Triunghi

3.1 Teoria triunghiurilor a. Generalități Triunghiul este o figură geometrică formată din trei puncte necoliniare unite două câte două prin segmente. Un triunghi are următoarele elemente:    • vârfurile         - sunt cele trei puncte ale triunghiului         - se notează de obicei cu litere mari:  A, B, C    • laturile         - sunt segmentele care unesc vârfurile         - se notează: $AB, BC, CA$    • unghiurile         - sunt unghiurile formate la fiecare vârf         - se notează: $∠A,∠B,∠C$ Important:    • Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu 180°. $\quad\quad \widehat A + \widehat B +\widehat C = 180°$    • În orice triunghi, suma lungimilor oricăror două laturi este mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi. $\quad\quad AB+ BC>AC\\[1pt] \quad\quad AB + AC>BC\\[1pt] \quad\quad BC + AC>AB$ b. Clasificarea triunghiurilor După lungimea laturilor:    • triunghi scalen         - are toate laturile diferite         - are toate unghiurile diferite

   • triunghi isoscel         - are două laturi egale         - are două unghiuri egale

   • triunghi echilateral         - are toate laturile egale         - are toate unghiurile egale (60°)

După mărimea unghiurilor:    • triunghi ascuțitunghic         - are toate unghiurile mai mici de 90°

   • triunghi dreptunghic         - are un unghi de 90°         - latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză         - celelalte două laturi se numesc catete         - triunghi dreptunghic care are catetele egale se numește dreptunghic isoscel

   • triunghi obtuzunghic         - are un unghi mai mare de 90°

c. Unghi exterior unui triunghi Unghiul exterior al unui triunghi este un unghi format prin prelungirea unei laturi a triunghiului și latura vecină cu acea latură. Unghiul exterior se află în afara triunghiului. Proprietăți importante:    • unghiul exterior este suplimentar cu unghiul interior al triunghiului (unghi interior + unghi exterior = 180$\degree$)    • măsura unghiului exterior este egală cu suma unghiurilor interioare neadiacente (măsura unghiul exterior vârfului C = măsura unghiul interior A + măsura unghiul interior B)    • NU se adună cu unghiul interior de la același vârf. În figura de mai jos:    $C_{ext}=∠A+∠B$    $C_{ext}= 60 \degree +75 \degree$    $C_{ext} = 135 \degree$ sau    $C_{ext} + C_{int} = 180 \degree$    $C_{ext} = 180 \degree- C_{int}$    $C_{ext} = 180 \degree - 45 \degree$    $C_{ext} = 135 \degree$

3.2 Congruenţa și asemănarea triunghiurilor a. Congruenţa triunghiurilor oarecare Două triunghiuri sunt congruente dacă:    • au aceeași formă    • au aceeași mărime Dacă se suprapune un triunghi peste celălalt și se potrivesc perfect. Se notează: △ABC  ≡ △DEF Pentru a arăta că două triunghiuri sunt congruente, se folosesc următoarele criterii:    • Latură – Latură – Latură      Două triunghiuri sunt congruente dacă:         - au toate cele trei laturi corespunzătoare egale         - nu mai e nevoie de unghiuri.

   • Latură – Unghi – Latură      Două triunghiuri sunt congruente dacă:         - au două laturi corespunzătoare egale         - și unghiul cuprins între ele este egal

   • Unghi – Latură – Unghi      Două triunghiuri sunt congruente dacă:         - au două unghiuri corespunzătoare egale         - și latura cuprinsă între ele este egală

b. Congruenţa triunghiurilor dreptunghice Pentru a arăta că două triunghiuri dreptunghice sunt congruente, se folosesc următoarele criterii:    • Ipotenuză – Catetă      Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă:         - au ipotenuza egală         - și o catetă egală

• Catetă – Catetă      Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă:         - au ambele catete corespunzătoare egale

   • Ipotenuză – Unghi      Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă:         - au ipotenuza egală         - și un unghi ascuțit egal

   • Catetă – Unghi      Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă:         - au o catetă egală         - și unghiul ascuțit alăturat egal

c. Teorema lui Thales Dacă o paralelă la una dintre laturile unui triunghi intersectează celelalte două laturi, atunci determină pe acestea segmente proporționale.        $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ unde  $M{}N \parallel BC$

d. Asemănarea triunghiurilor Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă:    • au aceeași formă    • dar mărimi diferite (sau egale) Unghiurile corespunzătoare triunghiurilor asemenea sunt egale. Laturile corespunzătoare triunghiurilor asemenea sunt proporționale. Se notează:  △ABC∼△DEF

3.3 Linii importante in triunghi a. Mediana Mediana este segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Medianele se intersectează într-un punct numit centru de greutate, notat cu  $G.$ Punctul  $G$  împarte fiecare mediană în raport 2:1 (partea mai mare este spre vârf):    $AG=\frac{2}3 AA'$    $BG=\frac{2}3 BB'$    $C{}G=\frac{2}3 CC'$ sau    $A'G=\frac{1}3 AA'$    $B'G=\frac{1}3 BB'$    $C'G=\frac{1}3 CC'$ De reținut: mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale.

În triunghi dreptunghic mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză. În figura de mai jos:  $AM=B{}M=CM$

b. Înălțimea Înălțimea este perpendiculara dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă (sau pe prelungirea ei). Înălțimile se intersectează într-un punct numit ortocentru, notat cu  $H.$ Înălțimea poate fi:    • în interior (triunghi ascuțitunghic)    • pe latură (triunghi dreptunghic)    • în exterior (triunghi obtuzunghic) În triunghiul ascuțitunghic ortocentrul este în interior triunghiului.

În triunghiul dreptunghic ortocentrul este vârful unghiului drept.

În triunghiul obtuzunghic ortocentrul este în exteriorul triunghiului.

c. Bisectoarea Bisectoarea este semidreapta care împarte unghiul în două unghiuri egale. Bisectoarele se intersectează într-un punct numit centrul cercului înscris în triunghi (incentru), notat cu  $I.$  Centrul cercului înscris în triunghi este egal depărtat de laturile triunghiului. Distanța dintre centrul cercului înscris în triunghi și laturile triunghiului se notează cu r și se numește raza cercului înscris în triunghi.

Teorema bisectoarei Într-un triunghi, bisectoarea unui unghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile care formează acel unghi. $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$

d. Mediatoarea Mediatoarea unei laturi este perpendiculara dusă prin mijlocul laturii. Mediatoarele se intersectează într-un punct numit centrul cercului circumscris triunghiului (circumcentru), notat cu  $O$$.$  Centrul cercului circumscris triunghiului este egal depărtat de vârfurile triunghiului. Distanța dintre vârfurile triunghiului și cercului circumscris triunghiului se notează cu R și se numește raza cercului circumscris triunghiului. În exemplul de mai jos: AO=BO=CO=R

e. Linia mijlocie Linia mijlocie este segmentul care unește mijloacele a două laturi ale triunghiului.    • Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură.    • Lungimea liniei mijlocii este jumătate din lungimea celei de-a treia laturi. În exemplul de mai jos:    $MN || BC$    $M{}N=\frac{BC}2$    $MP || AC$    $MP=\frac{AC}2$    $NP || AB$    $NP=\frac{AB}2$