Rezolvarea triunghiurilor

4.2 Noţiuni de trigonometrie a. Sinus, cosinus, tangenta, cotangenta Trigonometria se studiază în triunghiul dreptunghic și ne ajută să calculăm: • lungimi de laturi • măsuri de unghiuri Triunghiul dreptunghic – reamintire • Are un unghi drept (90°) • Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză • Celelalte două laturi se numesc catete Unghiurile ascuțite într-un triunghi dreptunghic: • unghiurile ascuțite sunt mai mici de 90° • suma lor este 90° Funcții trigonometrice: Pentru un unghi ascuțit α: • sinusul:

\text{sin⁡us} α=\frac{\text{cateta opusa}}{\text{ipotenuza}}

• cosinusul:

\text{cosinus } ⁡α=\frac{\text{cateta alaturata}}{\text{ipotenuza}}

• tangenta:

\text{tangenta }⁡ α=\frac{\text{cateta opusa}}{\text{cateta alaturata}}

\text{tangenta }⁡ α=\frac{\text{sinus α}}{\text{cosinus ⁡α}}

\text{tangenta } α=\frac{\text{1}}{\text{cotangenta ⁡α}}

• cotangenta:

\text{cotangenta }⁡ α=\frac{\text{cateta alaturata}}{\text{cateta opusa}}

\text{cotangenta }⁡⁡ α=\frac{\text{cosinus α}}{\text{sinus ⁡α}}

\text{cotangenta }⁡⁡ α=\frac{\text{1}}{\text{tangenta ⁡α}}

Valori importante: Pentru unghiurile speciale de

30^\circ

45^\circ

și

60^\circ

, funcțiile trigonometrice au valori care trebuie cunoscute și memorate.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline\\ \text{ } & \mathbf{ 30° } & \mathbf{ 45°} & \mathbf{ 60°} \\ {}\\ \hline\\ \text{sinus} & \,\dfrac{1}{2}\, & \,\dfrac{\sqrt{2}}{2} \,& \,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\, \\ {}\\ \hline\\ \text{cosinus} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} \\ {}\\ \hline\\ \text{tangenta} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} \\ {}\\ \hline\\ \text{cotangenta} & \sqrt{3} & 1 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ {}\\ \hline \end{array}

Același lucru poate fi formulat astfel:

\begin{array}{r} \text{sinus } 30^\circ \\[6pt] \text{cosinus } 60^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \frac{1}{2} \\[16pt] \begin{array}{r} \text{sinus } 45^\circ \\[6pt] \text{cosinus } 45^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \\[16pt] \begin{array}{r} \text{sinus } 60^\circ \\[6pt] \text{cosinus } 30^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}

\begin{array}{r} \text{tangenta } 30^\circ \\[6pt] \text{cotangenta } 60^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} \\[16pt] \begin{array}{r} \text{tangenta } 45^\circ \\[6pt] \text{cotangenta } 45^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow 1 \\[16pt] \begin{array}{r} \text{tangenta } 60^\circ \\[6pt] \text{cotangenta } 30^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \sqrt{3}

De fapt:

\sin α = \cos (90°−α)

Valorile funcțiilor trigonometrice depind doar de mărimea unghiului, nu de dimensiunea triunghiului. Dacă unghiul crește, sinusul crește, iar cosinusul scade.

Relația fundamentală a trigonometriei Pentru orice unghi ascuțit α are loc relația:

\sin^2 α + \cos^2 α = 1

Această relație arată legătura dintre sinus și cosinus pentru același unghi. Dacă se cunoaște valoarea unei funcții trigonometrice, se poate determina cealaltă folosind această relație. Exemplu: Dacă

\sin α = \frac{1}{2} \Rightarrow

\sin^2 α = \frac{1}{4}

\sin^2 α + \cos^2 α = 1

\cos^2 α = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

\cos^2 α = \frac{\sqrt{3}}{2}

Aplicație: Relația este folosită frecvent în probleme pentru a calcula valori necunoscute și pentru a simplifica expresii trigonometrice.

b. Teorema 30°- 60°- 90° Într-un triunghi dreptunghic, latura care se opune unghiului de 30° este egală cu jumătatea ipotenuzei. Ce înseamnă concret: dacă: • cateta opusă unghiului de

30^\circ =a

atunci: • ipotenuza

= 2a

iar: • cateta opusă unghiului de

60^\circ = a\sqrt{3}

Valorile de mai sus rezultă din valorile funcțiilor trigonometrice:

\sin 30° = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}

\cos 30° = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\sin 60° = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos 60° = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}

Valorile funcțiilor trigonometrice pentru aceste unghiuri se deduc direct din raportul laturilor. Această teoremă permite calculul rapid al laturilor și al valorilor trigonometrice în probleme.

«către subcapitol 4.1

către subcapitol 4.3»