Powered by Google Translate

Unghiuri

2.1 Teoria unghiurilor a. Generalități Unghiul este figura geometrică formată din două semidrepte care au același punct de origine.    • cele două semidrepte se numesc laturile unghiului.    • punctul comun se numește vârful unghiului.    • regiunea dintre cele două laturi se numește interiorul unghiului    • regiunea din afara laturilor se numește exteriorul unghiului Un unghi se notează folosind trei litere:         ∠AOB\angle AOB  sau  AOB^\widehat{AOB}    • O este vârful unghiului. Litera vârfului este întotdeauna la mijloc.    • OA și OB sunt laturile unghiului. Uneori, unghiul se poate nota și:    • cu o singură literă (dacă nu există confuzie):  ∠A\angle A, A^\widehat{A}    • cu o literă grecească:  α,β,γα,β,γ
b. Măsura unui unghi Măsura unui unghi înseamnă mărimea „deschiderii” unghiului. Unitățile de măsură pentru unghiuri sunt:    • gradul (°)    • minutul (')        1°=60′1° = 60'    • secunda (")        1′=60"1' = 60"        1°=3600"1° = 3600" Cum se citesc unghiurile: 30°15′20"=30 grade,15 minute,20 secunde Două unghiuri sunt congruente dacă au aceeași mărime, chiar dacă sunt așezate diferit. Cum se măsoară un unghi cu raportorul:    1. Se așează centrul raportorului în vârful unghiului    2. Se aliniază linia de bază a raportorului cu una dintre laturile unghiului    3. Se citește valoarea unde cealaltă latură taie gradația raportorului Atenție:    • Raportorul are două scale    • O alegem pe cea care începe cu 0° pe latura aliniată Cum se desenează un unghi de o anumită măsură?    1. Se trasează o semidreaptă    2. Se pune raportorul cu centrul în capăt    3. Se marchează unghiul dorit    4. Se trasează a doua semidreaptă prin marcaj
c. Clasificarea unghiurilor Unghiurile se clasifică după mărimea lor.    • unghiul nul        - are 0°        - laturile coincid        - arată ca o linie semidreaptă.
   • unghi ascuțit        - are mai puțin de 90°        - este „mai mic” decât un colț de caiet              Exemple: 30°, 45°, 60°
   • unghi drept        - are exact 90°        - arată ca un colț de caiet        - se marchează cu un mic pătrat în desen
   • unghi obtuz        - are mai mult de 90°, dar mai puțin de 180°        - este „mai deschis” decât un unghi drept              Exemple: 120°, 135°, 150°
   • unghi alungit        - are 180°        - laturile sunt pe aceeași dreaptă        - arată ca o linie dreaptă.
Rezumat:    • α=0∘\alpha = 0^\circ → unghi nul    • α<90∘\alpha < 90^\circ → unghi ascuțit    • α=90∘\alpha = 90^\circ → unghi drept      • 90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ → unghi obtuz    • α=180∘\alpha = 180^\circ → unghi alungit
2.2 Calcule cu unghiuri a. Adunarea unghiurilor Pentru a aduna două unghiuri se adună:    • gradele cu gradele    • minutele cu minutele    • secundele cu secundele Dacă se obține:    • 60 secunde → se transformă în 1 minut    • 60 minute → se transformă în 1 grad Exemplu: 35° 20′ 15" + 24° 45′ 50"=    • secunde: 15"+50"=65"=60"+5”=1′5"    • minute: 20′+45′+1′=66′=60′+6′=1°6′    • grade: 35°+24°+1°=60° Rezultat: 35° 20′ 15" + 24° 45′ 50"=  60° 6′5" 60° Explicație și aplicații practice:    • Calculul unghiurilor nu este doar un exercițiu matematic, ci are numeroase aplicații în viața reală.      • De exemplu, în navigație și GPS, unghiurile sunt folosite pentru a determina direcția corectă de deplasare.      • În astronomie, poziția stelelor și a planetelor se calculează cu ajutorul unghiurilor exprimate în grade, minute și secunde.      • De asemenea, în construcții și arhitectură, unghiurile precise sunt esențiale pentru realizarea unor structuri corecte și stabile. Observație:   Adunarea unghiurilor se aseamănă cu adunarea timpului (ore, minute, secunde), deoarece se folosesc aceleași transformări:        60′′=1′60'' = 1'  și  60′=1∘60' = 1^\circ. Important:   Este necesar să se respecte ordinea calculelor: mai întâi se adună secundele, apoi minutele și la final gradele, ținând cont de transformările necesare. b. Scăderea unghiurilor Se aplică aceeași regulă ca în cazul adunării. Dacă nu se pot scădea direct, împrumutăm:    • 1 grad = 60 minute    • 1 minut = 60 secunde Exemplu: 50° 10′ 20"−32° 25′ 40"=    • nu se pot scădea secunde → împrumutăm 1 minut, deci: 10′=9′+1′=9′+60"         20" + 60"=80"         80"−40"=40"    • minutele:      9′−25′′ → împrumutăm 1 grad: 50°=49°+1°=49°+60′ 9′+60′=69′ 69′−25′=44′    • gradele: 49°−32°=17°49° - 32° = 17°49°−32°=17° Rezultat: 50° 10′ 20"−32° 25′ 40" = 17° 44′ 40" Explicație și aplicații practice:    • Scăderea unghiurilor este asemănătoare cu scăderea timpului (ore, minute, secunde), deoarece se folosesc aceleași transformări între unități.      • Această metodă este folosită în situații reale, cum ar fi determinarea diferenței dintre două direcții sau calculul rotațiilor în diverse aplicații tehnice. Observație:   Împrumutul se face întotdeauna de la unitatea mai mare:      1°=60′1° = 60'  și  1′=60"1' = 60". Important:   Se scad mai întâi secundele, apoi minutele și la final gradele, efectuând împrumutul doar atunci când este necesar.
c. Înmulțirea unui unghi cu un număr Se înmulțesc separat:    • secunde    • minute    • grade      și transformăm dacă e nevoie. Exemplu: 2 × 18° 25′ 40"=    • secunde: 40"×2=80"=60"+20"=1′20"    • minute: 25′×2+1′=51′    • grade: 18°×2=36° Rezultat: 2 × 18° 25′ 40"= 36° 51′ 20" d. Împărțirea unui unghi la un număr Dacă nu se poate împărți direct, se transformă:    • gradele în minute    • minutele în secunde Exemplu: 36°30′÷3=    • 36°  = 36 x 60 = 2160′    • 2160′ + 30′ = 2190′    • 2190′ ÷ 3 = 730′    • 730′ : 60 =12 rest 10 = 12°10′ Rezultat: 36°30′ ÷ 3 = 12° 10′ De reținut:    • 60" = 1'    • 60' = 1°    • la scădere → împrumuți    • la adunare → transformi ce trece de 60
2.3 Unghiuri speciale și proprietățile lor a. Unghiuri complementare Două unghiuri se numesc complementare dacă suma lor este  90°.  Practic, împreună formează un unghi drept. Exemple de unghiuri complementare:    • 30° și 60° → 30° + 60° = 90°    • 45° și 45° → 45° + 45° = 90° Complementul unui unghi  = 90° minus unghiul dat b. Unghiuri suplementare Două unghiuri se numesc suplementare dacă suma lor este  180°.  Practic, împreună formează un unghi alungit, adică o linie dreaptă. Exemple    • 70° și 110° → 70° + 110° = 180°    • 90° și 90°  → 90° + 90°  = 180° Suplementul unui unghi = 180° minus unghiul dat
c. Unghiurile adiacente Unghiurile adiacente sunt două unghiuri care îndeplinesc aceste condiții:    • au același vârf    • au o latură comună    • celelalte două laturi sunt de o parte și de alta a laturii comune Practic, unghiurile adiacente sunt unghiuri „lipite” unul de celălalt. În figura de mai jos:    • AOB^\widehat{AOB}  și  BOC^\widehat{B{}OC}  sunt adiacente (latura comună BC este la mijloc)    • AOC^\widehat{AOC}  și  BOC^\widehat{B{}OC} nu  sunt adiacente (latura comună OC  nu  este la mijloc)    • AOB^\widehat{AOB}  și  AOC^\widehat{AOC} nu  sunt adiacente (latura comună OA  nu  este la mijloc)
Unghiurile adiacente complementare:    • au același vârf    • au o latură comună    • celelalte două laturi sunt de o parte și de alta a laturii comune    • suma lor este 90°
