Powered by Google Translate

Mulțimea numerelor întregi

2.1 Operații cu numere întregi a. Adunarea și scăderea Pentru a aduna două numere întregi cu același semn se pune semnul comun și se face adunarea valorilor numerice. Semnul unui număr este cel din fața lui (dacă nu există semn înseamnă că este +). Exemple: +3+4=+(3+4)=+7−2−5=−(2+5)=−7+6+9=+(6+9)=+15−8−3=−(8+3)=−11+10+5=+(10+5)=+15\begin{aligned} +3 + 4 &= +(3+4) = +7 \\ -2 - 5 &= -(2+5) = -7 \\ +6 + 9 &= +(6+9) = +15 \\ -8 - 3 &= -(8+3) = -11 \\ +10 + 5 &= +(10+5) = +15 \end{aligned} Pentru a aduna două numere întregi de semne opuse se pune semnul celui cu valoarea absolută mai mare și se face scăderea valorilor numerice. Exemple: +5−2=+(5−2)=+3−7+3=−(7−3)=−4+9−12=−(12−9)=−3−15+8=−(15−8)=−7+20−7=+(20−7)=+13\begin{aligned} +5 - 2 &= +(5-2) = +3 \\ -7 + 3 &= -(7-3) = -4 \\ +9 - 12 &= -(12-9) = -3 \\ -15 + 8 &= -(15-8) = -7 \\ +20 - 7 &= +(20-7) = +13 \end{aligned} Notă: Dacă două valorile numerice sunt egale și semnele opuse, suma va fi  00, de exemplu +6−6=0+6 - 6 = 0.
b. Înmulțirea și împărțirea Pentru a înmulți sau a împărți două numere întregi trebuie să ținem cont de regula semnelor: (+)⋅(+)=(+)(+) \cdot (+) = (+) (−)⋅(−)=(+)(-) \cdot (-) = (+) (+)⋅(−)=(−)(+) \cdot (-) = (-) (−)⋅(+)=(−)(-) \cdot (+) = (-) Exemple de înmulțire: (+3)⋅(+4)=+12(−2)⋅(−5)=+10(+6)⋅(−7)=−42(−8)⋅(+9)=−72(−3)⋅(−11)=+33\begin{aligned} (+3) \cdot (+4) &= +12 \\ (-2) \cdot (-5) &= +10 \\ (+6) \cdot (-7) &= -42 \\ (-8) \cdot (+9) &= -72 \\ (-3) \cdot (-11) &= +33 \end{aligned} Exemple de împărțire: (+12):(−4)=−3(−20):(+5)=−4(+30):(+6)=+5(−45):(−9)=+5(+18):(−3)=−6\begin{aligned} (+12) : (-4) &= -3 \\ (-20) : (+5) &= -4 \\ (+30) : (+6) &= +5 \\ (-45) : (-9) &= +5 \\ (+18) : (-3) &= -6 \end{aligned}
c. Formule de calcul cu puteri аm⋅аn=аm+nа^m \cdot а^n = а^{m+n} аm:аn=аm−nа^m : а^n = а^{m-n} (аm)n=аm⋅n\left(а^m\right)^n = а^{m \cdot n} аm⋅bm=(а⋅b)mа^m \cdot b^m = \left(а \cdot b\right)^m аm:bm=(а:b)mа^m : b^m = \left(а : b\right)^m De reținut: 0n=0,1n=10^n = 0,\quad 1^n = 1 n0=1,n^0 = 1, pentru  n≠0n ≠ 0 (−x)2k=x2k(-x)^{\text{2k}} = x^{\text{2k}} (puterea pară a unui număr) (−x)2k+1=− x2k+1(-x)^{\text{2k+1}} = -\,x^{\text{2k+1}} (puterea impară a unui număr) Exemple: аm⋅аn=аm+nа^m \cdot а^n = а^{m+n} 23⋅24=23+4=27=12852⋅53=52+3=55=3125\begin{aligned} 2^3 \cdot 2^4 &= 2^{3+4} = 2^7 = 128 \\ 5^2 \cdot 5^3 &= 5^{2+3} = 5^5 = 3125 \end{aligned} аm:аn=аm−nа^m : а^n = а^{m-n} 25:22=25−2=23=874:72=74−2=72=49\begin{aligned} 2^5 : 2^2 &= 2^{5-2} = 2^3 = 8 \\ 7^4 : 7^2 &= 7^{4-2} = 7^2 = 49 \end{aligned} (аm)n=аm⋅n(а^m)^n = а^{m \cdot n} (32)3=32⋅3=36=729(23)4=23⋅4=212=4096\begin{aligned} (3^2)^3 &= 3^{2\cdot3} = 3^6 = 729 \\ (2^3)^4 &= 2^{3\cdot4} = 2^{12} = 4096 \end{aligned} аm⋅bm=(а⋅b)mа^m \cdot b^m = (а \cdot b)^m 23⋅53=(2⋅5)3=103=100032⋅42=(3⋅4)2=122=144\begin{aligned} 2^3 \cdot 5^3 &= (2\cdot5)^3 = 10^3 = 1000 \\ 3^2 \cdot 4^2 &= (3\cdot4)^2 = 12^2 = 144 \end{aligned} аm:bm=(а:b)mа^m : b^m = (а : b)^m 83:23=(8:2)3=43=64102:52=(10:5)2=22=4\begin{aligned} 8^3 : 2^3 &= (8:2)^3 = 4^3 = 64 \\ 10^2 : 5^2 &= (10:5)^2 = 2^2 = 4 \end{aligned} 0n=0,1n=10^n = 0, \quad 1^n = 1 05=0,17=10^5 = 0, \quad 1^7 = 1 n0=1,n≠0n^0 = 1, \quad n\neq 0 50=1,120=15^0 = 1, \quad 12^0 = 1 (−x)2k=x2k(-x)^{2k} = x^{2k} (putere pară) (−2)4=24=16,(−5)2=52=25(-2)^4 = 2^4 = 16, \quad (-5)^2 = 5^2 = 25 (−x)2k+1=− x2k+1(-x)^{2k+1} = -\,x^{2k+1} (putere impară) (−3)3=−27,(−4)5=−1024(-3)^3 = -27, \quad (-4)^5 = -1024
