Sisteme de ecuații de gradul 1
Test 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

{2x+y=5x+y=3\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}{2x+y=5x+y=3​

(1,2)

(2,1)

(3,0)

(0,3)

Exercițiul 2

Rezolvați:

{3x+2y=8x−2y=0\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - 2y = 0 \end{cases}{3x+2y=8x−2y=0​

(1,2)

(4,2)

(2,1)

(0,4)

Exercițiul 3

Rezolvați:

{2x+3y=19x+y=7\begin{cases} 2x + 3y = 19 \\ x + y = 7 \end{cases}{2x+3y=19x+y=7​

(4,3)

(3,4)

(5,2)

(2,5)

Exercițiul 4

Rezolvați:

{3x+2y=20x+y=8\begin{cases} 3x + 2y = 20 \\ x + y = 8 \end{cases}{3x+2y=20x+y=8​

(4,4)

(5,3)

(3,5)

(6,2)

Exercițiul 5

Rezolvați:

{2x+3y=213x+2y=24\begin{cases} 2x + 3y = 21 \\ 3x + 2y = 24 \end{cases}{2x+3y=213x+2y=24​

(3,6)

(6,3)

(5,4)

(4,5)

Exercițiul 6

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

{3x+4y=18x+y=5\begin{cases} 3x + 4y = 18 \\ x + y = 5 \end{cases}{3x+4y=18x+y=5​

(3,2)

(1,4)

(4,1)

(2,3)

Exercițiul 7

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

{4x+3y=22x+2y=8\begin{cases} 4x + 3y = 22 \\ x + 2y = 8 \end{cases}{4x+3y=22x+2y=8​

(2,4)

(1,6)

(4,2)

(6,1)

Exercițiul 8

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

{3x+2y=162x+5y=18\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 2x + 5y = 18 \end{cases}{3x+2y=162x+5y=18​

(4,2)

(2,4)

(3,3)

(6,1)

Exercițiul 9

Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

{2x+y=47x+2y=9\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 7x + 2y = 9 \end{cases}{2x+y=47x+2y=9​

\left(\frac{1}{3}, \frac{10}{3}\right)

\left(\frac{2}{3}, \frac{8}{3}\right)

\left(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}\right)

\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)

Exercițiul 10

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

{5x+3y=19−x+2y=2\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ -x + 2y = 2 \end{cases}{5x+3y=19−x+2y=2​

\left(\frac{29}{13}, \frac{32}{13}\right)

\left(\frac{19}{13}, \frac{25}{13}\right)

\left(\frac{32}{13}, \frac{13}{29}\right)

\left(\frac{32}{13}, \frac{29}{13}\right)

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: b) $(2,1)$

Explicație:{2x+y=5x+y=3\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}{2x+y=5x+y=3​

Folosim metoda reducerii și eliminăm necunoscuta  yyy  prin scădere directă:

Scădem ecuațiile:

(2x+y)−(x+y)=5−3(2x + y) - (x + y) = 5 - 3(2x+y)−(x+y)=5−3

2x+y−x−y=5−32x + y - x - y = 5 - 32x+y−x−y=5−3

x=2x = 2x=2

Înlocuim valoarea lui   xxx  în a doua ecuație:

x+y=3x + y = 3x+y=3

2+y=32 + y = 32+y=3

y=3−2y = 3 - 2y=3−2

y=1y = 1y=1

(x,y)=(2,1)(x,y) = (2,1)(x,y)=(2,1)

Exercițiul 2

Răspuns corect: c) $(2,1)$

Explicație:{3x+2y=8x−2y=0\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - 2y = 0 \end{cases}{3x+2y=8x−2y=0​

Folosim metoda reducerii și eliminăm necunoscuta  yyy  prin adunarea ecuațiilor, deoarece termenii au semne opuse:

Adunăm ecuațiile:

(3x+2y)+(x−2y)=8+0(3x + 2y) + (x - 2y) = 8 + 0(3x+2y)+(x−2y)=8+0

3x+2y+x−2y=8+03x + 2y + x - 2y = 8 + 03x+2y+x−2y=8+0

4x=84x = 84x=8

x=8:4x = 8 : 4x=8:4

x=2x = 2x=2

Înlocuim valoarea lui   xxx  în a doua ecuație:

x−2y=0x - 2y = 0x−2y=0

2−2y=02 - 2y = 02−2y=0

2y=22y = 22y=2

y=2:2y = 2 : 2y=2:2

y=1y = 1y=1

(x,y)=(2,1)(x,y) = (2,1)(x,y)=(2,1)

Exercițiul 3

Răspuns corect: d) $(2,5)$

Explicație:{2x+3y=19x+y=7\begin{cases} 2x + 3y = 19 \\ x + y = 7 \end{cases}{2x+3y=19x+y=7​

Folosim metoda reducerii și înmulțim a doua ecuație cu  (−3)(-3)(−3)  pentru a elimina necunoscuta  yyy  prin adunare:

Se înmulțește a doua ecuație cu  −3-3−3:

{2x+3y=19−3x−3y=−21\begin{cases} 2x + 3y = 19 \\ -3x - 3y = -21 \end{cases}{2x+3y=19−3x−3y=−21​

Adunăm ecuațiile:

−x=−2-x = -2−x=−2

x=2x = 2x=2

Înlocuim în  x+y=7x + y = 7x+y=7:

2+y=72 + y = 72+y=7

y=5y = 5y=5

(x,y)=(2,5)(x,y) = (2,5)(x,y)=(2,5)

Exercițiul 4

Răspuns corect: a) $(4,4)$

Explicație:{3x+2y=20x+y=8\begin{cases} 3x + 2y = 20 \\ x + y = 8 \end{cases}{3x+2y=20x+y=8​

Folosim metoda reducerii și înmulțim a doua ecuație cu  (−2)(-2)(−2)  pentru a egaliza coeficienții lui  yyy  și a-l elimina prin adunare:

Se înmulțește a doua ecuație cu  −2-2−2:

{3x+2y=20−2x−2y=−16\begin{cases} 3x + 2y = 20 \\ -2x - 2y = -16 \end{cases}{3x+2y=20−2x−2y=−16​

Adunăm ecuațiile:

x=4x = 4x=4

Înlocuim în  x+y=8x + y = 8x+y=8:

4+y=84 + y = 84+y=8

y=4y = 4y=4

(x,y)=(4,4)(x,y) = (4,4)(x,y)=(4,4)

Exercițiul 5

Răspuns corect: b) $(6,3)$

Explicație:{2x+3y=213x+2y=24\begin{cases} 2x + 3y = 21 \\ 3x + 2y = 24 \end{cases}{2x+3y=213x+2y=24​

Folosim metoda reducerii și aducem coeficienții lui  xxx  la aceeași valoare cu semn opus, înmulțind prima ecuație cu  333  și pe a doua cu  (−2)(-2)(−2):

Se înmulțește prima ecuație cu  333  și a doua cu  −2-2−2:

{6x+9y=63−6x−4y=−48\begin{cases} 6x + 9y = 63 \\ -6x - 4y = -48 \end{cases}{6x+9y=63−6x−4y=−48​

Adunăm ecuațiile:

5y=155y = 155y=15

y=3y = 3y=3

Înlocuim în prima ecuație:

2x+3⋅3=212x + 3 \cdot 3 = 212x+3⋅3=21

2x+9=212x + 9 = 212x+9=21

2x=122x = 122x=12

x=6x = 6x=6

(x,y)=(6,3)(x,y) = (6,3)(x,y)=(6,3)

Exercițiul 6

Răspuns corect: d) $(2,3)$

Explicație:{3x+4y=18x+y=5\begin{cases} 3x + 4y = 18 \\ x + y = 5 \end{cases}{3x+4y=18x+y=5​

