Powered by Google Translate

Mulțimea numerelor raționale

3.2 Operații cu fracții ordinare și zecimale a. Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare se realizează aducând la același numitor (prin amplificare). Numitorul comun se află calculând cel mai mic multiplu comun al numitorilor. La adunare/scădere se păstrează numitorul comun, iar între numărători se aplică regulile semnelor explicate la capitolul numerelor întregi. Exemple: 12+13\frac{1}{2} + \frac{1}{3}=3)12+2)13= {}^{3)}\frac{1}{2} + {}^{2)}\frac{1}{3}=36+26= \frac{3}{6} + \frac{2}{6}=56= \frac{5}{6} −12+13-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} =−3)12+2)13= -{}^{3)}\frac{1}{2} + {}^{2)}\frac{1}{3}=−36+26= \frac{-3}{6} + \frac{2}{6}=−16= \frac{-1}{6}=−16= -\frac{1}{6} b. Înmulțire și împărțirea fracțiilor ordinare Pentru a înmulți fracțiile ordinare nu este necesar aducerea la același numitor. Numărătorii se înmulțesc între ei și numitorii între ei, ținând cont de regula semnelor de la înmulțirea numerelor întregi. Exemplu: 27⋅1420\frac{2}{7} \cdot \frac{14}{20}=2⋅147⋅20= \frac{2 \cdot 14}{7 \cdot 20}=28140(28= \frac{28}{140}^{(28}=15= \frac{1}{5} Pentru a lucra cu numere mai mici fracțiile trebuie simplificate (numitor cu numărător). Exemplu:
Împărțirea fracțiilor ordinare se realizează înmulțind prima fracție cu a doua inversată (ținând cont de regula semnelor de la înmulțirea numerelor întregi). 25:610\frac{2}{5} : \frac{6}{10}=25⋅106= \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{6}=2030= \frac{20}{30}=23= \frac{2}{3} De reținut:    • inversul unui număr:       x−1=1xx^{-1} = \frac{1}{x}      (аb)−1=bа\left(\frac{а}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{а}      (аb)−n=bnаn\left(\frac{а}{b}\right)^{-n} = \frac{b^n}{а^n}    • în matematică “din” înseamnă înmulțire:      20% din 50=20100⋅50=20\% \text{ din } 50 = \frac{20}{100} \cdot 50 =      20100⋅501=1000100=10\frac{20}{100} \cdot \frac{50}{1} = \frac{1000}{100} = 10    • pentru fracțiile supraetajate se aplică regula împărțirii:      235=2351=23⋅15=215\frac{\frac{2}{3}}{5} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15}      527=5127=51⋅72=352\frac{5}{\frac{2}{7}} = \frac{\frac{5}1}{\frac{2}7} = \frac{5}{1} \cdot \frac{7}{2} = \frac{35}{2}
c. Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale finite se efectuează aplicând regulile semnelor de la capitolul numerelor întregi. 3,23 +             3,23- 1,17                1,17 ------                ----- 4,40                2,06 De reținut: lipsa zecimalelor după virgulă reprezintă 0 (zero):       4.4 = 4.40 = 4.400 = 4.4000 = … Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale periodice (simple sau mixte) se efectuează transformându-le în fracții ordinare și aplicând regulile corespunzătoare adunării sau scăderii fracțiilor ordinare. d. Înmulțire și împărțirea fracțiilor zecimale Înmulțirea fracțiilor zecimale finite se realizează înmulțind numerele rezultate neconsiderând virgula, iar la final se pune numărul de zecimale (zecimalele se aduna de la stânga la dreapta). Exemplu:    2,32⋅3,1=7,1922,32 \cdot 3,1= 7,192 La înmulțirea sau împărțirea cu multiplii de 10 se mută virgula spre dreapta (la înmulțire) sau spre stânga (la împărțire) cu un număr de poziții egal cu numărul de zerouri. Exemplu:    2,32⋅10=23,22,32 \cdot 10= 23,2    2,322,32 ∶∶ 10=0,23210= 0,232    2,32⋅100=2322,32 \cdot 100= 232    2,322,32 ∶∶ 100=0,0232100= 0,0232 Împărțirea fracțiilor zecimale finite se realizează înmulțind numerele date cu un multiplu de 10, astfel încât împărțitorul să nu conțină zecimale. Exemplu:    12,3212,32 ∶∶ 2,2=123,22,2= 123,2 ∶∶ 22=5,622=5,6 sau    12,3212,32 ∶∶ 2,2=12322,2= 1232 ∶∶ 220=5,6220=5,6 Pentru a înmulți sau împărți fracții zecimale periodice (simple sau mixte) acestea se transformă în fracții ordinare și se aplică regulile corespunzătoare înmulțirii și împărțirii fracțiilor ordinare.
