Powered by Google Translate

Funcţii

7.2 Funcția de gradul 1 a. Noţiunea de funcţie Se consideră două mulțimi nevide A și B. Relația care face ca fiecărui element din mulțimea A să îi corespundă un singur element din mulțimea B se numește funcție. Se notează:  f:A→B.f:A→B. Se citește „funcția f este definită pe mulțimea A cu valori în mulțimea B”, unde:    •  A se numește domeniu de definiție    •  B se numește codomeniu (mulțimea în care funcția ia valori)    •  y=f(x)y=f(x)  se numește legea de corespondență Funcția de gradul 1 (funcția liniară) Forma generală a unei funcții de grad 1 este: f∶A→R,f(x)=ax+b,a,b∈R,a≠0f∶A→R ,f(x)=ax+b,a,b \in R,a≠0 Reprezentarea geometrică a graficului funcţiei de gradul 1 este o dreaptă care este:    • strict crescătoare  dacă  a>0a>0,      • strict descrescătoare  dacă  a<0a<0. Exemplul 1: Fie funcția f:R→R, f(x)=2x+1f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 2x + 1 Se observă că:    • R\mathbb{R}  este domeniul de definiție (valorile lui  xx)    • R\mathbb{R}  este codomeniul (valorile lui  yy)    • f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1  este legea de corespondență Exemplul 2: Fie funcția f:[0,5]→R, f(x)=−x+4f:[0,5] \to \mathbb{R},\ f(x) = -x + 4 Se observă că:    • [0,5][0,5] este domeniul de definiție    • R\mathbb{R} este codomeniul    • f(x)=−x+4f(x) = -x + 4  este legea de corespondență Exemplul 3: Fie funcția f:Z→Z, f(x)=3x−2f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\ f(x) = 3x - 2 Se observă că:    • Z\mathbb{Z} este domeniul de definiție    • Z\mathbb{Z} este codomeniul    • f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2  este legea de corespondență
b. Reprezentarea grafică Graficul unei funcţii de grad 1 se poate realiza în două moduri:    • Metoda 1: dând valori necunoscutei x        pentru  x=x1x=x_1  se calculează  y1=f(x1)y_1=f(x_1)  și rezultă punctul  A(x1,y1)A(x_1,y_1)        pentru  x=x2x=x_2  se calculează  y2=f(x2)y_2=f(x_2)  și rezultă punctul  B(x2,y2)B(x_2,y_2)
   • Metoda 2: intersecția cu axele de coordonate         Gf∩Ox=T1(x,0),G_f∩O_x={T_1 (x,0) },  pentru aceasta rezolvăm ecuația  f(x)=0f(x)=0         f(x)=0⇒ax+b=0⇒f(x)=0 \Rightarrow ax+b=0 \Rightarrow         x=−ba⇒T1(−ba,0)x=-\frac{b}a \Rightarrow T_1 (-\frac{b}a,0)         Gf∩Oy=T2(0,y),G_f∩O_y={T_2 (0,y) },  pentru aceasta calculăm  y=f(0)y=f(0)                          y=f(0)=a⋅0+by=f(0)=a \cdot 0+b         y=b⇒T2(0,b)y=b \Rightarrow T_2 (0,b)
c. Intersecția a două funcții Pentru a afla coordonatele punctului de intersecție a două funcții de grad 1 înseamnă a afla punctul care se află pe ambele grafice. Pentru aceasta:    • se egalează cele două funcții f(x)=g(x)f(x)=g(x)  de unde se află coordonata  xx;    • valoarea lui  xx  se înlocuiește în oricare dintre cele două funcții pentru a afla coordonata yy. Exemplu: Să se afle punctul de intersecție dintre următoarele funcții: f(x)=2x+3f(x)=2x+3 g(x)=3x−1g(x)=3x-1 f(x)=g(x)f(x)=g(x) ⇒2x+3=3x−1\Rightarrow 2x+3=3x-1 ⇒2x−3x=−1−3\Rightarrow 2x-3x=-1-3 ⇒−x=−4⇒x=4\Rightarrow -x=-4 \Rightarrow x=4 f(4)=2⋅4+3=11f(4)=2 \cdot 4+3=11 g(4)=3⋅4−1=11g(4)=3 \cdot 4-1=11 Punctul de intersecție dintre f și g are coordonatele  I(4,11)I(4,11).
d. Imaginea unei funcții (Imf) Pentru x∈A, elementul f(x)∈B se numește imaginea lui x prin funcția f. Pentru a determina imaginea funcției trebuie calculată mulțimea valorilor funcției (toate valorile  f(x)∈Bf(x)∈B  pentru toate valorile  x∈Ax∈A). Imf=f(x)/x∈AImf={f(x)/x∈A} Exemplul 1: Fie funcția  f:R→R, f(x)=x+2f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = x + 2 Pentru orice număr real  x,x,  adunând  2,2,  obținem tot un număr real, iar domeniul de definiție fiind întregul  R,\mathbb{R},  valorile acoperă toată axa reală. Atunci:  Imf=RImf = \mathbb{R} Exemplul 2: Fie funcția  f:[0,3]→R, f(x)=2xf:[0,3] \to \mathbb{R},\ f(x) = 2x f(0)=0,f(3)=6f(0) = 0,\quad f(3) = 6 Atunci:  Imf=[0,6]Imf = [0,6] Exemplul 3: Fie funcția   f:[−1,2]→R, f(x)=−x+1\ f:[-1, 2] \to \mathbb{R},\ f(x) = -x + 1 f(−1)=2,f(2)=−1f(-1) = 2,\quad f(2) = -1 Atunci:  Imf=[−1,2]\ Imf = [-1, 2]
e. Apartenența unui punct graficului unei funcții Orice punct PP aparține graficului unei funcții ff dacă se verifică următoarea relație: P(a,b)ϵGf⇔f(a)=bP(a,b)ϵGf⇔f(a)=b Exemplul 1: Fie funcția f:R→R, f(x)=2x+1f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 2x + 1 Punctul  A(1,3)A(1,3) f(1)=2⋅1+1=3f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 ⇒A(1,3)∈Gf\Rightarrow A(1,3) \in G_f Exemplul 2: Fie funcția f:R→R, f(x)=−x+4f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = -x + 4 Punctul  B(2,1)B(2,1) f(2)=−2+4=2≠1f(2) = -2 + 4 = 2 \neq 1 ⇒B(2,1)∉Gf\Rightarrow B(2,1) \notin G_f Exemplul 3: Fie funcția f:R→R, f(x)=3x−2f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 3x - 2 Punctul  C(2,4)C(2,4) f(2)=3⋅2−2=6−2=4f(2) = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4 ⇒C(2,4)∈Gf\Rightarrow C(2,4) \in G_f
«către subcapitol 7.1