Relaţii metrice în triunghi dreptunghic
Test 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

În triunghiul dreptunghic  ABCABCABC , cu  A^=90∘\widehat A=90^\circA=90∘ , se cunosc lungimile laturilor  AB=6 AB=6\,AB=6cm  și  AC=62 cm.AC=6\sqrt{2}\,\text{cm}.AC=62​cm.  Calculați lungimea  BCBCBC .

6\sqrt{2}\,\text{cm}

6\sqrt{3}\,\text{cm}

12\,

12\sqrt{2}\,\text{cm}

Exercițiul 2

În triunghiul dreptunghic  ABCABCABC , cu  A^=90∘\widehat A=90^\circA=90∘ , iar  AD⊥BCAD \perp BCAD⊥BC , se cunosc lungimile laturilor  AB=32 cmAB=3\sqrt{2}\,\text{cm}AB=32​cm  și  AC=42 cm.AC=4\sqrt{2}\,\text{cm}.AC=42​cm.  Lungimea segmentului  BDBDBD  este:

\frac{9\sqrt2}{5}\,\text{cm}

\frac{8\sqrt2}{5}\,\text{cm}

\frac{12\sqrt2}{5}\,\text{cm}

3\sqrt2\,

Exercițiul 3

În triunghiul dreptunghic  ABCABCABC , cu  A^=90∘\widehat A=90^\circA=90∘ , iar  AD⊥BCAD \perp BCAD⊥BC , se cunosc lungimile laturilor  AB=63 AB=6\sqrt3\,AB=63​cm  și  BC=18 BC=18\,BC=18cm...  Lungimea segmentului  CDCDCD  este egală cu:

6\,

9\,

12\,

15\,

Exercițiul 4

În triunghiul dreptunghic  DEFDEFDEF , cu  D^=90∘\widehat D=90^\circD=90∘ , iar  DP⊥EFDP \perp EFDP⊥EF , se cunosc lungimile laturilor  DE=26 DE=2\sqrt6\,DE=26​cm  și  DF=23 DF=2\sqrt3\,DF=23​cm...  Lungimea înălțimii  DPDPDP  este:

\sqrt2\,

2\sqrt2\,

3\sqrt2\,

4\sqrt2\,

Exercițiul 5

În triunghiul dreptunghic  DEFDEFDEF , cu  D^=90∘\widehat D=90^\circD=90∘ , iar  DP⊥EFDP \perp EFDP⊥EF , se cunosc lungimile segmentelor  FP=12 FP=12\,FP=12cm  și  EP=3 EP=3\,EP=3cm...  Înălțimea  DPDPDP  este egală cu:

9\,

15\,

36\,

6\,

Exercițiul 6

În triunghiul dreptunghic  ABCABCABC , cu  A^=90∘\widehat A=90^\circA=90∘ , iar  AD⊥BCAD \perp BCAD⊥BC , se cunosc lungimile laturilor  AB=6 AB=6\,AB=6cm  și  BC=12 BC=12\,BC=12cm...  Lungimea segmentului  CDCDCD  este:

3\,

6\,

9\,

12\,

Exercițiul 7

În triunghiul dreptunghic  ABCABCABC , cu  A^=90∘\widehat A=90^\circA=90∘ , iar  AD⊥BCAD \perp BCAD⊥BC , se cunosc lungimile laturilor  AC=62 cmAC=6\sqrt{2}\,\text{cm}AC=62​cm  și  BC=12 BC=12\,BC=12cm...  Înălțimea triunghiului este:

3\sqrt{2}\,\text{cm}

6\,

6\sqrt{3}\,\text{cm}

12\,

Exercițiul 8

În triunghiul dreptunghic  ABCABCABC , cu  A^=90∘\widehat A=90^\circA=90∘ , iar  AD⊥BCAD \perp BCAD⊥BC , se cunoaște lungimea ipotenuzei  BC=20 BC=20\,BC=20cm . Segmentele  BDBDBD  și  CDCDCD  sunt direct proporționale cu  222  și  3.3.3.  Înălțimea  ADADAD  este de:

4\sqrt{6}\,\text{cm}

2\sqrt{15}\,\text{cm}

6\sqrt{5}\,\text{cm}

12\,

Exercițiul 9

În triunghiul dreptunghic  DEFDEFDEF , cu  D^=90∘\widehat D=90^\circD=90∘ , iar  DP⊥EFDP \perp EFDP⊥EF , se cunosc lungimile laturilor  DE=62 cmDE=6\sqrt{2}\,\text{cm}DE=62​cm  și  EF=102 cm.EF=10\sqrt{2}\,\text{cm}.EF=102​cm.  Calculați lungimea segmentului  FPFPFP .

