Triunghi

3.3 Linii importante in triunghi a. Mediana Mediana este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Medianele se intersectează într-un punct numit centru de greutate, notat cu  $G.$ Punctul  $G$  împarte fiecare mediană în raport 2:1 (partea mai mare este spre vârf):    $AG=\frac{2}3 AA'$    $BG=\frac{2}3 BB'$    $C{}G=\frac{2}3 CC'$ sau    $A'G=\frac{1}3 AA'$    $B'G=\frac{1}3 BB'$    $C'G=\frac{1}3 CC'$ De reținut: mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale.

În triunghi dreptunghic mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză. În figura de mai jos:  $AM=B{}M=CM$

b. Înălțimea Înălțimea este perpendiculara dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă (sau pe prelungirea ei). Înălțimile se intersectează într-un punct numit ortocentru, notat cu  $H.$ Înălțimea poate fi:    • în interior (triunghi ascuțitunghic)    • pe latură (triunghi dreptunghic)    • în exterior (triunghi obtuzunghic) În triunghiul ascuțitunghic ortocentrul este în interior triunghiului.

În triunghiul dreptunghic ortocentrul este vârful unghiului drept.

În triunghiul obtuzunghic ortocentrul este în exteriorul triunghiului.

c. Bisectoarea Bisectoarea este semidreapta care împarte unghiul în două unghiuri egale. Bisectoarele se intersectează într-un punct numit centrul cercului înscris în triunghi (incentru), notat cu  $I.$  Centrul cercului înscris în triunghi este egal depărtat de laturile triunghiului. Distanța dintre centrul cercului înscris în triunghi și laturile triunghiului se notează cu r și se numește raza cercului înscris în triunghi.

Teorema bisectoarei Într-un triunghi, bisectoarea unui unghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile care formează acel unghi. $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$

d. Mediatoarea Mediatoarea unei laturi este perpendiculara dusă prin mijlocul laturii. Mediatoarele se intersectează într-un punct numit centrul cercului circumscris triunghiului (circumcentru), notat cu  $O$$.$  Centrul cercului circumscris triunghiului este egal depărtat de vârfurile triunghiului. Distanța dintre vârfurile triunghiului și cercului circumscris triunghiului se notează cu R și se numește raza cercului circumscris triunghiului. În exemplul de mai jos: AO=BO=CO=R

e. Linia mijlocie Linia mijlocie este segmentul care unește mijloacele a două laturi ale triunghiului.    • Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură.    • Lungimea liniei mijlocii este jumătate din lungimea celei de-a treia laturi. În exemplul de mai jos:    $MN || BC$    $M{}N=\frac{BC}2$    $MP || AC$    $MP=\frac{AC}2$    $NP || AB$    $NP=\frac{AB}2$