Powered by Google Translate

Rezolvarea triunghiurilor

4.1 Perimetru și aria triunghiului a. Perimetrul triunghiului Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor celor trei laturi. Pentru un  △\triangleABC cu laturile  AB=c,AB=c,  BC=a,BC=a,  AC=b,AC=b,  atunci perimetrul se calculează cu formula:    P=a+b+cP = a + b + c Observație:   Toate laturile trebuie să fie exprimate în aceeași unitate de măsură înainte de a face calculul. Important:   Perimetrul reprezintă lungimea totală a conturului triunghiului, adică distanța parcursă dacă mergem pe toate laturile triunghiului. Aplicație practică:   Perimetrul este folosit în situații reale, de exemplu pentru a calcula lungimea gardului necesar pentru a împrejmui un teren de formă triunghiulară. b. Aria triunghiului oarecare Aria unui triunghi reprezintă suprafața ocupată de triunghi în plan. Important:   Înălțimea unui triunghi este perpendiculară pe latura pe care cade și formează un unghi de 90∘90^\circ cu aceasta. Relație generală:   Aria se calculează ca jumătate din produsul unei laturi și al înălțimii corespunzătoare:      A=a⋅ha2=b⋅hb2=c⋅hc2A = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2} Aplicație practică:   Aria triunghiului este folosită pentru a determina suprafețe în construcții, arhitectură sau pentru a calcula dimensiunea unor terenuri de formă triunghiulară. Pentru un  △\triangleABC cu laturile  AB=c,AB=c,  BC=a,BC=a,  AC=b,AC=b,  și înălțimea AD=h,AD=h,  aria se poate calcula cu următoarele formule:    • formula de bază:        A=b⋅h2A = \frac{b \cdot h}{2}    • formula lui Heron:        A=p(p−a)(p−b)(p−c)A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}    • aria cu laturile și raza cercului circumscris:        A=a⋅b⋅c4RA = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R}    • aria în funcție de semiperimetru și raza cercului înscris:        A=p⋅rA = p \cdot r        p=a+b+c2p=\frac{a+b+c}2    • aria cu două laturi și unghiul cuprins între cele două laturi:        A=a⋅b⋅sin⁡α2A = \frac{a \cdot b \cdot \sin \alpha}{2}    • formulă utilă (raport de asemănare):        A1A2=k2\frac{A_1}{A_2} = k^2    • egalitatea ariilor (baze diferite):        a⋅ha2=b⋅hb2=c⋅hc2\frac{a \cdot h_a}{2}=\frac{b \cdot h_b}{2}=\frac{c \cdot h_c}{2} ⇒\Rightarrow        a⋅ha=b⋅hb=c⋅hca \cdot h_a=b \cdot h_b=c \cdot h_c         în orice triunghi produsul dintre bază și înălțimea corespunzătoare rămâne constant
c. Aria triunghiului dreptunghic    • se poate aplica oricare din formulele generale de mai sus    • formula specifică:        A=C1⋅C22A = \frac{C_1 \cdot C_2}{2}  unde  C1C_1 , C2C_2  sunt catetele triunghiului    • a nu se confunda formula ariei cu cea a înălțimii. Înălțimea în triunghiului dreptunghic este:        h=C1⋅C2IPh = \frac{C_1 \cdot C_2}{IP}  unde  C1C_1 , C2C_2  sunt catetele triunghiului, iar  IPIP  este ipotenuza triunghiului d. Aria triunghiului echilateral    • se poate aplica oricare din formulele generale de mai sus    • formula specifică:        A=ℓ2⋅34A =\frac{\ell²\cdot \sqrt{3}}{4}    • a nu se confunda formula ariei cu cea a înălțimii. Înălțimea în triunghiului echilateral este:        h=ℓ⋅32h = \frac{\ell \cdot \sqrt{3}}{2}
4.2 Noţiuni de trigonometrie a. Sinus, cosinus, tangenta, cotangenta Trigonometria se studiază în triunghiul dreptunghic și ne ajută să calculăm:    • lungimi de laturi    • măsuri de unghiuri Triunghiul dreptunghic – reamintire    • Are un unghi drept (90°)    • Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză    • Celelalte două laturi se numesc catete Unghiurile ascuțite într-un triunghi dreptunghic:    • unghiurile ascuțite sunt mai mici de 90°    • suma lor este 90° Funcții trigonometrice: Pentru un unghi ascuțit α:    • sinusul:          sin⁡usα=cateta opusaipotenuza\text{sin⁡us} α=\frac{\text{cateta opusa}}{\text{ipotenuza}}    • cosinusul:          cosinus ⁡α=cateta alaturataipotenuza\text{cosinus } ⁡α=\frac{\text{cateta alaturata}}{\text{ipotenuza}}    • tangenta:          tangenta ⁡α=cateta opusacateta alaturata\text{tangenta }⁡ α=\frac{\text{cateta opusa}}{\text{cateta alaturata}}          tangenta ⁡α=sinus αcosinus ⁡α\text{tangenta }⁡ α=\frac{\text{sinus α}}{\text{cosinus ⁡α}}          tangenta α=1cotangenta ⁡α\text{tangenta } α=\frac{\text{1}}{\text{cotangenta ⁡α}}    • cotangenta:          cotangenta ⁡α=cateta alaturatacateta opusa\text{cotangenta }⁡ α=\frac{\text{cateta alaturata}}{\text{cateta opusa}}          cotangenta ⁡⁡α=cosinus αsinus ⁡α\text{cotangenta }⁡⁡ α=\frac{\text{cosinus α}}{\text{sinus ⁡α}}          cotangenta ⁡⁡α=1tangenta ⁡α\text{cotangenta }⁡⁡ α=\frac{\text{1}}{\text{tangenta ⁡α}}
Valori importante:   Pentru unghiurile speciale de  30∘30^\circ,  45∘45^\circ  și  60∘60^\circ, funcțiile trigonometrice au valori care trebuie cunoscute și memorate.