\frac{16\sqrt{2}}{5}\,\text{cm}

\frac{18}{5}\,\text{cm}

\frac{32}{5}\,\text{cm}

\frac{32\sqrt{2}}{5}\,\text{cm}

Exercițiul 10

În triunghiul dreptunghic  DEFDEFDEF , cu  D^=90∘\widehat D=90^\circD=90∘ , iar  DP⊥EFDP \perp EFDP⊥EF , se cunosc lungimile laturilor  DF=62 cmDF=6\sqrt{2}\,\text{cm}DF=62​cm  și  EF=66 cm.EF=6\sqrt{6}\,\text{cm}.EF=66​cm.  Calculați lungimea segmentului  EPEPEP .

4\sqrt{6}\,\text{cm}

2\sqrt{6}\,\text{cm}

6\sqrt{6}\,\text{cm}

8\sqrt{6}\,\text{cm}

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: b) $6\sqrt{3}\,\text{cm}$

Explicație:Aplicăm teorema lui Pitagora:

AB2+AC2=BC2⇒AB^2+AC^2=BC^2 \RightarrowAB2+AC2=BC2⇒

BC2=62+(62)2BC^2=6^2+(6\sqrt2)^2BC2=62+(62​)2

BC2=36+72=108BC^2=36+72=108BC2=36+72=108

BC=63 BC=6\sqrt3\,BC=63​cm.

Exercițiul 2

Răspuns corect: a) $\frac{9\sqrt2}{5}\,\text{cm}$

Explicație:Aplicăm teorema lui Pitagora:

AB2+AC2=BC2AB^2+AC^2=BC^2AB2+AC2=BC2 

BC2=(32)2+(42)2BC^2=(3\sqrt2)^2+(4\sqrt2)^2BC2=(32​)2+(42​)2

BC2=18+32=50BC^2=18+32=50BC2=18+32=50

BC=52 BC=5\sqrt2\,BC=52​cm

Aplicăm teorema catetei:

AB2=BC⋅BDAB^2=BC\cdot BDAB2=BC⋅BD 

(32)2=52⋅BD(3\sqrt2)^2=5\sqrt2\cdot BD(32​)2=52​⋅BD

18=52⋅BD18=5\sqrt2\cdot BD18=52​⋅BD

BD=925 cmBD=\frac{9\sqrt2}{5}\,\text{cm}BD=592​​cm.

Exercițiul 3

Răspuns corect: c) $12\,$ cm

Explicație:Aplicăm teorema catetei:

AB2=BC⋅BDAB^2=BC\cdot BDAB2=BC⋅BD 

(63)2=18⋅BD(6\sqrt3)^2=18\cdot BD(63​)2=18⋅BD

108=18⋅BD108=18\cdot BD108=18⋅BD

BD=6 BD=6\,BD=6cm

CD=BC−BDCD=BC-BDCD=BC−BD

CD=18−6=12 CD=18-6=12\,CD=18−6=12cm.

Exercițiul 4

Răspuns corect: b) $2\sqrt2\,$ cm

Explicație:Aplicăm teorema lui Pitagora:

DE2+DF2=EF2DE^2+DF^2=EF^2DE2+DF2=EF2 

EF2=(26)2+(23)2EF^2=(2\sqrt6)^2+(2\sqrt3)^2EF2=(26​)2+(23​)2

EF2=24+12=36EF^2=24+12=36EF2=24+12=36

EF=6 EF=6\,EF=6cm

Înălțimea în triunghi dreptunghic:

DP=DE⋅DFEFDP=\frac{DE\cdot DF}{EF}DP=EFDE⋅DF​

DP=26⋅236DP=\frac{2\sqrt6\cdot2\sqrt3}{6}DP=626​⋅23​​

DP=1226DP=\frac{12\sqrt2}{6}DP=6122​​

DP=22 DP=2\sqrt2\,DP=22​cm.

