Patrulaterul

b. Patrulater convex Un patrulater se numește convex dacă toate unghiurile sale interioare sunt mai mici de 180°. Într-un patrulater convex:    • toate diagonalele se află în interiorul patrulaterului;    • orice segment care unește două puncte din interiorul său este conținut în interior;    • suma unghiurilor interioare este 360°. Toate patrulaterele „clasice” studiate sunt convexe.

c. Patrulater concav Un patrulater se numește concav dacă are cel puțin un unghi interior mai mare de 180°. Într-un patrulater concav:    • una dintre diagonale se află parțial sau total în exteriorul patrulaterului;    • există segmente ce unesc două puncte din interior, dar ies în exterior;    • suma unghiurilor interioare este tot 360°. Orice patrulater care nu este convex este concav. Mai jos este un exemplu de patrulater concav:

5.2 Patrulater clasic a. Paralelogram Un paralelogram este un patrulater convex cu laturile opuse paralele și congruente. Un patrulater este paralelogram dacă este îndeplinită cel puțin una dintre următoarele condiții:    • are laturile opuse paralele două câte două;    • are laturile opuse congruente două câte două;    • are o pereche de laturi opuse paralele și congruente;    • are unghiurile opuse congruente;    • are unghiurile alăturate suplimentare (suma lor este 180°);    • are diagonalele care se înjumătățesc. Proprietățile paralelogramului:    • Laturile opuse sunt paralele și congruente.    • Unghiurile opuse sunt congruente.    • Unghiurile alăturate sunt suplimentare (suma = 180°).    • Diagonalele se înjumătățesc.

b. Dreptunghi Un dreptunghi este un paralelogram cu toate unghiurile drepte (90°). Un patrulater este dreptunghi dacă este îndeplinită cel puțin una dintre următoarele condiții:    • este paralelogram și are un unghi drept;    • este paralelogram și are diagonalele congruente;    • are toate unghiurile congruente (drepte); Orice dreptunghi este paralelogram, dar nu orice paralelogram este dreptunghi. Proprietățile dreptunghiului:    • Este paralelogram.    • Laturile opuse sunt paralele și congruente.    • Toate unghiurile sunt drepte (90°).    • Diagonalele sunt congruente și se înjumătățesc.

c. Romb Un romb este un paralelogram cu toate laturile congruente. Un patrulater este romb dacă este îndeplinită cel puțin una dintre următoarele condiții:    • este paralelogram și are două laturi alăturate congruente;    • este paralelogram și are diagonalele perpendiculare;    • este paralelogram și are o diagonală bisectoare a unui unghi;    • are toate laturile congruente. Proprietățile rombului:    • Este paralelogram.    • Toate laturile sunt congruente.    • Laturile opuse sunt paralele.    • Unghiurile opuse sunt congruente.    • Unghiurile alăturate sunt suplimentare (suma = 180°).    • Diagonalele sunt perpendiculare.    • Diagonalele se înjumătățesc.    • Diagonalele sunt bisectoare ale unghiurilor.

d. Pătrat Un pătrat este un romb cu toate unghiurile drepte. (Echivalent: un dreptunghi cu toate laturile congruente sau un paralelogram cu toate laturile egale și unghiuri drepte.) Un patrulater este pătrat dacă este îndeplinită cel puțin una dintre următoarele condiții:    • este romb și are un unghi drept;    • este dreptunghi și are laturile congruente;    • are toate laturile congruente și toate unghiurile drepte. Proprietățile pătratului:    • Este romb și dreptunghi.    • Toate laturile sunt congruente.    • Laturile opuse sunt paralele.    • Toate unghiurile sunt drepte (90°).    • Diagonalele sunt egale, perpendiculare și se înjumătățesc.    • Diagonalele sunt bisectoare ale unghiurilor.

e. Aria patrulaterelor Aria paralelogramului      $A = b$ $\cdot h,$  unde  $b$  este baza, iar  $h$  este înălțimea corespunzătoare bazei.

Aria dreptunghiului      $A = L\cdot \ell,$  unde  $L$  este lungimea și  $\ell$  este lățimea.

Aria rombului      $A = a\cdot h$  sau  $A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ unde  $a$  este latura,  $h$  este înălțimea, iar  $d_1$, $d_2$  sunt diagonalele.

Aria pătratului       $A = \ell^2$  sau  $A = \frac{d^2}{2}$ unde  $\ell$  este latura, iar  $d$  este diagonala.

5.3 Trapez Un trapez este un patrulater convex care are o singură pereche de laturi opuse paralele, numite baze. Celelalte două laturi se numesc laturi neparalele (oblice). a. Trapezul    • are o singură pereche de laturi paralele;    • laturile neparalele nu sunt nici egale, nici perpendiculare pe baze.    • unghiurile alăturate aceleiași laturi neparalele sunt suplimentare (suma = 180°);

b. Trapezul isoscel    • laturile neparalele sunt congruente;    • unghiurile de la aceeași bază sunt congruente.    • diagonalele sunt congruente;    • unghiurile alăturate aceleiași laturi neparalele sunt suplimentare (suma = 180°);

Proprietate importantă Într-un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, înălțimea este egală cu media aritmetică a bazelor (înălțimea este egală cu linia mijlocie).

$$h=\frac{B+b}2$$

c. Trapezul dreptunghic    • are două unghiuri drepte;    • una dintre laturile neparalele este perpendiculară pe baze.    • cealaltă latură neparalelă este oblică.

Proprietate importantă Într-un trapez dreptunghic cu diagonalele perpendiculare, înălțimea este egală cu media geometrică a bazelor.

$$h=\sqrt{B \cdot b}$$

d. Linia mijlocie în trapezului Linia mijlocie a trapezului este egală cu  semisuma bazelor:

$$M{}N=\frac{AB+CD}{2}$$

Segmentul care unește mijloacele diagonalelor este egal cu  semidiferența bazelor:

$$EF=\frac{AB-CD}{2}$$

e. Aria trapezului Aria trapezului se calculează cu următoarea formulă:

$$A = \frac{(B + b)\cdot h}{2}$$

unde  $B$  este baza mare,  $b$  este baza mică, iar  $h$  este înălțimea.