 30°45°60°sinus 12  22  32 cosinus322212tangenta1313cotangenta3113\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline\\ \text{ } & \mathbf{ 30° } & \mathbf{ 45°} & \mathbf{ 60°} \\ {}\\ \hline\\ \text{sinus} & \,\dfrac{1}{2}\, & \,\dfrac{\sqrt{2}}{2} \,& \,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\, \\ {}\\ \hline\\ \text{cosinus} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} \\ {}\\ \hline\\ \text{tangenta} & \dfrac{1}{\sqrt{3}} & 1 & \sqrt{3} \\ {}\\ \hline\\ \text{cotangenta} & \sqrt{3} & 1 & \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ {}\\ \hline \end{array}
Același lucru poate fi formulat astfel:
sinus 30∘cosinus 60∘}⇒12sinus 45∘cosinus 45∘}⇒22sinus 60∘cosinus 30∘}⇒32\begin{array}{r} \text{sinus } 30^\circ \\[6pt] \text{cosinus } 60^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \frac{1}{2} \\[16pt] \begin{array}{r} \text{sinus } 45^\circ \\[6pt] \text{cosinus } 45^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \\[16pt] \begin{array}{r} \text{sinus } 60^\circ \\[6pt] \text{cosinus } 30^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}
tangenta 30∘cotangenta 60∘}⇒13tangenta 45∘cotangenta 45∘}⇒1tangenta 60∘cotangenta 30∘}⇒3\begin{array}{r} \text{tangenta } 30^\circ \\[6pt] \text{cotangenta } 60^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} \\[16pt] \begin{array}{r} \text{tangenta } 45^\circ \\[6pt] \text{cotangenta } 45^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow 1 \\[16pt] \begin{array}{r} \text{tangenta } 60^\circ \\[6pt] \text{cotangenta } 30^\circ \end{array} \Bigg\} \Rightarrow \sqrt{3}
De fapt:  sin⁡α=cos⁡(90°−α)\sin α = \cos (90°−α) Valorile funcțiilor trigonometrice depind doar de mărimea unghiului, nu de dimensiunea triunghiului. Dacă unghiul crește, sinusul crește, iar cosinusul scade.
Relația fundamentală a trigonometriei Pentru orice unghi ascuțit α are loc relația:      sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 α + \cos^2 α = 1 Această relație arată legătura dintre sinus și cosinus pentru același unghi. Dacă se cunoaște valoarea unei funcții trigonometrice, se poate determina cealaltă folosind această relație. Exemplu:   Dacă  sin⁡α=12⇒\sin α = \frac{1}{2} \Rightarrow  sin⁡2α=14\sin^2 α = \frac{1}{4}   sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 α + \cos^2 α = 1 cos⁡2α=1−14=34\cos^2 α = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}   cos⁡2α=32\cos^2 α = \frac{\sqrt{3}}{2} Aplicație:   Relația este folosită frecvent în probleme pentru a calcula valori necunoscute și pentru a simplifica expresii trigonometrice.
b. Teorema 30°- 60°- 90° Într-un triunghi dreptunghic, latura care se opune unghiului de 30° este egală cu jumătatea ipotenuzei. Ce înseamnă concret: dacă:    • cateta opusă unghiului de  30∘=a30^\circ =a atunci:    • ipotenuza =2a= 2a iar:    • cateta opusă unghiului de  60∘=a360^\circ = a\sqrt{3} Valorile de mai sus rezultă din valorile funcțiilor trigonometrice:    sin⁡30°=a2a=12\sin 30° = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}      cos⁡30°=a32a=32\cos 30° = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}      sin⁡60°=a32a=32\sin 60° = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}      cos⁡60°=a2a=12\cos 60° = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}   Valorile funcțiilor trigonometrice pentru aceste unghiuri se deduc direct din raportul laturilor. Această teoremă permite calculul rapid al laturilor și al valorilor trigonometrice în probleme.