Exercițiul 5

Răspuns corect: d) $6\,$ cm

Explicație:Aplicăm teorema înălțimii:

DP2=EP⋅FPDP^2=EP \cdot FPDP2=EP⋅FP

DP2=12⋅3=36DP^2=12\cdot3=36DP2=12⋅3=36

DP=6 DP=6\,DP=6cm.

Exercițiul 6

Răspuns corect: c) $9\,$ cm

Explicație:Metoda 1:

Aplicăm teorema lui Pitagora:

AB2+AC2=BC2AB^2+AC^2=BC^2AB2+AC2=BC2 

AC2=BC2−AB2AC^2=BC^2-AB^2AC2=BC2−AB2

AC2=122−62=108AC^2=12^2-6^2=108AC2=122−62=108

AC=63 cmAC=6\sqrt{3}\,\text{cm}AC=63​cm

Aplicăm teorema catetei:

AC2=BC⋅CDAC^2=BC\cdot CDAC2=BC⋅CD 

(63)2=12⋅CD(6\sqrt{3})^2=12\cdot CD(63​)2=12⋅CD

108=12⋅CD⇒CD=9 108=12\cdot CD \Rightarrow CD=9\,108=12⋅CD⇒CD=9cm

Metoda 2:

Aplicăm teorema catetei:

AB2=BC⋅BDAB^2=BC\cdot BDAB2=BC⋅BD 

62=12⋅BD6^2=12\cdot BD62=12⋅BD

36=12⋅BD⇒BD=3 36=12\cdot BD \Rightarrow BD=3\,36=12⋅BD⇒BD=3cm

CD=BC−BDCD=BC-BDCD=BC−BD.

CD=12−3=9 CD=12-3=9\,CD=12−3=9cm.

Exercițiul 7

Răspuns corect: b) $6\,$ cm

Explicație:Metoda 1:

Aplicăm teorema lui Pitagora:

AB2+AC2=BC2AB^2+AC^2=BC^2AB2+AC2=BC2 

AB2=BC2−AC2AB^2=BC^2-AC^2AB2=BC2−AC2

AB2=122−(62)2AB^2=12^2-(6\sqrt{2})^2AB2=122−(62​)2

AB2=144−72=72AB^2=144-72=72AB2=144−72=72

AB=62 cmAB=6\sqrt{2}\,\text{cm}AB=62​cm

Înălțimea în triunghi dreptunghic:

AD=AB⋅ACBCAD=\frac{AB\cdot AC}{BC}AD=BCAB⋅AC​

AD=62⋅6212AD=\frac{6\sqrt{2}\cdot6\sqrt{2}}{12}AD=1262​⋅62​​

AD=7212⇒AD=6 cmAD=\frac{72}{12} \Rightarrow AD=6\,\text{cm}AD=1272​⇒AD=6cm

Metoda 2:

Aplicăm teorema catetei:

AC2=BC⋅CDAC^2=BC\cdot CDAC2=BC⋅CD

(62)2=12⋅CD(6\sqrt{2})^2=12\cdot CD(62​)2=12⋅CD

72=12⋅CD⇒CD=6 72=12\cdot CD \Rightarrow CD=6\,72=12⋅CD⇒CD=6cm

BD=BC−CDBD=BC-CDBD=BC−CD

BD=12−6=6 BD=12-6=6\,BD=12−6=6cm

Aplicăm teorema înălțimii:

AD2=BD⋅CDAD^2=BD\cdot CDAD2=BD⋅CD

AD2=6⋅6=36AD^2=6\cdot6=36AD2=6⋅6=36

AD=6 AD=6\,AD=6cm.

Exercițiul 8

Răspuns corect: a) $4\sqrt{6}\,\text{cm}$

Explicație:BD2=CD3=k\frac{BD}2=\frac{CD}3=k2BD​=3CD​=k

BD=2k,CD=3kBD=2k,CD=3kBD=2k,CD=3k

BC=BD+CDBC=BD+CDBC=BD+CD

20=2k+3k20=2k+3k20=2k+3k

20=5k⇒k=420=5k \Rightarrow k=420=5k⇒k=4

BD=2k⇒BD=8 BD=2k \Rightarrow BD=8\,BD=2k⇒BD=8cm

CD=3k⇒CD=12 CD=3k \Rightarrow CD=12\,CD=3k⇒CD=12cm

Aplicăm teorema înălțimii:

AD2=BD⋅CDAD^2=BD\cdot CDAD2=BD⋅CD

AD2=8⋅12=96AD^2=8\cdot12=96AD2=8⋅12=96

AD=46 AD=4\sqrt6\,AD=46​cm.