Unghiurile adiacente suplementare:    • au același vârf    • au o latură comună    • celelalte două laturi sunt de o parte și de alta a laturii comune    • suma lor este 180°
d. Bisectoarea unui unghi Bisectoarea unui unghi este  semidreapta  care împarte un unghi în două unghiuri egale. Proprietăți:    • împarte un unghi în două unghiuri egale    • orice punct de pe bisectoare este la aceeași distanță de laturile unghiului. În figura de mai jos:    • AOC^=BOC^\widehat{AOC} = \widehat{B{}OC}    • dacă  D∈OC⇒DE=DFD \in OC \Rightarrow DE=DF
e. Unghiuri în jurul unui punct Dacă mai multe unghiuri au același vârf și „învârt” complet în jurul punctului, atunci spunem că sunt în jurul unui punct. Proprietate importantă: Suma tuturor unghiurilor din jurul unui punct = 360° În figura de mai jos: AOB^+BOC^+COD^+DOA^=360°\widehat{AOB}+\widehat{B{}OC}+\widehat{COD}+\widehat{DOA}=360°
f. Unghiuri opuse la vârf    • unghiurile au același vârf    • laturile unui unghi continuă laturile celuilalt (sunt „în prelungire”) Proprietate importantă: aceste unghiuri sunt egale. În figura de mai jos:    • AOD^=BOC^\widehat{AOD} = \widehat{B{}OC}    • AOB^=COD^\widehat{AOB} = \widehat{COD}
g. Unghiuri formate de două drepte paralele cu o secantă Două drepte paralele tăiate de o a treia dreaptă (secantă) formează următoarele tipuri de unghiuri:    • Unghiuri corespondente         - sunt situate în aceeași poziție relativă față de dreptele paralele și secantă: exterior–exterior / interior–interior         - au aceeași măsură    • Unghiuri alterne interne         - sunt în interiorul celor două drepte paralele și în părți opuse față de cea de-a treia dreaptă (secantă)         - au aceeași măsură    • Unghiuri alterne externe         - sunt în exteriorul celor două drepte paralele și în părți opuse față de cea de-a treia dreaptă (secantă)         - au aceeași măsură    • Unghiuri interne de aceeași parte a secantei         - sunt între cele două drepte paralele         - sunt de aceeași parte față de cea de-a treia dreaptă (secantă)         - suma lor este 180° (sunt suplementare)    • Unghiuri externe de aceeași parte a secantei         - sunt în afara celor două drepte paralele         - sunt de aceeași parte față de cea de-a treia dreaptă (secantă)         - suma lor este 180° (sunt suplementare) De reținut:    • Interne/Externe + aceeași parte → adunare → 180°    • Alterne → egale    • Corespondente → egale În figura de mai jos se consideră  a∣∣ba||b  și secanta  s.s.  Atunci:    • Unghiuri corespondente         • 1^=5^\widehat1 = \widehat5         • 2^=6^\widehat2 = \widehat6         • 3^=7^\widehat3 = \widehat7         • 4^=8^\widehat4 = \widehat8    • Unghiuri alterne interne         • 4^=6^\widehat4 = \widehat6         • 3^=5^\widehat3 = \widehat5    • Unghiuri alterne externe         • 1^=7^\widehat1 = \widehat7         • 2^=8^\widehat2 = \widehat8    • Unghiuri interne de aceeași parte a secantei         • 4^+5^=180°\widehat4 + \widehat5 = 180°         • 3^+6^=180°\widehat3 + \widehat6 = 180°    • Unghiuri externe de aceeași parte a secantei         • 1^+8^=180°\widehat1 + \widehat8 = 180°         • 2^+7^=180°\widehat2 + \widehat7 = 180°
Se mai pot adăuga:    • Unghiuri opuse la vârf:           - 1^=3^\widehat1 = \widehat3         - 2^=4^\widehat2 = \widehat4         - 5^=7^\widehat5 = \widehat7         - 6^=8^\widehat6 = \widehat8    • Unghiuri în jurul unui punct:         - 1^+2^+3^+4^=360°\widehat1 + \widehat2+ \widehat3+ \widehat4 = 360°         - 5^+6^+7^+8^=360°\widehat5 + \widehat6+ \widehat7+ \widehat8 = 360°