Folosim metoda reducerii și înmulțim a doua ecuație cu  (−3)(-3)(−3)  pentru a elimina necunoscuta  xxx  prin adunare:

Se înmulțește a doua ecuație cu  −3:-3:−3: 

{3x+4y=18−3x−3y=−15\begin{cases} 3x + 4y = 18 \\ -3x - 3y = -15 \end{cases}{3x+4y=18−3x−3y=−15​

Adunăm ecuațiile:

y=3y = 3y=3

Înlocuim valoarea lui  yyy  în ecuația:

x+y=5x + y = 5x+y=5  :

x+3=5x + 3 = 5x+3=5

x=5−3x = 5 - 3x=5−3

x=2x = 2x=2

(x,y)=(2,3)(x,y) = (2,3)(x,y)=(2,3)

Exercițiul 7

Răspuns corect: c) $(4,2)$

Explicație:{4x+3y=22x+2y=8\begin{cases} 4x + 3y = 22 \\ x + 2y = 8 \end{cases}{4x+3y=22x+2y=8​

Folosim metoda reducerii și înmulțim a doua ecuație cu  −4-4−4  pentru a elimina necunoscuta  xxx  prin adunare:

Se înmulțește a doua ecuație cu  −4-4−4  :

{4x+3y=22−4x−8y=−32\begin{cases} 4x + 3y = 22 \\ -4x - 8y = -32 \end{cases}{4x+3y=22−4x−8y=−32​

Adunăm ecuațiile:

−5y=−10-5y = -10−5y=−10

y=(−10):(−5)y = (-10) : (-5)y=(−10):(−5)

y=2y = 2y=2

Înlocuim valoarea lui  yyy  în ecuația:

x+2y=8x + 2y = 8x+2y=8  :

x+2⋅2=8x + 2 \cdot 2 = 8x+2⋅2=8

x+4=8x + 4 = 8x+4=8

x=8−4x = 8 - 4x=8−4

x=4x = 4x=4

(x,y)=(4,2)(x,y) = (4,2)(x,y)=(4,2)

Exercițiul 8

Răspuns corect: a) $(4,2)$

Explicație:{3x+2y=162x+5y=18\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 2x + 5y = 18 \end{cases}{3x+2y=162x+5y=18​

Folosim metoda reducerii și aducem coeficienții lui  xxx  la aceeași valoare cu semn opuse, înmulțind prima ecuație cu  222  și pe a doua cu  −3-3−3  :

Se înmulțește prima ecuație cu  222  și a doua cu  −3-3−3  :

{6x+4y=32−6x−15y=−54\begin{cases} 6x + 4y = 32 \\ -6x - 15y = -54 \end{cases}{6x+4y=32−6x−15y=−54​

Adunăm ecuațiile:

−11y=−22-11y = -22−11y=−22

y=(−22):(−11)y = (-22) : (-11)y=(−22):(−11)

y=2y = 2y=2

Înlocuim valoarea lui  yyy  în prima ecuație:

3x+2⋅2=163x + 2 \cdot 2 = 163x+2⋅2=16

3x+4=163x + 4 = 163x+4=16

3x=16−43x = 16 - 43x=16−4

3x=123x = 123x=12

x=12:3x = 12 : 3x=12:3

x=4x = 4x=4

(x,y)=(4,2)(x,y) = (4,2)(x,y)=(4,2)

Exercițiul 9

Răspuns corect: a) $\left(\frac{1}{3}, \frac{10}{3}\right)$

Explicație:{2x+y=47x+2y=9\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 7x + 2y = 9 \end{cases}{2x+y=47x+2y=9​

Din prima ecuație exprimăm pe  yyy  în funcție de  x:x:x:

y=4−2xy = 4 - 2xy=4−2x

Înlocuim expresia lui  yyy  în a doua ecuație:

7x+2(4−2x)=97x + 2 (4 - 2x) = 97x+2(4−2x)=9

7x+8−4x=97x + 8 - 4x = 97x+8−4x=9

3x=9−8⇒3x=13x = 9 - 8 \Rightarrow 3x = 13x=9−8⇒3x=1 

⇒x=13\Rightarrow x = \frac{1}{3}⇒x=31​

Aflăm  y:y:y:

y=4−2⋅13=123−23=103y = 4 - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{12}{3} - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}y=4−2⋅31​=312​−32​=310​

Soluția este:  (x,y)=(13,103)(x, y) = \left(\frac{1}{3}, \frac{10}{3}\right)(x,y)=(31​,310​)

Exercițiul 10

Răspuns corect: d) $\left(\frac{32}{13}, \frac{29}{13}\right)$

Explicație:{5x+3y=19−x+2y=2\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ -x + 2y = 2 \end{cases}{5x+3y=19−x+2y=2​

Din a doua ecuație îl exprimăm pe  xxx  în funcție de  y:y:y:

−x+2y=2⇒x=2y−2-x + 2y = 2 \Rightarrow x = 2y - 2−x+2y=2⇒x=2y−2

Înlocuim expresia lui  xxx  în prima ecuație:

5(2y−2)+3y=195(2y - 2) + 3y = 195(2y−2)+3y=19

10y−10+3y=1910y - 10 + 3y = 1910y−10+3y=19

13y=29⇒y=291313y = 29 \Rightarrow y = \frac{29}{13}13y=29⇒y=1329​

Aflăm valoarea lui  x:x:x:

x=2⋅2913−2=5813−2613=3213x = 2 \cdot \frac{29}{13} - 2 = \frac{58}{13} - \frac{26}{13} = \frac{32}{13}x=2⋅1329​−2=1358​−1326​=1332​

Soluția este:  (x,y)=(3213,2913)(x, y) = \left(\frac{32}{13}, \frac{29}{13}\right)(x,y)=(1332​,1329​)

Test 1

Sisteme de ecuații de gradul 1

Exercițiul 1

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

{2x+y=5x+y=3\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}{2x+y=5x+y=3​

Exercițiul 2

Rezolvați:

{3x+2y=8x−2y=0\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - 2y = 0 \end{cases}{3x+2y=8x−2y=0​

Exercițiul 3

Rezolvați:

{2x+3y=19x+y=7\begin{cases} 2x + 3y = 19 \\ x + y = 7 \end{cases}{2x+3y=19x+y=7​

Exercițiul 4

Rezolvați:

{3x+2y=20x+y=8\begin{cases} 3x + 2y = 20 \\ x + y = 8 \end{cases}{3x+2y=20x+y=8​

Exercițiul 5

Rezolvați:

{2x+3y=213x+2y=24\begin{cases} 2x + 3y = 21 \\ 3x + 2y = 24 \end{cases}{2x+3y=213x+2y=24​

Exercițiul 6

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

{3x+4y=18x+y=5\begin{cases} 3x + 4y = 18 \\ x + y = 5 \end{cases}{3x+4y=18x+y=5​

Exercițiul 7

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

{4x+3y=22x+2y=8\begin{cases} 4x + 3y = 22 \\ x + 2y = 8 \end{cases}{4x+3y=22x+2y=8​

Exercițiul 8

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

{3x+2y=162x+5y=18\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 2x + 5y = 18 \end{cases}{3x+2y=162x+5y=18​

Exercițiul 9

Rezolvați următorul sistem de ecuații folosind metoda substituției:

{2x+y=47x+2y=9\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 7x + 2y = 9 \end{cases}{2x+y=47x+2y=9​

Exercițiul 10

Rezolvați următorul sistem de ecuații:

{5x+3y=19−x+2y=2\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ -x + 2y = 2 \end{cases}{5x+3y=19−x+2y=2​

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Sisteme de ecuații de gradul 1Test 1

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 1

Sisteme de ecuații de gradul 1
Test 1