Powered by Google Translate

Mulțimi. Noțiuni generale

1.1 Mulțimi de numere Mulțimea este un ansamblu format din cifre, litere, persoane, etc., care în termeni matematici se numesc elemente. Mulțimile se notează cu litere mari. Simbolurile des întâlnite în operațile cu mulțimi sunt următoarele:      ∈ - aparține      ∉ - nu aparține      ⊂ - inclus      ⊄ - nu este inclus      ∀ - oricare ar fi      ∃ - există
N−\mathbb{N}- mulțimea numerelor naturale cuprinde toate numerele întregi pozitive N={0,1,2,3,…}\mathbb{N}=\{0,1,2,3,…\} Mulțimea numerelor naturale este prima mulțime învățată și este folosită pentru numărare.   Aceste numere apar în viața de zi cu zi: numărul de elevi dintr-o clasă, numărul de obiecte sau pașii într-un algoritm.   Z−\mathbb{Z}- mulțimea numerelor întregi cuprinde toate numerele întregi negative și pozitive     Z={…,−2,−1,0,1,2,… }\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} Mulțimea numerelor întregi extinde mulțimea numerelor naturale prin introducerea numerelor negative.   Acestea sunt folosite pentru a reprezenta situații reale, cum ar fi temperaturi sub 0°C, datorii sau poziții pe axă.   Z\mathbb{Z} conține atât numere pozitive, cât și negative, dar nu conține fracții. Q−\mathbb{Q}- mulțimea numerelor raționale este alcătuită din toate numerele de forma аb\frac{а}b, unde a și b sunt numere întregi cu  b≠0b ≠ 0 Q={…,−3011,−2,−12,\mathbb{Q} = \{\dots, -\frac{30}{11}, -2, -\frac{1}{2}, 0,1,2,113,… }0, 1, 2, \frac{11}{3}, \dots\} Mulțimea numerelor raționale include toate numerele care pot fi scrise sub formă de fracție.   Acestea sunt folosite pentru a exprima părți dintr-un întreg, cum ar fi jumătate, sfert sau procente.   Orice număr zecimal finit sau periodic este un număr rațional. R−\mathbb{R}- mulțimea numerelor reale este alcătuită din mulțimea numerelor pozitive și negative, cu oricâte zecimale (inclusiv cu un număr infinit de zecimale neperiodice) R={…,−3011,−5,−2,−12,\mathbb{R} = \{\dots, -\frac{30}{11}, -\sqrt{5}, -2, -\frac{1}{2}, 0,1,3,152,2,113,… }0, 1, \sqrt{3}, \frac{\sqrt{15}}{2}, 2, \frac{11}{3}, \dots\} Mulțimea numerelor reale cuprinde toate numerele de pe axa numerelor.   Include atât numere raționale, cât și numere iraționale, cum ar fi  2\sqrt{2}  sau  π\pi.   Numerele reale sunt folosite pentru a descrie mărimi continue, cum ar fi lungimi, arii sau timp. Notă: dacă o mulțime este simbolizată cu “ * ” semnifică faptul că aceea mulțime nu conține elementul nul (0). Exemplu:    N*- mulțimea numerelor naturale fără 0 (nenule). Privind diagrama de mai sus putem concluziona faptul că N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} Fiecare mulțime o conține pe cea anterioară, ceea ce înseamnă că orice număr natural este și întreg, orice întreg este și rațional, iar orice rațional este real.
Altfel spus:      - un număr natural             este întotdeauna întreg             este întotdeauna rațional             este întotdeauna real      - un număr întreg             nu este întotdeauna natural             este întotdeauna rațional             este întotdeauna real      - un număr rațional             nu este întotdeauna natural             nu este întotdeauna întreg             este întotdeauna real      - un număr real             nu este întotdeauna natural             nu este întotdeauna întreg             nu este întotdeauna rațional
Pentru a fi mai clară explicația mai jos se găsesc câteva exemple: 2∈N,2 \in \mathbb{N},   2∈Z,2 \in \mathbb{Z},   2∈Q,2 \in \mathbb{Q},   2∈R2 \in \mathbb{R} −2∉N,-2 \notin \mathbb{N}, −2∈Z,-2 \in \mathbb{Z}, −2∈Q,-2 \in \mathbb{Q}, −2∈R-2 \in \mathbb{R} 12∉N,\frac{1}{2} \notin \mathbb{N},   12∉Z,\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z},   12∈Q,\frac{1}{2} \in \mathbb{Q},   12∈R\frac{1}{2} \in \mathbb{R} 3∉N,\sqrt{3} \notin \mathbb{N}, 3∉Z,\sqrt{3} \notin \mathbb{Z}, 3∉Q,\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}, 3∈R\sqrt{3} \in \mathbb{R}
1.2 Operații cu mulțimi a. Reuniunea mulțimilor matematice Reuniunea mulțimilor A și B este notată A∪B\mathbf{A∪B} („A reunit cu B”) și este formată din TOATE elementele celor două mulțimi (cele comune luate o singură dată). Exemplu: Fie A={1,2,3,5} și B={1,2,6,10} →\rightarrow A∪B={1,2,3,5,6,10} b. Intersecția mulțimilor matematice Intersecția mulțimilor A și B este notată A∩B\mathbf{A∩B} („A intersectat cu B”) și este formată din elementele COMUNE celor două mulțimi. Exemplu: Fie A={1,2,3,5} și B={1,2,6,10}   →\rightarrow A∩B={1,2} c. Diferența  mulțimilor matematice Diferența mulțimilor A și B este notată A\B\mathbf{A\backslash B} („A minus B”) și este formată din elementele care SUNT ÎN PRIMA MULȚIME ȘI NU SUNT ÎN A DOUA MULȚIME. Exemplu: Fie A={1,2,3,5} și B={1,2,6,10} →\rightarrow A \ B={3,5} →\rightarrow B \ A={6,10} d. Produsul cartezian al mulțimilor matematice Produsul cartezian al mulțimilor A și B este notat AxB\mathbf{AxB} (A ori B) și este compus din toate perechile de forma (a,b), unde a este un element din mulțimea A și b este un element din mulțimea B. Exemplu: Fie A={1,2,3} și B={6,10} →\rightarrow A x B={(1,6),(1,10),(2,6),(2,10), (3,6),(3,10)}
De reținut:    • două mulțimi se numesc disjuncte dacă nu au niciun element comun.    • o mulțime care nu are niciun element se numește “mulţimea vidă” și se notează cu simbolul ∅.    • cardinalul unei mulţimi reprezintă numărul de elemente al mulțimii respective (card).