d. Ordinea efectuării operațiilor În lipsa parantezelor se fac mai întâi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile. Dacă există paranteze se fac mai întâi calculele din paranteză (în paranteză se aplică regula de mai sus: înmulțirile și împărțirile primele, apoi adunările și scăderile). La rezolvarea exercițiilor folosind metoda mersului invers operațiile se schimbă în felul următor:    • adunarea devine scădere și scăderea devine adunare.    • înmulțirea devine împărțire și împărțirea devine înmulțire. Exemple: Fără paranteze:    3+5⋅2=3+10=133 + 5 \cdot 2 = 3 + 10 = 13    12:4+6=3+6=912 : 4 + 6 = 3 + 6 = 9 Cu paranteze:    (3+5)⋅2=8⋅2=16(3 + 5) \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16    (12−4):2+3=8:2+3=4+3=7(12 - 4) : 2 + 3 = 8 : 2 + 3 = 4 + 3 = 7    5+2⋅(3+7)=5+2⋅10=5+20=255 + 2 \cdot (3 + 7) = 5 + 2 \cdot 10 = 5 + 20 = 25 Notă: În toate exemplele, mai întâi se efectuează operațiile din paranteze (dacă există), apoi înmulțirile și împărțirile, iar la final adunările și scăderile. Exemple de rezolvare cu metoda mersului invers:    → adunarea devine scădere:    x+7=15x + 7 = 15    x=15−7=8x = 15 - 7 = 8    → înmulțirea devine împărțire:    3⋅x=123 \cdot x = 12    x=12:3=4x = 12 : 3 = 4    → adunarea devine scădere    → înmulțirea devine împărțire:    5+2⋅x=175 + 2 \cdot x = 17    2⋅x=17−52 \cdot x = 17 - 5      2⋅x=122 \cdot x= 12      x=12:2=6x = 12 : 2 = 6
e. Suma lui Gauss 1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} Exemplul 1: 1+2+3+⋯+100=1 + 2 + 3 + \cdots + 100= =100(100+1)2= \frac{100(100+1)}{2} =100⋅1012= \frac{100 \cdot 101}{2} =50⋅101= 50 \cdot 101 =5050= 5050 Exemplul 2: 1+2+3+⋯+50=1 + 2 + 3 + \cdots + 50 = =50(50+1)2= \frac{50(50+1)}{2}   =50⋅512= \frac{50 \cdot 51}{2}   =25⋅51= 25 \cdot 51   =1275= 1275 Exemplul 3:   1+2+3+⋯+200=1 + 2 + 3 + \cdots + 200 = =200(200+1)2= \frac{200(200+1)}{2}   =200⋅2012= \frac{200 \cdot 201}{2}   =100⋅201= 100 \cdot 201   =20100= 20100
f. Teorema împărțirii cu rest Teorema împărțirii cu rest afirmă că pentru orice deîmpărțit (D) și împărțitor (Î≠ 0), există un cât unic (C) și un rest unic (R) astfel încât: D = ηC + R, cu condiția obligatorie ca 0 ≤ R < |Î|. Exemple: 17:5=3;17 : 5=3;  R =2= 2 17=5⋅3+217 = 5 \cdot 3 + 2 23:4=5;23 : 4 = 5;  R =3= 3   23=4⋅5+323 = 4 \cdot 5 + 3 50:7=7;50 : 7 = 7;  R =1= 1   50=7⋅7+150 = 7 \cdot 7 + 1
g. Diverse de reținut    • opusul unui număr oarecare x este  -x    • forma generală a unui număr par este 2k    • numerele consecutive pare au forma 2k, 2k+2, 2k+4    • forma generală a unui număr impar este 2k+1    • numerele consecutive impare au forma 2k+1, 2k+3, 2k+5    • descompunerea unor numere de mai multe cifre:   аb‾=а⋅10+b\overline{аb} = а \cdot 10 + b   аbc‾=а⋅100+b⋅10+c\overline{аbc} = а \cdot 100 + b \cdot 10 + c   аbcd‾=а⋅1000+b⋅100+c⋅10+d\overline{аbcd} = а \cdot 1000 + b \cdot 100 + c \cdot10 + d   32‾=3⋅10+2\overline{32} = 3 \cdot 10 + 2   154‾=1⋅100+5⋅10+4\overline{154} = 1 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 4   2563‾=2⋅1000+5⋅100+6⋅10+3\overline{2563} = 2 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 6 \cdot10 + 3
«către 1.2
către 2.2»