Powered by Google Translate

Funcţii

7.1 Sistem de axe ortogonale a. Reprezentarea punctelor în plan Sistemul de axe ortogonale reprezintă două axe perpendiculare, care au aceeași origine și pentru care se alege aceeași unitate de măsură. Poziția fiecărui punct dintr-un sistem de axe ortogonale este determinată de două valori:    • valoarea abscisei (poziția pe orizontală) care se notează cu xx.    • valoarea ordonatei (poziția pe verticală) care se notează cu yy. Regulă importantă: Se citește mereu  x, apoi y  (mai întâi pe orizontală, apoi pe verticală). Exemplu: Punctul A(2,3)A(2,3):    - se merge  22  unități la dreapta    - apoi  33  unități în sus
Dacă un punct se află pe axa absciselor (Ox) are valoare ordonatei nulă: B(xB,0)B(x_B,0), iar dacă se află pe axa ordonatelor (Oy) are valoare abscisei nulă: C(0,yC)C(0,y_C ). OO se numește originea sistemului de axe și are ambele coordonate nule O(0,0).O(0,0).
b. Distanţa dintre două puncte Sistemul de axe ortogonale ne permite să reprezentăm punctele din plan prin coordonatele lor (x,y)(x,y).   Pentru a afla distanța dintre două puncte  A(xA,yA)A(x_A,y_A) și B(xB,yB)B(x_B,y_B), se folosește  teorema lui Pitagora: diferența coordonatelor orizontale și verticale formează catetele unui triunghi dreptunghic, iar distanța dintre puncte este ipotenuza. Astfel, distanța dintre două puncte se calculează cu formula: AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} Importanța distanței între puncte În viața reală, distanța dintre puncte nu e doar un concept matematic: este folosită în **GPS**, **design grafic**, **jocuri video** sau **proiectarea de clădiri**. Înțelegerea acestei formule te ajută să calculezi rapid cât de departe sunt două locații sau obiecte între ele. Truc de memorie   Pentru a nu uita formula, gândește-te la diferența coordonatelor ca la **catetele unui triunghi dreptunghic**, iar distanța dintre puncte ca la **ipotenuza**. Este exact principiul teoremei lui Pitagora, pe care probabil l-ai mai folosit. Curiozitate matematică   Dacă punctele au aceeași abscisă  (xA=xB)(x_A = x_B), distanța este pur și simplu diferența verticală  ∣yB−yA∣|y_B - y_A|.   Dacă au aceeași ordonată  (yA=yB)(y_A = y_B), distanța e diferența orizontală  ∣xB−xA∣|x_B - x_A|.   Deci formula generală funcționează și pentru cazuri simple. Aplicații rapide pentru elevi   Poți folosi această formulă și pentru a calcula **perimetrul unui triunghi** dacă știi coordonatele vârfurilor, sau chiar pentru a verifica dacă un triunghi este dreptunghic (când distanțele satisfac relația lui Pitagora). Exemplul 1: Punctele  A(1,2)A(1,2)  și  B(4,6)B(4,6) AB=(4−1)2+(6−2)2AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} AB=32+42=9+16=25=5AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 Exemplul 2: Punctele  A(−2,3)A(-2,3)  și  B(1,−1)B(1,-1) AB=(1−(−2))2+(−1−3)2AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} AB=32+(−4)2=9+16=25=5AB = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 Exemplul 3: Punctele A(0,0)A(0,0) și B(3,4)B(3,4) AB=(3−0)2+(4−0)2AB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} AB=9+16=25=5AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
