Congruenţa și asemănarea triunghiurilor
Test 2

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

În triunghiul  ABCABCABC  punctele  M∈ABM \in ABM∈AB  și  N∈ACN \in ACN∈AC  astfel încât  MN∥BC.M{}N \parallel BC.MN∥BC.  Se cunosc  AM=6 AM = 6\,AM=6cm ,  NC=4 NC = 4\,NC=4cm  și  AC=12 AC = 12\,AC=12cm...  Determinați  MB.MB.MB.

6\,

3\,

2\,

4\,

Exercițiul 2

În triunghiul  ABCABCABC  punctele  M∈ABM \in ABM∈AB  și  N∈ACN \in ACN∈AC  astfel încât  MN∥BC.M{}N \parallel BC.MN∥BC.  Se dau  AB=15 AB = 15\,AB=15cm ,  AC=20 AC = 20\,AC=20cm  și  NC=4 NC = 4\,NC=4cm...  Determinați  AM:AM:AM:

10\,

15\,

9\,

12\,

Exercițiul 3

În triunghiul  ABCABCABC  punctele  M∈ABM \in ABM∈AB  și  N∈ACN \in ACN∈AC  astfel încât  MN∥BC.M{}N \parallel BC.MN∥BC.  Se cunosc  AB=18 AB = 18\,AB=18cm ,  AN=10 AN = 10\,AN=10cm  și  NC=5 NC = 5\,NC=5cm...  Determinați  AM:AM:AM: 

15\,

12\,

10\,

14\,

Exercițiul 4

În triunghiul  ABCABCABC  punctele  M∈ABM \in ABM∈AB  și  N∈ACN \in ACN∈AC  astfel încât  AM=4 AM = 4\,AM=4cm ,  MB=6 MB = 6\,MB=6cm  și  AN=8 AN = 8\,AN=8cm ,  NC=12 NC = 12\,NC=12cm...  Atunci:

M{}N \parallel BC

M{}N \parallel AC

M{}N \perp BC

M{}N \not\parallel BC

Exercițiul 5

În triunghiul  ABCABCABC  punctele  M∈ABM \in ABM∈AB  și  N∈ACN \in ACN∈AC  astfel încât  AB=15 AB = 15\,AB=15cm ,  AC=24 AC = 24\,AC=24cm ,  AM=9 AM = 9\,AM=9cm  și  AN=12 AN = 12\,AN=12cm...  Atunci:

M{}N \perp BC

M{}N \parallel BC

M{}N \not\parallel BC

M{}N \parallel AC

Exercițiul 6

Se știe că  △ABC∼△DEF.\triangle ABC \sim \triangle DEF.△ABC∼△DEF.  Atunci este corect:

\frac{AC}{EF} = \frac{BC}{DF}

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{DE}

\frac{AC}{EF} = \frac{BC}{DE}

Exercițiul 7

Se știe că  △ABC∼△MPN.\triangle ABC \sim \triangle MPN.△ABC∼△MPN.  Dacă  AB=6 AB = 6\,AB=6cm ,  BC=8 BC = 8\,BC=8cm ,  AC=10 AC = 10\,AC=10cm  și  MP=12 MP = 12\,MP=12cm , atunci  PNP{}NPN  este:

16\,

4\,

8\,

20\,

Exercițiul 8

Se consideră  △ABC\triangle ABC△ABC  și  △DEF\triangle DEF△DEF  astfel încât  AB=6 AB = 6\,AB=6cm ,  BC=9 BC = 9\,BC=9cm ,  AC=12 AC = 12\,AC=12cm  și  DF=3 DF = 3\,DF=3cm ,  FE=4.5 FE = 4.5\,FE=4.5cm ,  DE=6 DE = 6\,DE=6cm . Atunci:

\triangle ABC \sim \triangle DFE

\triangle ABC \sim \triangle DEF

\triangle ABC \sim \triangle FED

\triangle ABC \not\sim \triangle DEF

Exercițiul 9

Dacă  ABNP=ACNM\frac{AB}{NP} = \frac{AC}{NM}NPAB​=NMAC​  și  A^=N^\widehat A = \widehat NA=N , atunci:

\triangle ABC \sim \triangle MPN

\triangle ABC \sim \triangle MNP

\triangle ABC \sim \triangle NMP

\triangle ABC \sim \triangle NPM

Exercițiul 10

Se știe că  △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF△ABC∼△DEF  cu  BC=8 BC = 8\,BC=8cm  și  EF=4 EF = 4\,EF=4cm...  Atunci raportul ariilor este:

2

12

4

16

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: b) $3\,$ cm

Explicație:Din date:

AC=12 AC = 12\,AC=12cm , NC=4 NC = 4\,NC=4cm

Rezultă:
AN=AC−NC=8 AN = AC - NC = 8\,AN=AC−NC=8cm

Pentru că  MN∣∣BC,M{}N || BC,MN∣∣BC,  aplicăm Teorema lui Thales:

