Linii importante in triunghi
Test 2

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Fie triunghiul dreptunghic  ABCABCABC  cu  A^=90∘\widehat A = 90^\circA=90∘  și  MMM  mijlocul ipotenuzei  BC.BC.BC.  Lungimea   AMAMAM  este egală cu:

\frac{2BC}{3}

\frac{3BC}{4}

\frac{BC}{2}

\frac{3BC}{2}

Exercițiul 2

Se dă triunghiul echilateral  ABCABCABC  cu  AB=6 AB = 6\,AB=6cm...  Punctul  GGG  este punctul de intersecție al medianelor.  Dacă  A′A'A′  este mijlocul laturii  BC,BC,BC,  atunci lungimea lui  GA′GA'GA′  este:

\sqrt{3}\,\text{cm}

2\sqrt{3}\,\text{cm}

\frac{\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}

\frac{3\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}

Exercițiul 3

Fie triunghiul  ABCABCABC  cu  A^=120∘\widehat A = 120^\circA=120∘  și  HHH  ortocentrul triunghiului. Punctul  HHH  este situat:

a) în interiorul triunghiului

b) pe una dintre laturi

c) în mijlocul unei laturi

d) în exteriorul triunghiului

Exercițiul 4

Fie triunghiul  ABCABCABC  și  MMM  mijlocul laturii  AC.AC.AC.  Aria triunghiului  ABMABMABM  este:

A_{ABM}= A_{ABC}

A_{ABM}= \frac{A_{ABC}}{2}

A_{ABM}= 2A_{ABC}

A_{ABM}= \frac{A_{ABC}}{4}

Exercițiul 5

În triunghiul  ABCABCABC  cunoaștem următoarele:  AB=12 AB = 12\,AB=12cm ,  AC=18 AC = 18\,AC=18cm  și  BC=15 BC = 15\,BC=15cm...  Dacă  ADADAD  este bisectoarea  BAC^,\widehat {BAC},BAC,  atunci lungimea lui  DCDCDC  este:

6\,

7\,

9\,

10\,

Exercițiul 6

În triunghiul  ABCABCABC  cunoaștem următoarele:  AB=8 AB = 8\,AB=8cm ,  AC=10 AC = 10\,AC=10cm  și  BC=12 BC = 12\,BC=12cm...  Dacă  ADADAD  este bisectoarea  BAC^,\widehat {BAC},BAC,  atunci lungimea lui  BDBDBD  este:

4\,

\frac{16}{3}\,\text{cm}

8\,

\frac{10}{3}\,\text{cm}

Exercițiul 7

Fie triunghiul dreptunghic  ABC,ABC,ABC,  cu  A^=90∘,AB=6 \widehat A = 90^\circ, AB = 6\,A=90∘,AB=6cm ,  AC=8 AC = 8\,AC=8cm  și  BC=10 BC = 10\,BC=10cm...  Raza cercului circumscris triunghiului este egală cu:

10\,

8\,

5\,

4\,

Exercițiul 8

În triunghiul dreptunghic  ABC,ABC,ABC,  cu  A^=90∘,AB=6 \widehat A = 90^\circ, AB = 6\,A=90∘,AB=6cm ,  AC=8 AC = 8\,AC=8cm  și  BC=10 BC = 10\,BC=10cm...  Dacă  AD⊥BC,AD \perp BC,AD⊥BC,  atunci lungimea lui  ADADAD  este:

4.8\,

5\,

6\,

7.2\,

Exercițiul 9

Fie triunghiul  ABCABCABC  cu  B^=50∘,C^=70∘,\widehat B = 50^\circ, \widehat C = 70^\circ,B=50∘,C=70∘,  iar  AI,BI,CIAI, BI,CIAI,BI,CI  bisectoare. Măsura unghiului  AIB^\widehat{AIB}AIB  este:

100^\circ

110^\circ

120^\circ

125^\circ

Exercițiul 10

Fie triunghiul  ABCABCABC  și punctele  M,M,M,  NNN  și  PPP  mijloacele laturilor sale. Perimetrul triunghiului  MNPMNPMNP  este:

P_{MNP}= P_{ABC}

P_{MNP}= \frac{P_{ABC}}{2}

P_{MNP}= 2P_{ABC}

P_{MNP}= \frac{P_{ABC}}{4}

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: c) $\frac{BC}{2}$

Explicație:Într-un triunghi dreptunghic, mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de cele trei vârfuri.

Rezultă:

AM=BM=CM=BC2AM = B{}M = CM = \frac{BC}{2}AM=BM=CM=2BC​

Exercițiul 2

Răspuns corect: a) $\sqrt{3}\,\text{cm}$

Explicație:Într-un triunghi echilateral, medianele sunt și înălțimi.