Exercițiul 9

Răspuns corect: d) $\frac{32\sqrt{2}}{5}\,\text{cm}$

Explicație:Metoda 1:

Aplicăm teorema lui Pitagora:

DE2+DF2=EF2DE^2+DF^2=EF^2DE2+DF2=EF2

DF2=EF2−DE2DF^2=EF^2-DE^2DF2=EF2−DE2

DF2=(102)2−(62)2DF^2=(10\sqrt2)^2-(6\sqrt2)^2DF2=(102​)2−(62​)2

DF2=200−72=128DF^2=200-72=128DF2=200−72=128

DF=82 DF=8\sqrt2\,DF=82​cm

Aplicăm teorema catetei:

DF2=EF⋅FPDF^2=EF\cdot FPDF2=EF⋅FP

(82)2=102⋅FP(8\sqrt2)^2=10\sqrt2\cdot FP(82​)2=102​⋅FP

128=102⋅FP128=10\sqrt2\cdot FP128=102​⋅FP

FP=3225 cmFP=\frac{32\sqrt2}{5}\,\text{cm}FP=5322​​cm

Metoda 2:

Aplicăm teorema catetei:

DE2=EF⋅EPDE^2=EF\cdot EPDE2=EF⋅EP

(62)2=102⋅EP(6\sqrt2)^2=10\sqrt2\cdot EP(62​)2=102​⋅EP

72=102⋅EP72=10\sqrt2\cdot EP72=102​⋅EP

EP=1825 cmEP=\frac{18\sqrt2}{5}\,\text{cm}EP=5182​​cm

FP=EF−EPFP=EF-EPFP=EF−EP

FP=102−1825FP=10\sqrt2-\frac{18\sqrt2}{5}FP=102​−5182​​

FP=3225 cmFP=\frac{32\sqrt2}{5}\,\text{cm}FP=5322​​cm.

Exercițiul 10

Răspuns corect: a) $4\sqrt{6}\,\text{cm}$

Explicație:Metoda 1:

Aplicăm teorema lui Pitagora:

DE2+DF2=EF2DE^2+DF^2=EF^2DE2+DF2=EF2

DE2=EF2−DF2DE^2=EF^2-DF^2DE2=EF2−DF2

DE2=(66)2−(62)2DE^2=(6\sqrt6)^2-(6\sqrt2)^2DE2=(66​)2−(62​)2

DE2=216−72=144DE^2=216-72=144DE2=216−72=144

DE=12 DE=12\,DE=12cm

Aplicăm teorema catetei:

DE2=EF⋅EPDE^2=EF\cdot EPDE2=EF⋅EP

122=66⋅EP12^2=6\sqrt6\cdot EP122=66​⋅EP

144=66⋅EP144=6\sqrt6\cdot EP144=66​⋅EP

EP=46 EP=4\sqrt6\,EP=46​cm

Metoda 2:

Aplicăm teorema catetei:

DF2=EF⋅FPDF^2=EF\cdot FPDF2=EF⋅FP

(62)2=66⋅FP(6\sqrt2)^2=6\sqrt6\cdot FP(62​)2=66​⋅FP

72=66⋅FP72=6\sqrt6\cdot FP72=66​⋅FP

FP=26 FP=2\sqrt6\,FP=26​cm

EP=EF−FPEP=EF-FPEP=EF−FP

EP=66−26EP=6\sqrt6-2\sqrt6EP=66​−26​

EP=46 EP=4\sqrt6\,EP=46​cm.

Test 1

Relaţii metrice în triunghi dreptunghic

Exercițiul 1

În triunghiul dreptunghic  ABCABCABC , cu  A^=90∘\widehat A=90^\circA=90∘ , se cunosc lungimile laturilor  AB=6 AB=6\,AB=6cm  și  AC=62 cm.AC=6\sqrt{2}\,\text{cm}.AC=62​cm.  Calculați lungimea  BCBCBC .