AMMB=ANNC\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}MBAM​=NCAN​

6MB=84\frac{6}{MB} = \frac{8}{4}MB6​=48​

MB=6⋅48=3 cmMB = \frac{6 \cdot 4}{8}= 3\,\text{cm}MB=86⋅4​=3cm

Exercițiul 2

Răspuns corect: d) $12\,$ cm

Explicație:Din date:

AC=20 AC = 20\,AC=20cm , NC=4 NC = 4\,NC=4cm

Rezultă:
AN=16 AN = 16\,AN=16cm

Pentru că  MN∥BCM{}N \parallel BCMN∥BC , aplicăm Teorema lui Thales:

AMMB=ANNC⇒AMAB=ANAC\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \Rightarrow \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}MBAM​=NCAN​⇒ABAM​=ACAN​

AM15=1620⇒AM15=45\frac{AM}{15} = \frac{16}{20} \Rightarrow \frac{AM}{15}= \frac{4}{5}15AM​=2016​⇒15AM​=54​

AM=4⋅155=12 cmAM = \frac{4 \cdot 15}{5}=12\,\text{cm}AM=54⋅15​=12cm .

Exercițiul 3

Răspuns corect: b) $12\,$ cm

Explicație:Din date:

AC=AN+NC=15 AC = AN + NC = 15\,AC=AN+NC=15cm

Pentru că  MN∥BCM{}N \parallel BCMN∥BC , aplicăm Teorema lui Thales:

AMMB=ANNC⇒AMAB=ANAC\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \Rightarrow \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}MBAM​=NCAN​⇒ABAM​=ACAN​

AM18=1015⇒AM18=23\frac{AM}{18} = \frac{10}{15} \Rightarrow \frac{AM}{18}= \frac{2}{3}18AM​=1510​⇒18AM​=32​

AM=2⋅183=12 cmAM = \frac{2 \cdot 18}{3}=12\,\text{cm}AM=32⋅18​=12cm .

Exercițiul 4

Răspuns corect: a) $M{}N \parallel BC$

Explicație:Se poate observa că:

AMMB=46=23\frac{AM}{MB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}MBAM​=64​=32​

ANNC=812=23\frac{AN}{NC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}NCAN​=128​=32​

AMMB=ANNC⇒MN∥BC\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \Rightarrow M{}N \parallel BCMBAM​=NCAN​⇒MN∥BC  (reciproca teoremei lui Thales)

Exercițiul 5

Răspuns corect: c) $M{}N \not\parallel BC$

Explicație:Se poate observa că:

AMAB=915=35\frac{AM}{AB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}ABAM​=159​=53​

ANAC=1224=12\frac{AN}{AC} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}ACAN​=2412​=21​

AMAB≠ANAC⇒\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC} \RightarrowABAM​=ACAN​⇒  MN∦BCM{}N \not\parallel BCMN∥BC .

Exercițiul 6

Răspuns corect: b) $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$

Explicație:Din asemănare  △ABC∼△DEF,\triangle ABC \sim \triangle DEF,△ABC∼△DEF,  rezultă:

ABDE=BCEF=ACDF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}DEAB​=EFBC​=DFAC​ 

Exercițiul 7

Răspuns corect: a) $16\,$ cm

Explicație:△ABC∼△MPN\triangle ABC \sim \triangle MPN△ABC∼△MPN 

⇒ABMP=BCPN=ACMN=k\Rightarrow \frac{AB}{MP} = \frac{BC}{P{}N} = \frac{AC}{M{}N}=k⇒MPAB​=PNBC​=MNAC​=k

Aflăm raportul de asemănare:

ABMP=612=12⇒k=12\frac{AB}{MP}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \Rightarrow k =\frac{1}{2}MPAB​=126​=21​⇒k=21​

Deci:

BCPN=12⇒8PN=12\frac{BC}{P{}N}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{8}{P{}N}=\frac{1}{2}PNBC​=21​⇒PN8​=21​

PN=16 P{}N = 16\,PN=16cm

Exercițiul 8

Răspuns corect: a) $\triangle ABC \sim \triangle DFE$

Explicație:Verificăm rapoartele corespunzătoare:

ABDF=63=2\frac{AB}{DF} = \frac{6}{3} = 2DFAB​=36​=2

BCFE=94.5=2\frac{BC}{FE} = \frac{9}{4.5} = 2FEBC​=4.59​=2

ACDE=126=2\frac{AC}{DE} = \frac{12}{6} = 2DEAC​=612​=2

Toate rapoartele sunt egale, deci triunghiurile au laturile proporționale.