În triunghi echilateral:  h=ℓ32h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}h=2ℓ3​​

Deci:  AA′=AB32=33 cmAA' =\frac{AB\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\,\text{cm}AA′=2AB3​​=33​cm

Centrul de greutate împarte medianele în raport  2:1.2:1.2:1.

GA′=13AA′GA' = \frac{1}{3}AA'GA′=31​AA′

GA′=13⋅33=3 cmGA' = \frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{3}=\sqrt{3}\,\text{cm}GA′=31​⋅33​=3​cm

Exercițiul 3

Răspuns corect: d) în exteriorul triunghiului

Explicație:Într-un triunghi obtuzunghic, ortocentrul este situat în exteriorul triunghiului.

Reamintim: 

În triunghiul ascuțitunghic, ortocentrul este situat în interiorul triunghiului.

În triunghiul dreptunghic, ortocentrul este vârful unghiului drept.

Exercițiul 4

Răspuns corect: b) $A_{ABM}= \frac{A_{ABC}}{2}$

Explicație:Pentru că  MMM  este mijlocul laturii  AC,AC,AC,  triunghiurile  ABMABMABM  și  BCMBCMBCM  au aceeași arie (mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale).

Rezultă:

AABM=12AABCA_{ABM}=\frac{1}{2}A_{ABC}AABM​=21​AABC​

Exercițiul 5

Răspuns corect: c) $9\,$ cm

Explicație:Aplicăm teorema bisectoarei:

BDDC=ABAC=1218=23\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}DCBD​=ACAB​=1812​=32​

Deci:  BDDC=23⇒BD2=DC3=k\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{BD}{2}=\frac{DC}{3}=kDCBD​=32​⇒2BD​=3DC​=k

Notăm:

BD=2k,DC=3kBD=2k,\quad DC=3kBD=2k,DC=3k

BD+DC=BCBD+DC=BCBD+DC=BC

2k+3k=15⇒5k=15⇒k=32k+3k=15 \Rightarrow 5k=15 \Rightarrow k=32k+3k=15⇒5k=15⇒k=3

DC=3k=9 DC=3k=9\,DC=3k=9cm

Exercițiul 6

Răspuns corect: b) $\frac{16}{3}\,\text{cm}$

Explicație:Aplicăm teorema bisectoarei:

BDDC=ABAC=810=45\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}DCBD​=ACAB​=108​=54​

Deci:  BDDC=45⇒BD4=DC5=k\frac{BD}{DC}=\frac{4}{5} \Rightarrow \frac{BD}{4}=\frac{DC}{5}=kDCBD​=54​⇒4BD​=5DC​=k

Notăm:

BD=4k,DC=5kBD=4k,\quad DC=5kBD=4k,DC=5k

BD+DC=BCBD+DC=BCBD+DC=BC

4k+5k=12⇒9k=12⇒k=434k+5k=12 \Rightarrow 9k=12 \Rightarrow k=\frac{4}{3}4k+5k=12⇒9k=12⇒k=34​

BD=4k=4⋅43=163 cmBD=4k=4 \cdot\frac{4}{3} =\frac{16}{3}\,\text{cm}BD=4k=4⋅34​=316​cm

Exercițiul 7

Răspuns corect: c) $5\,$ cm

Explicație:Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris (circumcentrul) este mijlocul ipotenuzei.

Raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză:

R=BC2=102=5 cmR=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\,\text{cm}R=2BC​=210​=5cm

Exercițiul 8

Răspuns corect: a) $4.8\,$ cm

Explicație:Egalăm ariile triunghiului:

AB⋅AC2=BC⋅AD2\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{BC\cdot AD}{2}2AB⋅AC​=2BC⋅AD​

6⋅82=10⋅AD2\frac{6\cdot 8}{2}=\frac{10\cdot AD}{2}26⋅8​=210⋅AD​

48=10⋅AD48=10\cdot AD48=10⋅AD

AD=4.8 AD=4.8\,AD=4.8cm

sau folosind formula:

AD=AB⋅ACBCAD=\frac{AB \cdot AC}{BC}AD=BCAB⋅AC​

AD=6⋅810AD=\frac{6 \cdot 8}{10}AD=106⋅8​

AD=4810AD=\frac{48}{10}AD=1048​

AD=4.8 AD=4.8\,AD=4.8cm

Exercițiul 9

Răspuns corect: d) $125^\circ$

Explicație:Calculăm mai întâi:

A^=180∘−50∘−70∘=60∘\widehat A = 180^\circ-50^\circ-70^\circ=60^\circA=180∘−50∘−70∘=60∘

Apoi:

AIB^=180∘−A^2−B^2\widehat {AIB} = 180^\circ  -\frac{\widehat A}{2}-\frac{\widehat B}{2}AIB=180∘−2A​−2B​

AIB^=180∘−A^+B^2\widehat {AIB}= 180^\circ  - \frac{\widehat A+\widehat B}{2}AIB=180∘−2A+B​

AIB^=180∘−60∘+50∘2\widehat {AIB} = 180^\circ  - \frac{60^\circ + 50^\circ}{2}AIB=180∘−260∘+50∘​

AIB^=180∘−55∘\widehat {AIB}= 180^\circ  - 55^\circAIB=180∘−55∘

AIB^=125∘\widehat {AIB}= 125^\circAIB=125∘

Exercițiul 10

Răspuns corect: b) $P_{MNP}= \frac{P_{ABC}}{2}$

Explicație:Triunghiul  MNPMNPMNP  este triunghiul mijlociu.

Fiecare latură a sa este egală cu jumătate din latura corespunzătoare a triunghiului  ABC:ABC:ABC:

MN=BC2M{}N=\frac{BC}{2}MN=2BC​

NP=AB2NP=\frac{AB}{2}NP=2AB​

MP=AC2MP=\frac{AC}{2}MP=2AC​

Rezultă:

PMNP=12PABCP_{MNP}=\frac{1}{2}P_{ABC}PMNP​=21​PABC​

Test 2

Linii importante in triunghi

Exercițiul 1

Fie triunghiul dreptunghic  ABCABCABC  cu  A^=90∘\widehat A = 90^\circA=90∘  și  MMM  mijlocul ipotenuzei  BC.BC.BC.  Lungimea   AMAMAM  este egală cu:

Exercițiul 2

Se dă triunghiul echilateral  ABCABCABC  cu  AB=6 AB = 6\,AB=6cm...  Punctul  GGG  este punctul de intersecție al medianelor.  Dacă  A′A'A′  este mijlocul laturii  BC,BC,BC,  atunci lungimea lui  GA′GA'GA′  este:

Exercițiul 3

Fie triunghiul  ABCABCABC  cu  A^=120∘\widehat A = 120^\circA=120∘  și  HHH  ortocentrul triunghiului. Punctul  HHH  este situat:

Exercițiul 4

Fie triunghiul  ABCABCABC  și  MMM  mijlocul laturii  AC.AC.AC.  Aria triunghiului  ABMABMABM  este:

Exercițiul 5

În triunghiul  ABCABCABC  cunoaștem următoarele:  AB=12 AB = 12\,AB=12cm ,  AC=18 AC = 18\,AC=18cm  și  BC=15 BC = 15\,BC=15cm...  Dacă  ADADAD  este bisectoarea  BAC^,\widehat {BAC},BAC,  atunci lungimea lui  DCDCDC  este:

Exercițiul 6

În triunghiul  ABCABCABC  cunoaștem următoarele:  AB=8 AB = 8\,AB=8cm ,  AC=10 AC = 10\,AC=10cm  și  BC=12 BC = 12\,BC=12cm...  Dacă  ADADAD  este bisectoarea  BAC^,\widehat {BAC},BAC,  atunci lungimea lui  BDBDBD  este:

Exercițiul 7

Fie triunghiul dreptunghic  ABC,ABC,ABC,  cu  A^=90∘,AB=6 \widehat A = 90^\circ, AB = 6\,A=90∘,AB=6cm ,  AC=8 AC = 8\,AC=8cm  și  BC=10 BC = 10\,BC=10cm...  Raza cercului circumscris triunghiului este egală cu:

Exercițiul 8

În triunghiul dreptunghic  ABC,ABC,ABC,  cu  A^=90∘,AB=6 \widehat A = 90^\circ, AB = 6\,A=90∘,AB=6cm ,  AC=8 AC = 8\,AC=8cm  și  BC=10 BC = 10\,BC=10cm...  Dacă  AD⊥BC,AD \perp BC,AD⊥BC,  atunci lungimea lui  ADADAD  este:

Exercițiul 9

Fie triunghiul  ABCABCABC  cu  B^=50∘,C^=70∘,\widehat B = 50^\circ, \widehat C = 70^\circ,B=50∘,C=70∘,  iar  AI,BI,CIAI, BI,CIAI,BI,CI  bisectoare. Măsura unghiului  AIB^\widehat{AIB}AIB  este:

Exercițiul 10

Fie triunghiul  ABCABCABC  și punctele  M,M,M,  NNN  și  PPP  mijloacele laturilor sale. Perimetrul triunghiului  MNPMNPMNP  este:

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Linii importante in triunghiTest 2

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 2

Linii importante in triunghi
Test 2