4.3 Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic Se consideră triunghiul dreptunghic  ABCABC  din figura de mai jos, unde:    • A^=90∘\widehat A = 90^\circ    • BCBC – ipotenuza    • AB,ACAB,AC – catetele Din vârful unghiului drept se coboară înălțimea AD pe ipotenuză BC. Așadar:    • BD este  proiecția catetei  AB pe ipotenuză    • DC este  proiecția catetei  AC pe ipotenuză    • AD este  înălțimea  triunghiului dreptunghic În triunghiul dreptunghic, înălțimea coborâtă din unghiul drept împarte ipotenuza în două segmente. Această împărțire permite stabilirea unor relații utile între laturi, cum ar fi calculul lungimii unei catete sau al ipotenuzei. Importanță practică:   Relațiile metrice din triunghiul dreptunghic sunt folosite pentru a determina lungimi necunoscute atunci când sunt cunoscute doar unele laturi sau unghiuri. Aceste relații sunt fundamentale în trigonometrie și în rezolvarea problemelor geometrice. Exemplu intuitiv:   Dacă cunoaștem lungimea înălțimii AD și a unei proiecții (BD sau DC), putem determina ușor lungimea catetei corespunzătoare sau a ipotenuzei folosind teoremele lui Pitagora și proprietățile triunghiului dreptunghic.
a. Teorema lui Pitagora Suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei:    catetă²+catetă²=ipotenuză²   ⇒AB2+AC2=BC2\Rightarrow \boxed{AB^2 + AC^2 = BC^2} Exemplul 1 În triunghiul dreptunghic  ABCABC  cu  AD⊥BC,AD \perp BC,  se dau:  AB=6 AB=6\,cm  și  AC=8 AC=8\,cm..   Calculați ipotenuza  BC.BC. AB2+AC2=BC2AB^2+AC^2=BC^2 62+82=BC2⇒36+64=BC26^2+8^2=BC^2 \Rightarrow 36+64=BC^2 100=BC2⇒BC=10 100=BC^2 \Rightarrow BC=10\,cm Exemplul 2 În triunghiul dreptunghic  ABCABC  cu  AD⊥BC,AD \perp BC,  se dau:  BC=13 BC=13\,cm  și  AB=5 AB=5\,cm..   Calculați cateta  AC.AC. Aplicăm teorema lui Pitagora: AB2+AC2=BC2AB^2+AC^2=BC^2 52+AC2=132⇒25+AC2=1695^2+AC^2=13^2 \Rightarrow 25+AC^2=169 AC2=144⇒AC=12 AC^2=144 \Rightarrow AC=12\,cm
b. Teorema catetei Cateta este media geometrică dintre ipotenuză și proiecția sa pe ipotenuză:    catetă² = ipotenuză × proiecție   ⇒AB2=BC⋅BDAC2=BC⋅DC\Rightarrow \boxed{ \begin{aligned} AB^2 &= BC \cdot BD\\ AC^2 &= BC \cdot DC \end{aligned} } Exemplul 1 În triunghiul dreptunghic  ABCABC  cu  AD⊥BC,AD \perp BC,  se dau:  BC=25 BC=25\,cm  și  BD=9 BD=9\,cm..  Calculați cateta  AB.AB. Aplicăm teorema catetei: AB2=BC⋅BDAB^2=BC \cdot BD AB2=25⋅9AB^2=25 \cdot 9 AB2=225⇒AB=15 AB^2=225 \Rightarrow AB=15\,cm Exemplul 2 În triunghiul dreptunghic  ABCABC  cu  AD⊥BC,AD \perp BC,  se dau:  BC=20 BC=20\,cm  și  DC=16 DC=16\,cm..  Calculați cateta  AC.AC. AC2=BC⋅DCAC^2=BC \cdot DC AC2=20⋅16AC^2=20 \cdot 16 AC2=320⇒AC=85 cmAC^2=320 \Rightarrow AC=8\sqrt{5}\,\text{cm}
c. Teorema înălțimii Înălțimea pe ipotenuză este media geometrică a proiecțiilor catetelor:      înălțime2^2 = proiecție × proiecție   ⇒AD2=BD⋅DC\Rightarrow \boxed{AD^2 = BD \cdot DC} Înălțimea se mai poate calcula în funcție de catete și ipotenuză:      înălțime2^2 = C1×C2IP⇒AD=AB⋅ACBC\frac{C_1 × C_2}{IP}\Rightarrow \boxed{AD = \frac{AB \cdot AC}{BC}} Exemplul 1 În triunghiul dreptunghic  ABCABC  cu  AD⊥BC,AD \perp BC,  se dau:  BD=4 BD=4\,cm  și  DC=9 DC=9\,cm..  Calculați  AD.AD. AD2=BD⋅DCAD^2=BD \cdot DC AD2=4⋅9AD^2=4 \cdot 9 AD2=36⇒AD=6 AD^2=36 \Rightarrow AD=6\,cm Exemplul 2 În triunghiul dreptunghic  ABCABC  cu  AD⊥BC,AD \perp BC,  se dau:  AB=15 AB=15\,cm,, AC=20 AC=20\,cm  și  BC=25 BC=25\,cm..  Calculați  AD.AD. AD=AB⋅ACBCAD=\frac{AB \cdot AC}{BC} AD=15⋅2025AD=\frac{15 \cdot 20}{25} AD=30025AD=\frac{300}{25} AD=12 AD=12\,cm