Exercițiul 2

În triunghiul dreptunghic  ABCABCABC , cu  A^=90∘\widehat A=90^\circA=90∘ , iar  AD⊥BCAD \perp BCAD⊥BC , se cunosc lungimile laturilor  AB=32 cmAB=3\sqrt{2}\,\text{cm}AB=32​cm  și  AC=42 cm.AC=4\sqrt{2}\,\text{cm}.AC=42​cm.  Lungimea segmentului  BDBDBD  este:

Exercițiul 3

În triunghiul dreptunghic  ABCABCABC , cu  A^=90∘\widehat A=90^\circA=90∘ , iar  AD⊥BCAD \perp BCAD⊥BC , se cunosc lungimile laturilor  AB=63 AB=6\sqrt3\,AB=63​cm  și  BC=18 BC=18\,BC=18cm...  Lungimea segmentului  CDCDCD  este egală cu:

Exercițiul 4

În triunghiul dreptunghic  DEFDEFDEF , cu  D^=90∘\widehat D=90^\circD=90∘ , iar  DP⊥EFDP \perp EFDP⊥EF , se cunosc lungimile laturilor  DE=26 DE=2\sqrt6\,DE=26​cm  și  DF=23 DF=2\sqrt3\,DF=23​cm...  Lungimea înălțimii  DPDPDP  este:

Exercițiul 5

În triunghiul dreptunghic  DEFDEFDEF , cu  D^=90∘\widehat D=90^\circD=90∘ , iar  DP⊥EFDP \perp EFDP⊥EF , se cunosc lungimile segmentelor  FP=12 FP=12\,FP=12cm  și  EP=3 EP=3\,EP=3cm...  Înălțimea  DPDPDP  este egală cu:

Exercițiul 6

În triunghiul dreptunghic  ABCABCABC , cu  A^=90∘\widehat A=90^\circA=90∘ , iar  AD⊥BCAD \perp BCAD⊥BC , se cunosc lungimile laturilor  AB=6 AB=6\,AB=6cm  și  BC=12 BC=12\,BC=12cm...  Lungimea segmentului  CDCDCD  este:

Exercițiul 7

În triunghiul dreptunghic  ABCABCABC , cu  A^=90∘\widehat A=90^\circA=90∘ , iar  AD⊥BCAD \perp BCAD⊥BC , se cunosc lungimile laturilor  AC=62 cmAC=6\sqrt{2}\,\text{cm}AC=62​cm  și  BC=12 BC=12\,BC=12cm...  Înălțimea triunghiului este:

Exercițiul 8

În triunghiul dreptunghic  ABCABCABC , cu  A^=90∘\widehat A=90^\circA=90∘ , iar  AD⊥BCAD \perp BCAD⊥BC , se cunoaște lungimea ipotenuzei  BC=20 BC=20\,BC=20cm . Segmentele  BDBDBD  și  CDCDCD  sunt direct proporționale cu  222  și  3.3.3.  Înălțimea  ADADAD  este de:

Exercițiul 9

În triunghiul dreptunghic  DEFDEFDEF , cu  D^=90∘\widehat D=90^\circD=90∘ , iar  DP⊥EFDP \perp EFDP⊥EF , se cunosc lungimile laturilor  DE=62 cmDE=6\sqrt{2}\,\text{cm}DE=62​cm  și  EF=102 cm.EF=10\sqrt{2}\,\text{cm}.EF=102​cm.  Calculați lungimea segmentului  FPFPFP .

Exercițiul 10

În triunghiul dreptunghic  DEFDEFDEF , cu  D^=90∘\widehat D=90^\circD=90∘ , iar  DP⊥EFDP \perp EFDP⊥EF , se cunosc lungimile laturilor  DF=62 cmDF=6\sqrt{2}\,\text{cm}DF=62​cm  și  EF=66 cm.EF=6\sqrt{6}\,\text{cm}.EF=66​cm.  Calculați lungimea segmentului  EPEPEP .

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Relaţii metrice în triunghi dreptunghicTest 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 1

Relaţii metrice în triunghi dreptunghic
Test 1