e. Scoaterea întregilor dintr-o fracție Pentru a scoate întregi dintr-o fracție se împarte numărătorul la numitor, câtul obținut reprezintă întregii (valoarea întreagă), iar fracția subunitară de lângă numărul întreg are la numărător restul împărțirii iar numitorul rămâne același ca fracția principală.    а:b=cа:b=c , rest R ⇒\Rightarrow  аb=crb\frac{а}b=c\frac{r}b Exemplu:    13:5=213 : 5 = 2  rest 3 ⇒135=235\Rightarrow \frac{13}5 = 2\frac{3}{5} f. Introducerea întregilor într-o fracție Prin introducerea întregilor într-o fracție se obține o fracție care are același numitor ca fracția dată iar ca numărător este produsul dintre întregi și numitor la care se adună numărătorul inițial.    cRb=c⋅b+Rb=аbc \frac{R}{b} = \frac{c \cdot b + R}{b} = \frac{а}{b} Exemplu:    235=2⋅5+35=1352 \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}
g. Aproximări și rotunjiri Aproximările sunt de două tipuri:    • aproximare prin lipsă (este mai mică decât numărul dat)    • aproximare prin adaos (este mai mare decât numărul dat) Așadar: aproximare prin lipsa < numărul dat < aproximare prin adaos Pentru a înțelege mai bine se ia ca exemplu numărul 127,358.    • pentru a aproxima la cifra sutelor încadrăm numărul dat între sute consecutive:         100 < 127 < 200 aproximarea prin lipsa la sute este:  100 aproximarea prin adaos la sute este: 200    • pentru a aproxima la cifra zecilor încadrăm numărul dat între zeci consecutive:         120 < 127 < 130 aproximarea prin lipsa la zeci este:   120 aproximarea prin adaos la zeci este: 130    • pentru a aproxima la cifra zecimilor încadrăm numărul dat între zecimi consecutive:        127,30 < 127,358 < 127,40 aproximarea prin lipsa la zecimi este:   127,3 aproximarea prin adaos la zecimi este: 127,4    • pentru a aproxima la cifra sutimi încadrăm numărul dat între sutimi consecutive:         127,35 < 127,358 < 127,36 aproximarea prin lipsa la sutimi este:   127,35 aproximarea prin adaos la sutimi este: 127,36 Rotunjirea este aproximarea, prin lipsa sau prin adaos, care e cea mai apropiată de numărul dat. Pentru numărul de mai sus:    • rotunjirea la sute este:    100.    • rotunjirea la zeci este:     130.    • rotunjirea la zecimi este: 127,4.    • rotunjirea la sutimi este:  127,36.
h. Proporţii derivate Din proporţia  аb=cd\frac{а}b=\frac{c}d  se pot deduce mai multe proporţii derivate. În continuare sunt prezentate câteva exemple.    • proporţii derivate cu aceeaşi termeni: - termenii extremi se pot inversa între ei                 db=cа\frac{d}b=\frac{c}а - termenii mezi se pot inversa între ei                 аc=bd\frac{а}c=\frac{b}d         - numitorii devin numărători, iar numărătorii devin numitori                 bа=dc\frac{b}а=\frac{d}c    • proporţii derivate cu alţi termeni:        - se pot aduna numărătorii la numitori                 аa+b=cc+d\frac{а}{a+b} = \frac{c}{c+d}        - se pot aduna numitorii la numărători                 а+bb=c+dd\frac{а+b}{b} = \frac{c+d}{d}        - se pot scădea numărătorii la numitori                 аа−b=cc−d\frac{а}{а-b} = \frac{c}{c-d}        - se pot scădea numitorii la numărători                 а−bb=c−dd\frac{а-b}{b} = \frac{c-d}{d}        - se pot aduna numitorii între ei și numărători între ei                 аb=cd=а+cb+d\frac{а}{b} = \frac{c}{d} = \frac{а+c}{b+d}