Elemente introductive de geometrie

1.1  Unităţi de măsură a. Scara unităţilor de măsură Scara unitaților de măsura este prezentată mai jos, unde  u  este unitatea de bază de măsură.    • multiplii unitații de bază de măsură:          k = kilo          h = hecto          da = deca    • submultiplii:          d = deci          c = centi          m = mili

b. Unităţi de măsură pentru lungime, arie, volum Unitatea de măsură de bază pentru  lungime  este  m  (metrul). Mai jos se poate vedea scara transformărilor pentru lungime.

Exemple: 1 m = 10 dm (între m și  dm este 1 treaptă) 1 m = 100 cm (între m și cm sunt 2 trepte) 1 m = 1000 mm (între m și mm sunt 3 trepte) 1 m = 0.1 dam (între m și dam este 1 treaptă) 1 m = 0,01 hm (între m și hm sunt 2 trepte) 1 m = 0,001 km (între m și km sunt 3 trepte) Unitatea de măsură de bază pentru  arie  este  $\mathbf{m^2}$  (metrul pătrat). Mai jos se poate vedea scara transformărilor pentru arie.

O unitate des întâlnită pentru arie este  hectarul. Această unitate este folosită adesea în agricultură. $\mathbf{1\ ha = 1\ hm^2 = 10\,000\ m^2}$ Exemple: 1 m$^2$ =10$\mathrm{^2}$ dm$^2$  (între m și dm este 1 treaptă) 1 m$^2$ =10$\mathrm{^4}$ cm$^2$  (între m și cm sunt 2 trepte) 1 m$^2$ =10$\mathrm{^6}$ $\text{m{}m}^2$  (între m și mm sunt 3 trepte) 1 m$^2$ =10$\mathrm{^{-2}}$ $\text{d{}a{}m}^2$  (între m și dam este 1 treaptă) 1 m$^2$ =10$\mathrm{^{-4}}$ $\text{h{}m}^2$  (între m și hm sunt 2 trepte) 1 m$^2$ =10$\mathrm{^{-6}}$ $\text{k{}m}^2$  (între m și km sunt 3 trepte) Unitatea de măsură de bază pentru  volum  este  $\mathbf{m^3}$  (metrul cub). Mai jos se poate vedea scara transformărilor pentru volum.

1.2 Elemente principale a. Punctul    • Punctul indică o poziție în plan sau în spațiu.    • Nu are dimensiuni: nu are lungime, lățime sau grosime.    • Se notează cu litere mari (ex.: A, B, C).    • Reprezintă doar un loc, nu un obiect fizic.

b. Linia dreaptă    • Dreapta (linia) este o mulțime infinită de puncte.    • Se întinde la infinit în ambele sensuri.    • Nu are început și nici sfârșit.    • Se notează cu litere mici (ex.: d) sau cu două puncte de pe ea (ex.: AB).

c. Semidreapta    • Semidreapta are un punct de origine și se întinde la infinit într-o singură direcție.    • Este formată dintr-un punct și toate punctele aflate într-o anumită direcție.    • Se notează prin două puncte, primul fiind originea: [AB, (AB. Simbolizare paranteze:    • [ -  atinge capătul.            $\rightarrow$ semnifică faptul că punctul de origine face parte din semidreaptă.    • ( - nu atinge capătul.            $\rightarrow$ semnifică faptul că punctul de origine nu face parte din semidreaptă.

d. Segmentul    • Segmentul este porțiunea de dreaptă cuprinsă între două puncte.    • Are lungime determinată.    • Punctele de la capete se numesc extremități.    • Se notează cu două puncte:            [AB] → segment închis: ambele capete A și B incluse.            (AB) → segment deschis: ambele capete excluse.            [AB) → segment „semi-închis” la stânga: A inclus, B exclus.            (AB] → segment „semi-închis” la dreeapta: A exclus, B inclus.

Distanța dintre două puncte  $A$  și  $B$  este lungimea segmentului  $[AB]$: $|AB| =$distanța dintre $A$ și $B$ Două segmente sunt congruente dacă au aceeași lungime: $|AB| = |CD| \implies [AB] \cong [CD]$ Mijlocul segmentului  $[AB]$  este punctul  $M$  care împarte segmentul în două segmente egale: $M \in [AB] \quad$și$\quad |AM| = |MB|$

b. Poziția a două drepte    • Drepte concurente → două drepte care se întâlnesc într-un singur punct.               $d1​∩d2​=\{P\}$

   • Drepte paralele → două drepte care nu se întâlnesc niciodată, indiferent cât ar fi prelungite.               $d1​∥d2​$               $d1​∩d2​=$∅

d. Perpendicularitate Două drepte sunt perpendiculare dacă se întâlnesc astfel încât una merge „drept” pe cealaltă, ca la colțul unei foi sau al unei cărți. Când o dreaptă este perpendiculară pe alta:    • nu este înclinată,    • nu este oblică,    • este „așezată drept”. Exemple din viața de zi cu zi:    • Marginile unei foi    • Liniile de pe caiet (orizontale și verticale)    • Muchiile unei mese De reținut: dintr-un punctul exterior unei drepte se poate duce o singură linie dreaptă care cade drept pe aceea dreaptă. Punctul unde această linie ajunge pe dreaptă se numește piciorul perpendicularei. Matematic se poate spune că două drepte sunt perpendiculare dacă se întâlnesc și formează un unghi drept, adică de 90°(detalii despre unghiuri se găsesc la capitolul 3).

e. Distanța de la un punct la o dreaptă Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea celei mai scurte linii care unește punctul cu dreapta. Această linie:    • cade drept pe dreaptă,    • nu este oblică,    • nu este înclinată. De aceea, distanța se măsoară numai perpendicular, nu pe orice segment. Imaginează-ți un copil care stă lângă un drum drept și care vrea să ajungă pe drum. Cel mai scurt este să meargă direct, nu în diagonală. Acest drum „direct” este perpendiculara.

f. Simetria, axa de simetrie şi translaţia Simetria Simetria înseamnă că o figură arată la fel dacă o reflectăm sau o întoarcem într-un anumit fel. Exemplu: un fluture are aripi simetrice: partea stângă și partea dreaptă sunt oglindite una față de cealaltă.

Axa de simetrie Este o linie imaginară care împarte figura în două jumătăți oglindite. Exemple:    • Triunghi isoscel – are o axă de simetrie care trece prin vârful de sus și împărțirea bazei la jumătate.    • Pătrat – are 4 axe de simetrie: două diagonale și două drepte care taie pătratul pe la mijloc.    • Cerc – are infinitate de axe (poți să tai cercul în jumătate în orice direcție și tot arată la fel).

Translația Translația înseamnă a muta o figură dintr-un loc în altul, păstrând forma și mărimea. Cum funcționează:    • Toate punctele figurii se deplasează în aceeași direcție și cu aceeași distanță.    • Este ca și cum ai „glisa” figura pe masă fără să o rotești sau să o întorci. Exemplu: dacă se mută un triunghi 3 pași spre dreapta, triunghiul rămâne identic, doar că apare în alt loc.