c. Coordonatele mijlocului unui segment Coordonatele mijlocului unui segment reprezintă media aritmetică a coordonatelor capetelor acestuia. Se dau două puncte  A(xA,yA)A(x_A, y_A)  și  B(xB,yB).B(x_B, y_B).  Dacă punctul  MM  este mijlocul segmentului  AB,AB,  atunci  BB  este simetricul punctului  AA  față de  M.M. Poziția mijlocului fiecărui segment dintr-un sistem de axe ortogonale este determinată de două valori:    • valoarea abscisei (poziția pe orizontală) care se notează cu  xM=xA+xB2.x_M = \frac{x_A + x_B}{2}.    • valoarea ordonatei (poziția pe verticală) care se notează cu  yM=yA+yB2.y_M = \frac{y_A + y_B}{2}. Regulă importantă: Se scrie mereu  x, apoi y   Deci:  M(xA+xB2,yA+yB2).M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right). Exemplul 1: Punctul  M,M,  mijlocul segmentului  ABAB  unde  A(−2,5)A(-2,5)  și  B(4,−1):B(4,-1):    - se calculează  xM=−2+42=22=1x_M = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1    - apoi  yM=5+(−1)2=42=2y_M = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2 Așadar,  M(1,2)M(1,2) Exemplul 2: Punctul  B,B,  capătul segmentului  ABAB  unde  A(−1,1)A(-1,1)  și mijlocul  M(2,−3):M(2,-3):    - din  2=−1+xB2⇒−1+xB=4⇒xB=52 = \frac{-1 + x_B}{2} \Rightarrow -1 + x_B = 4 \Rightarrow x_B = 5    - din  −3=1+yB2⇒1+yB=−6⇒yB=−7-3 = \frac{1 + y_B}{2} \Rightarrow 1 + y_B = -6 \Rightarrow y_B = -7 Așadar,  B(5,−7)B(5,-7)
d. Simetricul unui punct Simetricul unui punct față de alt punct Dacă punctul  CC  este simetricul punctului  A(xA,yA)A(x_A, y_A)  față de punctul  B(xB,yB)B(x_B, y_B),  atunci  BB  este mijlocul segmentului  ACAC. Coordonatele lui  C(xC,yC)C(x_C, y_C)  se află din formulele mijlocului:    •  xC=2⋅xB−xAx_C = 2 \cdot x_B - x_A      •  yC=2⋅yB−yAy_C = 2 \cdot y_B - y_A   Exemplu: Simetricul punctului  A(1,4)A(1,4)  față de  B(3,2)B(3,2)  este punctul  CC:    -  xC=2⋅3−1=6−1=5x_C = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5      -  yC=2⋅2−4=4−4=0y_C = 2 \cdot 2 - 4 = 4 - 4 = 0   Așadar,  C(5,0)C(5,0).
Simetricul unui punct față de axa Ox Simetricul punctului  A(x,y)A(x,y)  față de axa  ОxО_x  este punctul  B(x,−y)B(x, -y).    • abscisa  xx  rămâne aceeași    • ordonata  yy  își schimbă semnul Exemplu: Simetricul punctului  A(3,−5)A(3, -5)  față de axa  ОxО_x  este  B(3,5)B(3, 5). Simetricul unui punct față de axa Оy Simetricul punctului  A(x,y)A(x,y)  față de axa  ОyО_y  este punctul  C(−x,y)C(-x, y).    • abscisa  xx  își schimbă semnul    • ordonata  yy  rămâne aceeași Exemplu: Simetricul punctului  A(3,−5)A(3, -5)  față de axa  ОyО_y  este  C(−3,−5)C(-3, -5).
7.2 Funcția de gradul 1 a. Noţiunea de funcţie Se consideră două mulțimi nevide A și B. Relația care face ca fiecărui element din mulțimea A să îi corespundă un singur element din mulțimea B se numește funcție. Se notează: f:A→B.f:A→B. Se citește „funcția f  este definită pe mulțimea A cu valori în mulțimea B”, unde:    •  A se numește domeniu de definiție    •  B se numește codomeniu (mulțimea în care funcția ia valori)    •  y=f(x)y=f(x) se numește legea de corespondență Funcția de gradul 1 (funcția liniară) Forma generală a unei funcții de grad 1 este: f∶A→R,f(x)=аx+b,a,b∈R,а≠0f∶A→R ,f(x)=аx+b,a,b \in R,а≠0 Reprezentarea geometrică a graficului funcţiei de gradul 1 este o dreaptă care este strict crescătoare dacă  а>0а>0,  respectiv strict descrescătoare dacă  а<0а<0. Exemplul 1: Fie funcția f:R→R, f(x)=2⋅x+1f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 2 \cdot x + 1 Se observă că:    • R\mathbb{R}  este domeniul de definiție (valorile lui  xx)    • R\mathbb{R}  este codomeniul (valorile lui  yy)    • f(x)=2⋅x+1f(x) = 2 \cdot x + 1  este legea de corespondență Exemplul 2: Fie funcția f:[0,5]→R, f(x)=−x+4f:[0,5] \to \mathbb{R},\ f(x) = -x + 4 Se observă că:    • [0,5][0,5] este domeniul de definiție    • R\mathbb{R} este codomeniul    • f(x)=−x+4f(x) = -x + 4  este legea de corespondență Exemplul 3: Fie funcția f:Z→Z, f(x)=3⋅x−2f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\ f(x) = 3 \cdot x - 2 Se observă că:    • Z\mathbb{Z} este domeniul de definiție    • Z\mathbb{Z} este codomeniul    • f(x)=3⋅x−2f(x) = 3 \cdot x - 2  este legea de corespondență
