Mulțimea numerelor raționale

3.1 Fracțiile ordinare și fracțiile zecimale a. Fracțiile ordinare. Amplificarea și simplificarea fracțiilor ordinare Fracția ordinară este o pereche de două numere întregi scrisă sub forma

\frac{а}b

, unde b este nenul. Cele două numere care formează o fracție ordinară sunt: • numărătorul (а) – se află deasupra liniei de fracție • numitorul (b) – se află sub linia de fracție Fracțiile ordinare pot fi: • subunitare (fracție proprie), în care numărătorul este mai mic decât numitorul Exemplu:

\frac{2}{3},\frac{5}{10},\frac{15}{101}

• echiunitare (fracție egală cu 1), în care numărătorul este egal cu numitorul Exemplu:

\frac{2}{2},\frac{5}{5},\frac{15}{15}

• supraunitare (fracție improprie), în care numărătorul este mai mare decât numitorul Exemplu:

\frac{3}{2},\frac{10}{5},\frac{101}{15}

Două fracții sunt echivalente dacă se verifică următoarea relație:

\frac{а}{b} = \frac{c}{d}\Longleftrightarrow а \cdot d = b \cdot c

unde: a și d se numesc termeni extremi b și c se numesc termeni mezi Fracțiile echivalente se obțin prin două metode: amplificare și simplificare. Amplificarea fracțiilor ordinare se face înmulțind ambii termeni (numărătorul și numitorul) cu același număr.

{}^{\!n)}\frac{а}{b} = \frac{а \cdot n}{b \cdot n}

Simplificarea fracțiilor ordinare se face împărțind ambii termeni (numărătorul și numitorul) cu același număr.

\frac{а}{b}^{\!(n} = \frac{а : n}{b : n}

O fracție care nu se mai poate simplifica se numeste ireductibilă. De reținut: • fracția cu numitor 100 se numește procent

(\frac{15}{100}=15\%)

• numerele naturale și cele întregi se pot scrie ca fracție cu numitor 1

(2=\frac{2}1)

b. Fracțiile zecimale. Transformările fracțiilor zecimale în fracții ordinare Fracția zecimală este un număr de forma

\overline{abc,def\ldots}

și poate avea un număr finit sau infinit de zecimale. Fracțiile zecimale pot fi: • fracțiile zecimale finite (terminating decimals)

:3,14= \frac{314}{100}

, se iau toate cifrele după virgulă ca numărător și se pune ca numitor 1 urmat de tot atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă. Exemple:

0,75 = \frac{75}{100}

2,4 = \frac{24}{10}

5,125 = \frac{5125}{1000}

• fracțiile zecimale periodice simple (pure recurring decimals)

:3,(14)= \frac{314-3}{99}

, se scrie numărul fără virgulă minus partea întreagă, iar numitorul este tot atâtea 9 câte cifre are perioada. Exemple:

0,(3) = \frac{3-0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

2,(7) = \frac{27-2}{9} = \frac{25}{9}

5,(12) = \frac{512-5}{99} = \frac{507}{99}

• fracțiile zecimale periodice mixte (mixed recurring decimals)

:3,1(4)= \frac{314-31}{90}

, se scrie numărul fără virgulă minus partea neperiodică, iar numitorul este format din atâtea 9 câte cifre are perioada și atâtea 0 câte cifre are partea neperiodică. Exemple:

0,1(6) = \frac{16-1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}

2,3(45) = \frac{2345-23}{990} = \frac{2322}{990} = \frac{1161}{495}

5,12(7) = \frac{5127-512}{900} = \frac{4615}{900}

«către 2.2

către 3.2»