) $9\,$ cm $^2$

Explicație:Aria paralelogramului este egal cu produsul dintre bază și înățimea corespunzătoare.

DD′=AA′=6 DD'=AA'=6\,DD′=AA′=6cm

AABCD=6⋅6=36 A_{ABCD}=6 \cdot 6 = 36\,AABCD​=6⋅6=36cm2^22.

AAOB=ABOC=ACOD=ADOAA_{AOB}=A_{B{}O{}C}=A_{COD}=A_{DOA}AAOB​=ABOC​=ACOD​=ADOA​

Deci  AAOB=AABCD4=9 cm2A_{AOB}=\frac{A_{ABCD}}{4}=9\,\text{cm}^2AAOB​=4AABCD​​=9cm2.

Exercițiul 7

Răspuns corect: d) $8\sqrt{3}\,\text{cm}$

Explicație: AB=AD, A^=60∘⇒△ABDAB=AD,\,\widehat{A} = 60^\circ \Rightarrow \triangle ABDAB=AD,A=60∘⇒△ABD  echilateral  

AB=BD=AD=8 AB=BD=AD=8\,AB=BD=AD=8cm

AABD=ℓ234=834=163 cm2A_{ABD}=\frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{8 \sqrt{3}}{4}=16 \sqrt{3}\,\text{cm}^2AABD​=4ℓ23​​=483​​=163​cm2

AABCD=2AABD=323 cm2A_{ABCD}=2 A_{ABD}=32 \sqrt{3}\,\text{cm}^2AABCD​=2AABD​=323​cm2

Dar:  AABCD=AC⋅BD2A_{ABCD} = \frac{AC \cdot BD}{2}AABCD​=2AC⋅BD​

AC⋅BD2=323⇒AC⋅82=323\frac{AC \cdot BD}{2}=32 \sqrt{3} \Rightarrow  \frac{AC \cdot 8}{2}=32 \sqrt{3}2AC⋅BD​=323​⇒2AC⋅8​=323​

4AC=323⇒AC=83 cm4AC=32 \sqrt{3} \Rightarrow AC=8\sqrt{3}\,\text{cm}4AC=323​⇒AC=83​cm.

Exercițiul 8

Răspuns corect: b) $50\,$ cm $^2$

Explicație:L+ℓ=15L + \ell = 15L+ℓ=15  
L−ℓ=5L - \ell = 5L−ℓ=5 

Adunând cele doua relații se obține:  

2L=20⇒L=10 2L=20 \Rightarrow L = 10\,2L=20⇒L=10cm  

Deci:  ℓ=5 \ell = 5\,ℓ=5cm 

A=L⋅ℓA=L \cdot \ellA=L⋅ℓ

A=10⋅5=50 A = 10 \cdot 5 = 50\,A=10⋅5=50cm2^22.

Exercițiul 9

Răspuns corect: a) $18\,$ cm $^2$

Explicație:MNM{}NMN  linie mijlocie în  △ABC\triangle ABC△ABC

MN=AC2⇒AC=6 cmM{}N = \frac{AC}{2} \Rightarrow AC = 6\,\text{cm}MN=2AC​⇒AC=6cm 

deci 

AABCD=AC⋅BD2A_{ABCD} = \frac {AC \cdot BD}{2}AABCD​=2AC⋅BD​

AABCD=622=18 cm2A_{ABCD} = \frac{6^2}{2} = 18\,\text{cm}^2AABCD​=262​=18cm2.

Exercițiul 10

Răspuns corect: b) $24\,$ cm $^2$

Explicație:AABCD=12⋅8=96 A_{ABCD}=12 \cdot 8 = 96\,AABCD​=12⋅8=96cm2^22

AAOB=AAOD=964=24 cm2A_{AOB}=A_{AOD}=\frac{96}{4}=24\,\text{cm}^2AAOB​=AAOD​=496​=24cm2

BMB{}MBM  mediană în  △AOB,\triangle AOB,△AOB,  iar  DMDMDM  mediană în  △AOD.\triangle AOD.△AOD.  Cum mediana împarte un triunghi în 2 triunghiuri de arii egale avem:

ABOM=AAOB2,A_{BOM}=\frac{A_{AOB}}{2},ABOM​=2AAOB​​,  iar  AMOD=AAOD2A_{MOD}=\frac{A_{AOD}}{2}AMOD​=2AAOD​​

ABMD=ABOM+AMODA_{BMD}=A_{BOM}+A_{MOD}ABMD​=ABOM​+AMOD​

ABMD=AAOB2+AAOD2A_{BMD}=\frac{A_{AOB}}{2}+\frac{A_{AOD}}{2}ABMD​=2AAOB​​+2AAOD​​

ABMD=242+242=24 cm2A_{BMD}=\frac{24}{2}+\frac{24}{2}=24\,\text{cm}^2ABMD​=224​+224​=24cm2

Test 2

Patrulater clasic

Exercițiul 1

Paralelogram  ABCDABCDABCD  are  AB=20 AB = 20\,AB=20cm...  Distanța de la  BBB  la  CDCDCD  este  10 10\,10cm...  Aria paralelogramului este:

Exercițiul 2

Un dreptunghi are perimetrul de  32 32\,32cm,,,  iar lungimea este triplul lățimii. Aria dreptunghiului este:

Exercițiul 3

Un romb are diagonalele de  8 8\,8cm  și  12 12\,12cm...  Aria este:

Exercițiul 4

Un romb cu diagonalele  BD=12 BD = 12\,BD=12cm  și  AC=16 AC = 16\,AC=16cm...  Distanța de la  BBB  la  ADADAD  este:

Exercițiul 5

Diagonala unui pătrat cu latura de  10 10\,10cm  este:

Exercițiul 6

În paralelogramul  ABCDABCDABCD  se cunosc  AB=6 AB = 6\,AB=6cm  și înălțimea  DD′=6 DD'=6\,DD′=6cm...  Aria triunghiului  AOBAOBAOB  este:

Exercițiul 7

Rombul  ABCDABCDABCD  cu  A^=60∘\widehat{A} = 60^\circA=60∘  și  AB=8 AB = 8\,AB=8cm  are diagonala mare egală cu:

Exercițiul 8

Suma dimensiunilor unui dreptunghi este  15 15\,15cm,,,  iar diferența lor este  5 5\,5cm...  Aria este:

Exercițiul 9

În pătratul ABCD,ABCD,ABCD,  MMM  și  NNN  sunt mijloacele laturilor  ABABAB  și  BC,BC,BC,  iar  MN=3 M{}N = 3\,MN=3cm...  Aria pătratului este:

Exercițiul 10

Într-un paralelogram  ABCD,AB=12 ABCD, AB = 12\,ABCD,AB=12cm  și înălțimea este  8 8\,8cm...  Pe diagonala  ACACAC  se ia punctul  MMM  astfel încât  AM=14AC.AM = \frac{1}{4}AC.AM=41​AC.  Aria triunghiului  BMDBMDBMD  este:

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Patrulater clasicTest 2

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 2

Patrulater clasic
Test 2