b. Reprezentarea grafică Graficul unei funcţii de grad 1 se poate realiza în două moduri:    • Metoda 1: dând valori necunoscutei x        pentru  x=x1x=x_1  se calculează  y1=f(x1)y_1=f(x_1)  și rezultă punctul  A(x1,y1)A(x_1,y_1)        pentru  x=x2x=x_2  se calculează  y2=f(x2)y_2=f(x_2)  și rezultă punctul  B(x2,y2)B(x_2,y_2)
   • Metoda 2: intersecția cu axele de coordonate         Gf∩Ox=T1(x,0)G_f∩O_x={T_1 (x,0) }, pentru aceasta rezolvăm ecuația  f(x)=0f(x)=0         f(x)=0→аx+b=0→x=−bа→T1(−bа,0)f(x)=0→аx+b=0→x=-\frac{b}а→ T_1 (-\frac{b}а,0)         Gf∩Oy=T2(0,y)G_f∩O_y={T_2 (0,y) }, pentru aceasta calculăm  y=f(0)y=f(0)                          y=f(0)=а•0+b=b→T2(0,b)y=f(0)=а•0+b=b→ T_2 (0,b)
c. Intersecția a două funcții Pentru a afla coordonatele punctului de intersecție a două funcții de grad 1 înseamnă a afla punctul care se află pe ambele grafice. Pentru aceasta:    • se egalează cele două funcții f(x)=g(x)f(x)=g(x)  de unde se află coordonata  xx;    • valoarea lui  xx  se înlocuiește în oricare dintre cele două funcții pentru a afla coordonata yy. Exemplu: Să se afle punctul de intersecție dintre următoarele funcții: f(x)=2⋅x+3f(x)=2 \cdot x+3 g(x)=3⋅x−1g(x)=3 \cdot x-1 f(x)=g(x)⇒2⋅x+3=3⋅x−1f(x)=g(x) \Rightarrow 2 \cdot x+3=3 \cdot x-1 ⇒2⋅x−3⋅x=−1−3\Rightarrow 2 \cdot x-3 \cdot x=-1-3 ⇒−x=−4⇒x=4\Rightarrow -x=-4 \Rightarrow x=4 f(4)=2⋅4+3=11f(4)=2 \cdot 4+3=11 g(4)=3⋅4−1=11g(4)=3 \cdot 4-1=11 Punctul de intersecție dintre f și g are coordonatele  I(4,11)I(4,11).
d. Imaginea unei funcții (Imf) Pentru x∈A, elementul f(x)∈B se numește imaginea lui x prin funcția f. Pentru a determina imaginea funcției trebuie calculată mulțimea valorilor funcției (toate valorile f(x)∈Bf(x)∈B pentru toate valorile x∈Ax∈A). Imf=f(x)/x∈AImf={f(x)/x∈A} Exemplul 1: Fie funcția f:R→R, f(x)=x+2f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = x + 2 Imf=RImf = \mathbb{R} Exemplul 2: Fie funcția f:[0,3]→R, f(x)=2⋅xf:[0,3] \to \mathbb{R},\ f(x) = 2 \cdot x f(0)=0,f(3)=6f(0) = 0,\quad f(3) = 6 Imf=[0,6]Imf = [0,6] Exemplul 3: Fie funcția f:R→R, f(x)=−x+1f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = -x + 1 Imf=RImf = \mathbb{R}
e. Apartenența unui punct graficului unei funcții Orice punct PP aparține graficului unei funcții ff dacă se verifică următoarea relație: P(a,b)ϵGf⇔f(a)=bP(a,b)ϵGf⇔f(a)=b Exemplul 1: Fie funcția f:R→R, f(x)=2⋅x+1f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 2 \cdot x + 1 Punctul  A(1,3)A(1,3) f(1)=2⋅1+1=3f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 ⇒A(1,3)∈Gf\Rightarrow A(1,3) \in G_f Exemplul 2: Fie funcția f:R→R, f(x)=−x+4f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = -x + 4 Punctul  B(2,1)B(2,1) f(2)=−2+4=2≠1f(2) = -2 + 4 = 2 \neq 1 ⇒B(2,1)∉Gf\Rightarrow B(2,1) \notin G_f Exemplul 3: Fie funcția f:R→R, f(x)=3⋅x−2f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 3 \cdot x - 2 Punctul  C(2,4)C(2,4) f(2)=3⋅2−2=6−2=4f(2) = 3 \cdot 2 - 2 = 6 - 2 = 4 ⇒C(2,4)∈Gf\Rightarrow C(2,4) \in G_f