Mulțimea numerelor raționale

3.3 Mărimi proporţionale a. Mărimi direct proporţionale. Regula de trei simplă Două mărimi sunt direct proporţionale dacă depind în mod direct una de alta, astfel încât dacă una se mărește de un număr de ori, atunci și cealaltă se mărește de același număr de ori, respectiv dacă una se micșorează de un număr de ori, atunci și cealaltă se micșorează de același număr de ori. Mărimile a și b sunt direct proporţionale (proporţionale) cu mărimile x și y dacă:

\frac{а}{x} = \frac{b}{y} = k \iff а = kx,\; b = ky

k fiind raportul de proporţionalitate. Regula de 3 simplă pentru mărimile direct proporționale: Aflați cât costă 10 kg de cartofi dacă 3 kg costă 6 lei. 3 kg…………………………………….6 lei 10 kg……………………...……………x lei Pentru aflarea necunoscutei se face înmulțirea pe diagonală.

3 \cdot x=10 \cdot 6

x=\frac{10 \cdot 6}3=

20 lei În exemplul de mai sus se poate observa relația directă dintre kg si preț. Cu cât avem mai multe kg prețul va fi mai mare, iar cu cât avem mai puține kg, prețul va fi mai mic.

b. Mărimi invers proporţionale. Regula de trei simplă Două mărimi sunt invers proporţionale dacă depind în mod invers una de alta, astfel încât dacă una se mărește de un număr de ori, atunci cealaltă se micșorează de același număr de ori, respectiv dacă una se micșorează de un număr de ori, atunci cealaltă se mărește de același număr de ori. Mărimile a și b sunt invers proporţionale cu mărimile x și y dacă:

\frac{а}{\frac{1}x} = \frac{b}{\frac{1}y} \iff а \cdot x = b \cdot y = k

\iff а = \frac{k}{x},\; b = \frac{k}{y}

Regula de 3 simplă pentru mărimile invers proporționale: În câte zile termină o lucrare 10 muncitori dacă 3 muncitori termină lucrarea in 20 zile. 3 muncitori ………………………………….20 zile 10 muncitori …………….….......……………y zile Pentru aflarea necunoscutei se face înmulțirea pe linie.

3 \cdot 20=10 \cdot y

y=\frac{3 \cdot 20}{10}=6

zile În exemplul de mai sus se poate observa relația inversă dintre muncitori si zile. Cu cât sunt mai mulți muncitori lucrarea se va termina mai repede, iar cu cât sunt mai puțini muncitori lucrarea va dura mai mult.

c. Probabilitatea Probabilitatea este definită ca raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.

p=\frac{\text{nr cazuri favorabile}}{\text{nr cazuri posibile}}

Rezultatul se scrie, de obicei, sub forma de fracție ireductibilă. Exemplul 1: Se aruncă un zar. Care este probabilitatea să iasă un număr par? - Cazuri favorabile: 2, 4, 6 → 3 cazuri - Cazuri posibile: 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6 cazuri

p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Exemplul 2: Care este probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea divizorilor lui 24 să fie prim? - Cazuri favorabile: 2, 3 → 2 cazuri - Cazuri posibile: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 → 8 cazuri

p = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

Exemplul 3: Care este probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor de două cifre să fie divizibil cu 10? - Cazuri favorabile: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 → 9 cazuri - Cazuri posibile: 10, 11, 12, …, 99 → 90 cazuri

p = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}