Powered by Google Translate

Mulțimea numerelor întregi

2.2 Divizibilitatea numerelor întregi a. Divizor și multiplu Un număr d este divizor al unui număr a dacă a se împarte exact la d adică:      a∶d=ca ∶ d = c, rest 0 Exemplu: Mulțimea divizorilor naturali ai lui 18 este: D18={1,2,3,6,9,18}D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\} Un număr m este multiplu al unui număr  a dacă  m se împarte exact la a adică:      m∶a=cm ∶ a = c, rest 0 Exemplu: Mulțimea multiplilor naturali ai lui 18 este:   M18={0,18,36,54,… }M_{18}=\{0,18,36,54, \dots\} Altfel spus: m ⋮ a se citește: "m este divizibil cu a" (m se împarte exact la a) d | a  se citește: "d îl divide pe a" (a se împarte exact la d) Pentru un număr oarecare nenul a: numerele 1 și a se numesc divizori improprii. Toți ceilalți divizori sunt divizori proprii. Exemplu: D18={1,2,3,6,9,18}D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\} divizori improprii: 1, 18 divizori proprii:     2, 3, 6, 9 Un număr este prim, dacă este mai mare decât 1 și dacă are exact doi divizori: 1 și el însuși, adică doar divizori improprii. Numerele care nu sunt prime se numesc compuse. Numere prime      2, 3, 5, ⋯\cdots Numere compuse 4, 6, 8, ⋯\cdots De reținut: singurul număr prim par este 2. Numerele prime între ele sunt două numere care au ca singur divizor comun numărul 1.
b. Criterii de divizibilitate    • Un număr întreg este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este pară. Exemple: 14 (ultima cifră 4) 28 (ultima cifră 8) 102 (ultima cifră 2) 56 (ultima cifră 6) 200 (ultima cifră 0)    • Un număr întreg este divizibil cu 3 (sau cu 9) dacă suma cifrelor sale se împarte exact la 3 (sau la 9). Exemple: divizibil cu 3 12 → 1+2=3 111 → 1+1+1=3 123 → 1+2+3=6 90 → 9+0=9 27 → 2+7=9    • Un număr întreg este divizibil cu 4 dacă numărul format din ultimele sale două cifre este un număr care se împarte exact la 4. Exemple: 112 → ultimele două cifre 12 → 12 ÷ 4 = 3 216 → ultimele două cifre 16 → 16 ÷ 4 = 4 408 → ultimele două cifre 08 → 8 ÷ 4 = 2 1,204 → ultimele două cifre 04 → 4 ÷ 4 = 1 5,600 → ultimele două cifre 00 → 0 ÷ 4 = 0    • Un număr întreg este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5. Exemple: 15 → ultima cifră 5 20 → ultima cifră 0 55 → ultima cifră 5 100 → ultima cifră 0 85 → ultima cifră 5    • Un număr întreg este divizibil cu 10 dacă ultima sa cifră este 0. Exemple: 10 → ultima cifră 0 50 → ultima cifră 0 120 → ultima cifră 0 1,000 → ultima cifră 0 2,430 → ultima cifră 0
c. Descompunerea numerelor Descompunerea unui număr se face împărțindu-l succesiv doar la numere prime. Etape:    • Se împarte numărul la cel mai mic număr prim posibil (2, 3, 5…).    • se scrie cât a rezultat după împărțire.    • se continuă împărțirea până rămâne 1.    • produsul tuturor numerelor prime obținute este descompunerea finală. Notă: în notația matematică, exponenții arată de câte ori apare fiecare factor prim. Exemple:
1226233112=22⋅3\begin{array}{r|l} 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}\\12 = 2^2 \cdot 3
3621829333136=22⋅32\begin{array}{r|l} 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}\\36 = 2^2 \cdot 3^2
4822421226233148=24⋅3\begin{array}{r|l} 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}\\48 = 2^4 \cdot 3
502⋅555150=2⋅52\begin{array}{r|l} 50 & 2 \cdot 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}\\50 = 2 \cdot 5^2
1502⋅5153551150=2⋅3⋅52\begin{array}{r|l} 150 & 2 \cdot 5 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}\\150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2
d. Cel mai mare divizor comun Cel mai mare divizor comun (Cmmdc) este cel mai mare număr care divide numerele date. Pentru a afla Cmmdc descompunem numerele în factori primi și alegem factorii comuni la puterea cea mai mică câte o singură dată. Exemplul 1:    12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3    36=22⋅3236 = 2^2 \cdot 3^2   (12,36)=22⋅3=12(12,36) = 2^2 \cdot 3 = 12 Exemplul 2:    12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3    150=2⋅3⋅52150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2   (12,150)=2⋅3=6(12,150) = 2 \cdot 3 = 6 Două numere întregi sunt prime între ele (coprime) dacă ele nu au alt divizor comun în afară de 1, sau, altfel spus, dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1. Exemplu: (4,9)=1(4,9)=1 Se poate observa că atât 4 cât și 9 nu sunt numere prime (au divizori). A nu se face confuzia între numere prime și numere prime între ele.
e. Cel mai mic multiplu comun Cel mai mic multiplu comun (Cmmmc) este cel mai mic număr care se împarte exact la numerele date. Pentru a afla Cmmmc descompunem numerele în factori primi și alegem factorii comuni și necomuni la puterea cea mai mare câte o singură dată. Exemplul 1:    12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3    36=22⋅3236 = 2^2 \cdot 3^2   [12,36]=22⋅32=36[12,36] = 2^2 \cdot 3^2 = 36 Exemplul 2:    12=22⋅312 = 2^2 \cdot 3    150=2⋅3⋅52150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2   [12,150]=22⋅3⋅52=300[12,150] = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300
Produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul celor două numere:      (a,b) ⋅\cdot [a,b] = a ⋅\cdot b Exemplul 1:    (12,36)=12    [12,36]=36    (12,36)•[12,36]=12•36=432 Exemplul 2:    (12,150)=6    [12,150]=300    (12,150)•[12,150]=6•300=12•150=1800