ABDF=BCFE=ACDE\frac{AB}{DF} =\frac{BC}{FE} = \frac{AC}{DE}DFAB​=FEBC​=DEAC​ 

⇒△ABC∼△DFE\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DFE⇒△ABC∼△DFE  (Latură - Latură - Latură)

Atentie la ordinea de citire:

ABDF=BCFE=ACDE\frac{AB}{DF} = \frac{BC}{FE} = \frac{AC}{DE}DFAB​=FEBC​=DEAC​ 

⇒A^=D^,B^=F^  \Rightarrow \widehat A = \widehat D, \widehat B = \widehat F\,\,⇒A=D,B=Fși  C^=E^\,\, \widehat C = \widehat EC=E

Exercițiul 9

Răspuns corect: d) $\triangle ABC \sim \triangle NPM$

Explicație:A^=N^\widehat A = \widehat NA=N  și  ABNP=ACNM\frac{AB}{NP} = \frac{AC}{NM}NPAB​=NMAC​

⇒△ABC∼△NPM\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle NPM⇒△ABC∼△NPM  (Latură - Unghi - Latură)

Atenție la ordinea de citire:

ABNP=ACNM⇒B^=P^\frac{AB}{NP} = \frac{AC}{NM} \Rightarrow \widehat B = \widehat PNPAB​=NMAC​⇒B=P  și  C^=M^\widehat C = \widehat MC=M

Exercițiul 10

Răspuns corect: c) $4$

Explicație:△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF△ABC∼△DEF 

⇒ABDE=BCEF=ACDF=k\Rightarrow \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}=k⇒DEAB​=EFBC​=DFAC​=k

Deci:  BCEF=84=2=k\frac{BC}{EF} = \frac{8}{4}=2=kEFBC​=48​=2=k 

   AABCADEF=k2=4\frac{A_{ABC}}{A_{DEF}}=k^2 = 4ADEF​AABC​​=k2=4

Reamintim: 

 PABCPDEF=k\frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=kPDEF​PABC​​=k

Test 2

Congruenţa și asemănarea triunghiurilor

Exercițiul 1

În triunghiul  ABCABCABC  punctele  M∈ABM \in ABM∈AB  și  N∈ACN \in ACN∈AC  astfel încât  MN∥BC.M{}N \parallel BC.MN∥BC.  Se cunosc  AM=6 AM = 6\,AM=6cm ,  NC=4 NC = 4\,NC=4cm  și  AC=12 AC = 12\,AC=12cm...  Determinați  MB.MB.MB.

Exercițiul 2

În triunghiul  ABCABCABC  punctele  M∈ABM \in ABM∈AB  și  N∈ACN \in ACN∈AC  astfel încât  MN∥BC.M{}N \parallel BC.MN∥BC.  Se dau  AB=15 AB = 15\,AB=15cm ,  AC=20 AC = 20\,AC=20cm  și  NC=4 NC = 4\,NC=4cm...  Determinați  AM:AM:AM:

Exercițiul 3

În triunghiul  ABCABCABC  punctele  M∈ABM \in ABM∈AB  și  N∈ACN \in ACN∈AC  astfel încât  MN∥BC.M{}N \parallel BC.MN∥BC.  Se cunosc  AB=18 AB = 18\,AB=18cm ,  AN=10 AN = 10\,AN=10cm  și  NC=5 NC = 5\,NC=5cm...  Determinați  AM:AM:AM: 

Exercițiul 4

În triunghiul  ABCABCABC  punctele  M∈ABM \in ABM∈AB  și  N∈ACN \in ACN∈AC  astfel încât  AM=4 AM = 4\,AM=4cm ,  MB=6 MB = 6\,MB=6cm  și  AN=8 AN = 8\,AN=8cm ,  NC=12 NC = 12\,NC=12cm...  Atunci:

Exercițiul 5

În triunghiul  ABCABCABC  punctele  M∈ABM \in ABM∈AB  și  N∈ACN \in ACN∈AC  astfel încât  AB=15 AB = 15\,AB=15cm ,  AC=24 AC = 24\,AC=24cm ,  AM=9 AM = 9\,AM=9cm  și  AN=12 AN = 12\,AN=12cm...  Atunci:

Exercițiul 6

Se știe că  △ABC∼△DEF.\triangle ABC \sim \triangle DEF.△ABC∼△DEF.  Atunci este corect:

Exercițiul 7

Se știe că  △ABC∼△MPN.\triangle ABC \sim \triangle MPN.△ABC∼△MPN.  Dacă  AB=6 AB = 6\,AB=6cm ,  BC=8 BC = 8\,BC=8cm ,  AC=10 AC = 10\,AC=10cm  și  MP=12 MP = 12\,MP=12cm , atunci  PNP{}NPN  este:

Exercițiul 8

Se consideră  △ABC\triangle ABC△ABC  și  △DEF\triangle DEF△DEF  astfel încât  AB=6 AB = 6\,AB=6cm ,  BC=9 BC = 9\,BC=9cm ,  AC=12 AC = 12\,AC=12cm  și  DF=3 DF = 3\,DF=3cm ,  FE=4.5 FE = 4.5\,FE=4.5cm ,  DE=6 DE = 6\,DE=6cm . Atunci:

Exercițiul 9

Dacă  ABNP=ACNM\frac{AB}{NP} = \frac{AC}{NM}NPAB​=NMAC​  și  A^=N^\widehat A = \widehat NA=N , atunci:

Exercițiul 10

Se știe că  △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF△ABC∼△DEF  cu  BC=8 BC = 8\,BC=8cm  și  EF=4 EF = 4\,EF=4cm...  Atunci raportul ariilor este:

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Congruenţa și asemănarea triunghiurilorTest 2

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 2

Congruenţa și asemănarea triunghiurilor
Test 2